Skalengesetz

Unter Skalengesetzen oder Skalierungsgesetzen versteht man die Manifestationen von mathematischen Beziehungen der Art

${\displaystyle f(x)=bc^{x}}$,

d. h. exponentielle Beziehungen, wobei z. B. die Konstante ${\displaystyle c}$ gleich der Eulerschen Zahl ${\displaystyle e}$ sein kann, oder

${\displaystyle f(x)=bx^{c}}$,

d. h. Potenz- oder polynomiale Beziehungen, wobei ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle c}$ in beiden Fällen reelle Konstanten darstellen. Potenzgesetze sind aufgrund der Natur der Skalentransformationen häufiger anzutreffen als exponentielle Beziehungen: Bei typischen Skalierungen der Koordinaten handelt es sich meist um Transformationseigenschaften homogener Koordinaten, d. h. es geht um die Frage, wie sich die gesamte Systembeschreibung (meist Darstellungen) ändern, wenn man das System skaliert. Exponentielle Beziehungen treten in praktischem Zusammenhang bei Zerfalls- oder Wachstumsvorgängen auf und sind meist metrischer Natur und auf lineare Parameter bezogen wie in der Gruppentheorie kommutativer Generatoren, die allgemeinen Fälle führen sehr schnell zu unübersichtlichen oder unlösbaren Fragestellungen.

Derartige Beziehungen sind in der Natur und Gesellschaft so verbreitet, dass man von einem strukturbildenden Prinzip sprechen kann. Teilweise handelt es sich um rein empirisch gefundene Verteilungen, teilweise konnten diese aber auf eine solide theoretische Basis gestellt werden, so dass im naturwissenschaftlichen Sinne von phänomenologischen Gesetzmäßigkeiten (oder „empirischen Gesetzen“) gesprochen werden kann. Das begründet sich unter anderem darin, dass

${\displaystyle x(t)=ce^{t}}$

die Lösung der einfachsten linearen Differentialgleichung

${\displaystyle {\dot {x}}=x}$

ist, die einen sich selbst linear beschleunigenden Prozess beschreibt, es gilt

${\textstyle {\ddot {x}}={\dot {x}}=x}$

beim Wachstum einer Population ohne Ressourcenbeschränkung.

Skalenbeziehungen, die auf Potenzgesetzen beruhen, sind skaleninvariant aufgrund der Beziehung

${\displaystyle f(ax)=b(ax)^{c}=a^{c}bx^{c}=a^{c}f(x)\propto f(x)}$

d. h., dass ${\displaystyle f(ax)}$ proportional ${\displaystyle f(x)}$ ist und sich die Charakteristika von ${\displaystyle f}$ nicht verändern. Exponentielle Beziehungen zeigen diese Skaleninvarianz nicht.