Cech-Kohomologie/Abgeleitete erste Kohomologie/Injektiv/Fakt/Beweis

Wir schließen an den Beweis zu Fakt an und rekapitulieren die Konstruktion der Abbildung. Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {I}}}$ eine Einbettung in eine injektive Garbe und

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

die zugehörige kurze exakte Garbensequenz. Es sei ein erster Čech-Kozykel von ${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$ durch

${\displaystyle {}{\left(r_{ij}\right)}_{i<j}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}}\right)}\,}$

mit ${\displaystyle {}r_{ij}-r_{ik}+r_{jk}=0}$ gegeben. Die ${\displaystyle {}r_{ij}}$ fassen wir in ${\displaystyle {}{\mathcal {I}}}$ als globale Elemente auf und definieren

${\displaystyle {}s_{i}:=r_{i1}\,,}$

die wir auf ${\displaystyle {}U_{i}}$ auffassen. Diese Elemente ${\displaystyle {}s_{i}}$ definieren Elemente

${\displaystyle {}t_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {H}}\right)}\,}$

die einem globalen Element

${\displaystyle {}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\,}$

entsprechen. Dieses legt

${\displaystyle {}\delta (t)\in H^{1}(X,{\mathcal {F}})\,}$

fest und das ist das Bild der Čech-Klasse. Es sei nun

${\displaystyle {}\delta (t)=0\,}$

vorausgesetzt. Dann gibt es ein globales Element ${\displaystyle {}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}}$, das auf ${\displaystyle {}I}$ abbildet. Es werden dann die ${\displaystyle {}s-s_{i}}$ auf ${\displaystyle {}0}$ abgebildet und daher ist ${\displaystyle {}s-s_{i}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}}$. Daher ist

${\displaystyle {}s-s_{j}-(s-s_{i})=s_{i}-s_{j}=r_{i1}-r_{j1}=r_{ij}\,}$

und die Čech-Klasse ist trivial.