Modularitätssatz

Der Modularitätssatz (früher Taniyama-Shimura-Vermutung) ist ein mathematischer Satz über elliptische Kurven und Modulformen. Er wurde 1958 von Yutaka Taniyama und Gorō Shimura vermutet und im Jahr 2001 von Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond und Richard Taylor bewiesen, nachdem bereits Andrew Wiles im Jahr 1994 (veröffentlicht 1995) den wichtigsten und schwierigsten Fall der semistabilen Kurven gezeigt hatte. Der Satz und sein Beweis gelten als einer der großen mathematischen Fortschritte des 20. Jahrhunderts. Konsequenzen des Modularitätssatzes sind unter anderem der große Satz von Fermat und die Wohldefiniertheit der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, da über den Modularitätssatz eine analytische Fortsetzung der zur elliptischen Kurve gehörigen L-Funktion garantiert wird. Heutzutage wird der Modularitätssatz als ein Spezialfall der sehr viel allgemeineren und wichtigeren Serre-Vermutung über Galois-Darstellungen gesehen. Diese wurde, aufbauend auf der Arbeit von Andrew Wiles, 2006 von Chandrashekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger und Mark Kisin bewiesen.

Vereinfacht besagt der Satz, dass jede über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ definierte elliptische Kurve ${\displaystyle E}$ modular ist, aus dieser also eine Modulform ${\displaystyle f_{E}}$ des Gewichts 2 konstruiert werden kann. Diese kann als Differentialform auf einer zu ${\displaystyle E}$ zugehörigen kompakten Riemannschen Fläche interpretiert werden. Auch möglich ist aber, ${\displaystyle f_{E}}$ aus den Anzahlen der Lösungen der modulo ${\displaystyle p}$ reduzierten Gleichung ${\displaystyle E_{p}}$ zu definieren. Die Richtung ${\displaystyle f\mapsto E}$, also die Konstruktion einer elliptischen Kurve über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ aus einer Modulform mit hinreichend guten Eigenschaften (Hecke-Eigenform, ganzzahlige Koeffizienten, …), war schon Taniyama und Shimura bekannt, und bewiesen. Die „Rückrichtung“ war Gegenstand ihrer Vermutung und gilt als deutlich schwerer zu zeigen.