Quartische Gleichung
Eine quartische Gleichung, traditionell auch biquadratische Gleichung genannt, ist eine Bestimmungsgleichung, die sich in die Form
mit Koeffizienten und bringen lässt. Üblich sind auch die Bezeichnungen algebraische Gleichung 4. Grades, polynomiale Gleichung (Polynomgleichung) 4. Grades oder schlicht Gleichung 4. Grades. Da die Nullstellen (Wurzeln) eines Polynoms gesucht sind, ist die quartische Gleichung ein Spezialfall einer algebraischen Gleichung. Bei vielen Anwendungen sind die Koeffizienten reelle oder komplexe Zahlen, jedoch sind Koeffizienten aus einem anderen Körper ebenso möglich.
Im Fall komplexer Koeffizienten lässt sich die Gleichung nach dem Fundamentalsatz der Algebra bis auf die Reihenfolge eindeutig in vier Linearfaktoren
zerlegen, wobei und die vier, nicht notwendigerweise verschiedenen komplexen Lösungen der Gleichung sind. Im Unterfall reeller Koeffizienten können nicht reelle Lösungen nur paarweise komplex konjugiert auftreten, so dass es dann nur die drei Möglichkeiten mit 0, 2 oder 4 reellen Lösungen gibt.
Die vier Lösungen einer quartischen Gleichung können mit einer allgemeinen Formel, die nur die vier arithmetischen Grundoperationen und Wurzeln verwendet, aus den Koeffizienten berechnet werden. Die historisch besondere Bedeutung von Gleichungen 4. Grades beruht darauf, dass entsprechende Lösungsformeln für Gleichungen höherer Grade nicht existieren (Satz von Abel-Ruffini).
Ist und , dann lässt sich die Gleichung durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückführen. Heutzutage, insbesondere in der Schulmathematik, ist es üblich, nur diese Spezialform biquadratische Gleichung zu nennen.
