Satz von Cantor

Der Satz von Cantor ist ein fundamentaler Lehrsatz der Mengenlehre. Er besagt, dass jede beliebige Menge $\,A$ weniger mächtig als ihre Potenzmenge ${\mathcal {P}}(A)$ , also von geringerer Mächtigkeit ist als die Menge all ihrer Teilmengen und dass damit stets die Ungleichung $|A|<|{\mathcal {P}}(A)|$ gilt.

Der Satz stammt vom Mathematiker Georg Cantor und ist eine Verallgemeinerung von Cantors zweitem Diagonalargument. Er ist in allen Modellen gültig, die das Aussonderungsaxiom erfüllen.

↑ Heinz-Dieter Ebbinghaus zufolge war es dieser Beweis Cantors, der Bertrand Russell die Idee zu dessen Antinomie lieferte.
↑ Der Satz gilt für alle Mengen, insbesondere auch für die leere Menge, denn ${\mathcal {P}}(\emptyset )=\{\emptyset \}$ ist einelementig. Allgemein gilt für endliche Mengen, dass die Potenzmenge einer $n$ -elementigen Menge $2^{n}$ Elemente hat. Da stets $n<2^{n}$ , ist der Satz von Cantor für endliche Mengen klar, er gilt aber, wie sich zeigt, auch für unendliche Mengen.

↑ Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 2003, S. 125.

[1] Heinz-Dieter Ebbinghaus zufolge war es dieser Beweis Cantors, der Bertrand Russell die Idee zu dessen Antinomie lieferte.

[3] Der Satz gilt für alle Mengen, insbesondere auch für die leere Menge, denn ${\mathcal {P}}(\emptyset )=\{\emptyset \}$ ist einelementig. Allgemein gilt für endliche Mengen, dass die Potenzmenge einer $n$ -elementigen Menge $2^{n}$ Elemente hat. Da stets $n<2^{n}$ , ist der Satz von Cantor für endliche Mengen klar, er gilt aber, wie sich zeigt, auch für unendliche Mengen.

[2] Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 2003, S. 125.