Hilbertraum/Teilmenge/Dichtheitskriterium/Fakt/Beweis

Es erzeuge zuerst ${\displaystyle {}T}$ einen dichten Untervektorraum ${\displaystyle {}U}$ und sei ${\displaystyle {}v\in V}$ gegeben mit

${\displaystyle {}\left\langle v,w\right\rangle =0\,}$

für alle ${\displaystyle {}w\in T}$. Diese Eigenschaft überträgt sich auf alle ${\displaystyle {}w\in U}$. Wegen der Dichtheit von ${\displaystyle {}U}$ gibt es eine Folge ${\displaystyle {}w_{n}\in U}$, die gegen ${\displaystyle {}v}$ konvergiert. Dann konvergiert wegen der Stetigkeit des Skalarproduktes die Folge ${\displaystyle {}\left\langle v,w_{n}\right\rangle =0}$ gegen ${\displaystyle {}\left\langle v,v\right\rangle =0}$. also ist ${\displaystyle {}v=0}$.

Es erzeuge nun ${\displaystyle {}T}$ einen Untervektorraum ${\displaystyle {}U}$, der nicht dicht sei, es sei

${\displaystyle {}W={\overline {U}}\,}$

und sei ${\displaystyle {}z\in V\setminus W}$. Es sei ${\displaystyle {}z=y+v}$ die Zerlegung im Sinne von Fakt mit ${\displaystyle {}y\in W}$ und ${\displaystyle {}v\in W^{\perp }}$. Dann ist

${\displaystyle {}v\neq 0\,,}$

dieser Vektor steht aber senkrecht auf allen Vektoren aus ${\displaystyle {}W}$.