Kommutativer Ring/Komplex/Homomorphismus/Homotopie/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}(F_{\bullet },d)$ und ${}(G_{\bullet },e)$ Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen. Unter einem Homomorphismus

\varphi \colon F_{\bullet }\longrightarrow G_{\bullet }

versteht man eine Familie

\varphi _{n}\colon F_{n}\longrightarrow G_{n}

von Gruppenhomomorphismen, die mit den Komplexabbildungen kommutieren (es gilt also ${}\varphi _{n}\circ d_{n}=e_{n}\circ \varphi _{n-1}$ für alle ${}n$ ).

Lemma

Es seien ${}(F_{\bullet },d)$ und ${}(G_{\bullet },e)$ Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen.

Dann induziert ein Homomorphismus

$\varphi \colon F_{\bullet }\longrightarrow G_{\bullet }$

von Kettenkomplexen einen Homomorphismus in der Homologie,

$H(\varphi )\colon H(F_{\bullet })\longrightarrow H(G_{\bullet }).$

Es gibt also für jedes ${}n$ einen Gruppenhomomorphismus

$H_{n}(\varphi )\colon H_{n}(F_{\bullet })\longrightarrow H_{n}(G_{\bullet }).$

Beweis

Wir betrachten das kommutative Diagramm

{\begin{matrix}F_{n-1}&{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}&F_{n}&{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}&F_{n+1}&\\\!\!\!\!\!\varphi _{n-1}\downarrow &&\!\!\!\!\!\varphi _{n}\downarrow &&\downarrow &&\\G_{n-1}&{\stackrel {e_{n}}{\longrightarrow }}&G_{n}&{\stackrel {e_{n+1}}{\longrightarrow }}&G_{n+1}&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}

Dabei wird der Kern von ${}d_{n+1}$ unter ${}\varphi _{n}$ in den Kern von ${}e_{n+1}$ abgebildet. Unter dem Gruppenhomomorphismus

\varphi _{n}\colon \operatorname {kern} d_{n+1}\longrightarrow \operatorname {kern} e_{n+1}

wird das Bild von ${}d_{n}$ in das Bild von ${}e_{n}$ abgebildet. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus

H_{n}(F_{\bullet })=\operatorname {kern} d_{n+1}/\operatorname {bild} d_{n}\longrightarrow H_{n}(G_{\bullet })=\operatorname {kern} e_{n+1}/\operatorname {bild} e_{n}.

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Lemma

Es seien ${}C_{\bullet }$ , ${}D_{\bullet }$ und ${}E_{\bullet }$ Komplexe in einer abelschen Kategorie mit Homomorphismen von Komplexen ${}\varphi \colon C_{\bullet }\rightarrow D_{\bullet }$ und ${}\psi \colon D_{\bullet }\rightarrow E_{\bullet }$ derart, dass kurze exake Sequenzen

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C_{n}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,D_{n}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,E_{n}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0

für jedes ${}n$ vorliegen.

Dann gibt es einen natürlichen Homomorphismus

$H^{n-1}(E_{\bullet })\longrightarrow H^{n}(C_{\bullet }).$

Beweis

Wir betrachten das kommutative Diagramm

{\begin{matrix}0&\longrightarrow &C_{n-1}&\longrightarrow &D_{n-1}&\longrightarrow &E_{n-1}&\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &C_{n}&\longrightarrow &D_{n}&\longrightarrow &E_{n}&\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &C_{n+1}&\longrightarrow &D_{n+1}&\longrightarrow &E_{n+1}&\longrightarrow &0.\\\end{matrix}}

Ein Element ${}x\in H^{n-1}(E_{\bullet })$ wird repräsentiert durch ein Element ${}y\in E_{n-1}$ , das unter der rechten vertikalen Abbildung auf ${}0$ abgebildet wird. Wegen der Exaktheit der ${}n-1$ -ten Zeile gibt es ein

{}z\in D_{n-1}\,,

das auf ${}y$ abbildet. Dieses Element wird unter der mittleren vertikalen Abbildung auf ein Element ${}u$ abgebildet, das nach rechts auf ${}0$ geht. Wegen der Exaktheit der ${}n$ -ten Zeile ist ${}u=v\in C_{n}$ . Da ${}u$ auf ${}0$ in ${}D_{n+1}$ abgebildet wird, und da ${}C_{n+1}\rightarrow D_{n+1}$ injektiv ist, folgt, dass ${}v$ auf ${}0$ in ${}C_{n+1}$ abgebildet wird. Daher definiert ${}v$ eine Klasse in ${}H^{n}(C_{\bullet })$ .

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Definition

Es seien ${}(F_{\bullet },d)$ und ${}(G_{\bullet },e)$ Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen. Man nennt zwei Homomorphismen von Kettenkomplexen

\varphi ,\psi \colon F_{\bullet }\longrightarrow G_{\bullet }

homotop, wenn es Gruppenhomomorphismen

\Theta _{n}\colon F_{n+1}\longrightarrow G_{n}

mit

{}\varphi _{n}-\psi _{n}=e_{n}\circ \Theta _{n-1}+\Theta _{n}\circ d_{n+1}\,

gibt.

Es liegt also ein kommutatives Diagramm

{\begin{matrix}F_{n-1}&{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}&F_{n}&{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}&F_{n+1}&\\\downarrow &\Theta _{n-1}\swarrow &\downarrow &\Theta _{n}\swarrow &\downarrow &&\\G_{n-1}&{\stackrel {e_{n}}{\longrightarrow }}&G_{n}&{\stackrel {e_{n+1}}{\longrightarrow }}&G_{n+1}&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}

vor. Die ${}\Theta _{n}$ nennt man Homotopien.

Lemma

Es seien ${}(F_{\bullet },d)$ und ${}(G_{\bullet },e)$ Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen und es seien

\varphi ,\psi \colon F_{\bullet }\longrightarrow G_{\bullet }

homotope Homomorphismen von Kettenkomplexen.

Dann gilt für die zugehörigen Homologiehomomorphismen

${}H(\varphi )=H(\psi )\,.$

Beweis

Es seien ${}\Theta _{n}$ die Homomorphismen, die die Homotopie zwischen ${}\varphi$ und ${}\psi$ bewirken. Sei ${}x\in \operatorname {kern} \left(d_{n+1}\right)$ . Dann ist

{}{\begin{aligned}(\varphi _{n}-\psi _{n})(x)&=(e_{n}\circ \Theta _{n-1}+\Theta _{n}\circ d_{n+1})(x)\\&=e_{n}(\Theta _{n-1}(x))+\Theta _{n}(d_{n+1}(x))\\&=e_{n}(\Theta _{n-1}(x))\\&\in \operatorname {bild} {\left(e_{n}\right)}.\end{aligned}}

Somit ist die Klasse von ${}(\varphi _{n}-\psi _{n})(x)$ in ${}H^{n}(G_{\bullet })$ gleich ${}0$ und ${}\varphi _{n}(x)=\psi _{n})(x)$ .

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Lemma

Es seien ${}(F_{\bullet },d)$ und ${}(G_{\bullet },e)$ Kettenkomplexe von kommutativen Gruppen. Es seien

\varphi ,\psi \colon F_{\bullet }\longrightarrow G_{\bullet }

homotope Homomorphismen von Kettenkomplexen. Es sei ${}{\mathcal {F}}$ ein additiver kovarianter Funktor von der Kategorie der kommutativen Gruppen in die Kategorie der kommutativen Gruppen.

Dann sind auch die induzierten Homomorphismen

${\mathcal {F}}(\varphi ),{\mathcal {F}}(\psi )\colon {\mathcal {F}}(F_{\bullet })\longrightarrow {\mathcal {F}}(G_{\bullet })$

zueinander homotop.

Beweis

Es seien ${}\Theta _{n}$ die Homotopien zwischen ${}F_{\bullet }$ und ${}G_{\bullet }$ , die es nach Voraussetzung gibt. Es gilt also

{}\varphi _{n}-\psi _{n}=e_{n}\circ \Theta _{n-1}+\Theta _{n}\circ d_{n+1}\,.

Wegen der Additivität des Funktors gilt auch

{}{\mathcal {F}}(\varphi _{n})-{\mathcal {F}}(\psi _{n})={\mathcal {F}}(e_{n})\circ {\mathcal {F}}(\Theta _{n-1})+{\mathcal {F}}(\Theta _{n})\circ {\mathcal {F}}(d_{n+1})\,.

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Es sei ${}I$ eine total geordnete endliche Indexmenge. Zu einer Teilmenge ${}K\subseteq I$ und einem Element ${}k\in K$ definieren wir ${}\operatorname {ord} {\left(k,K\right)}$ durch ${}1$ bzw. ${}-1$ , je nachdem, ob ${}k$ in der induzierten Ordnung auf ${}K$ ein gerades oder ein ungerades Element ist. Die Elemente von ${}K$ haben also abwechselnd das Vorzeichen ${}1,-1,1$ etc, beginnend mit ${}1$ . Wir betrachten die freie Gruppe ${}F_{n}$ zur Basis ${}e_{J}$ , wobei ${}J$ die ${}n$ -elementigen Teilmengen von ${}I$ durchläuft. Es ist also

{}F_{n}=\mathbb {Z} ^{\binom {I}{n}}\,,

wobei wir mit ${}{\binom {I}{n}}$ die Menge der ${}n$ -elementigen Teilmengen von ${}I$ bezeichnen.

Definition

Es sei ${}I$ eine total geordnete endliche Indexmenge. Auf ${}F_{n}=\mathbb {Z} ^{\binom {I}{n}}$ zu ${}n\in \mathbb {N}$ definieren wir Gruppenhomomorphismen ${}d\colon F_{n}\rightarrow F_{n-1}$ durch

{}d{\left(e_{K}\right)}:=\sum _{k\in K}\operatorname {ord} {\left(k,K\right)}e_{K\setminus \{k\}}\,

und nennen ${}{\left(F_{\bullet },d\right)}$ den absteigenden Binomialkomplex.

Definition

Es sei ${}I$ eine total geordnete endliche Indexmenge. Auf ${}F_{n}=\mathbb {Z} ^{\binom {I}{n}}$ zu ${}n\in \mathbb {N}$ definieren wir Gruppenhomomorphismen ${}\delta \colon F_{n}\rightarrow F_{n+1}$ durch

{}{\left(\delta {\left(\alpha \right)}\right)}_{J}:=\sum _{j\in J}\operatorname {ord} {\left(j,J\right)}\alpha _{J\setminus \{j\}}\,

für ${}n+1$ -elementiges ${}J$ und nennen ${}{\left(F_{\bullet },\delta \right)}$ den aufsteigenden Binomialkomplex.

Für einen Standardvektor ${}e_{K}$ bedeutet dies

{}\delta (e_{K})=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}e_{K\cup \{\ell \}}\,.

In diesem Fall entspricht ${}e_{K}$ dem Tupel ${}\alpha$ , das genau an der Stelle ${}K$ eine ${}1$ und sonst überall eine ${}0$ stehen hat. Sagen wir ${}K$ besitzt ${}n$ Elemente. Für eine ${}n+1$ -elementige Menge ${}J$ ist somit ${}\delta (\alpha )_{J}=0$ , falls ${}K\not \subseteq J$ , und im anderen Fall ist

{}J=K\cup \{\ell \}\,

und nur bei ${}j=\ell$ ist das ${}e_{K\cup \{\ell \}}$ .

Lemma

Der aufsteigende Binomialkomplex zu einer nichtleeren Indexmenge ${}I$

ist exakt.

Beweis

Es sei ${}0$ das kleinste Element von ${}I$ . Wir definieren einen Komplex-Homomorphismus

h\colon F_{n}\longrightarrow F_{n-1}

durch

{}h(e_{J}):={\begin{cases}e_{J\setminus \{0\}},\,{\text{ falls }}0\in J\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,

Wir behaupten

{}\delta \circ h+h\circ \delta =\operatorname {Id} \,.

Es sei dazu ${}e_{K}$ gegeben. Bei ${}0\notin K$ ist

{}\delta (h(e_{K}))=0\,

und

{}{\begin{aligned}h{\left(\delta (e_{K})\right)}&=h{\left(\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}e_{K\cup \{\ell \}}\right)}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}h{\left(e_{K\cup \{\ell \}}\right)}\\&=\operatorname {ord} {\left(0,K\cup \{0\}\right)}e_{K}\end{aligned}}

und bei ${}0\in K$ ist

{}{\begin{aligned}\delta {\left(h(e_{K})\right)}&=\delta {\left(e_{K\setminus \{0\}}\right)}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus (K\setminus \{0\})}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}\right)}e_{K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}\right)}e_{K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}}+\operatorname {ord} {\left(0,K\right)}e_{K}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}\right)}e_{K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}}+e_{K}\end{aligned}}

und

{}{\begin{aligned}h{\left(\delta (e_{K})\right)}&=h{\left(\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}e_{K\cup \{\ell \}}\right)}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}h{\left(e_{K\cup \{\ell \}}\right)}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}e_{K\cup \{\ell \}\setminus \{0\}}.\end{aligned}}

Da ${}0$ das Anfangsglied ist, unterscheiden sich ${}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}\right)}$ und ${}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}$ um das Vorzeichen.

Somit liegt eine Homotopie zwischen der Identität und der Nullabbildung des Komplexes auf sich selbst vor. Nach Fakt gilt daher auf der Ebene der Homologieabbildungen

{}0=H(0)=H(\operatorname {Id} )=\operatorname {Id} \,

und daher sind die Homologien trivial.

\Box

Bei leerem ${}I$ ist der Komplex gleich ${}0\rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow 0$ und daher nicht exakt.