Proendliche Zahl

In der Algebra und Zahlentheorie ist eine proendliche Zahl (auch pro-endliche Zahl, proendliche Ganzzahl oder profinite (Ganz)zahl, englisch: profinite integer) durch die Reste (Restklassen) festgelegt, die sie in allen ganzzahligen Restklassenringen bildet. Damit ist sie ein Element aus der proendlichen Vervollständigung ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ (gesprochen: Zett-Dach) der Gruppe der ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Die (rationalen) Ganzzahlen lassen sich vermöge des kanonischen injektiven Homomorphismus

${\displaystyle \iota \colon \quad {\begin{array}{lll}\mathbb {Z} &\hookrightarrow &{\widehat {\mathbb {Z} }}\\r&\mapsto &(r+1\mathbb {Z} ,r+2\mathbb {Z} ,r+3\mathbb {Z} ,\dots )\\\end{array}}}$

in die proendlichen Zahlen einbetten. Dabei wird die Zahl ${\displaystyle r:=1\in \mathbb {Z} }$ in allen Restklassenringen ${\displaystyle \mathbb {Z} /i\mathbb {Z} }$ auf das dortige ${\displaystyle 1+i\mathbb {Z} }$ abgebildet. Dieses ${\displaystyle (1+1\mathbb {Z} ,1+2\mathbb {Z} ,1+3\mathbb {Z} ,\dots )}$ „erzeugt“ gewissermaßen ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}.}$

Die so eingebetteten ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ liegen dicht in den proendlichen ganzen Zahlen ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}.}$ Sie sind in ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ Folgen von Restklassen, und bei den Eigenschaften bspw. einer solchen 1 oder 2 kommt es (wie häufig in der Abstrakten Algebra) nur auf diejenigen an, die sie in ihren Verknüpfungen haben.

Die Galois-Gruppe des algebraischen Abschlusses eines endlichen Körpers über diesem Körper ist isomorph zu ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}.}$

1. ↑ In #Fried S. 14 Prüfer group (deutsch: Prüfergruppe) genannt. (S. a. Teilbare Gruppe)
2. ↑ #Gille 3. Die proendliche Vervollständigung von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
3. ↑ Beweis im Artikel Limes (Kategorientheorie)
4. ↑ Trotzdem gibt es keine mit den Ringoperationen verträgliche Anordnung von ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$: Die proendlichen Zahlen können also nicht angeordnet werden. (Das gilt auch schon für die p-adischen Zahlen.)