Komplexe Ebene/Weg/Windungszahl/Punktabhängigkeit/Fakt/Beweis

Es ist ${\displaystyle {}\gamma ([0,1])}$ kompakt nach Fakt und daher abgeschlossen nach Fakt, somit ist ${\displaystyle {}U}$ offen. Es sei ${\displaystyle {}P\in U}$. Wir zeigen

${\displaystyle {}\operatorname {ind} _{\gamma }(P)=\operatorname {ind} _{\gamma }(Q)\,}$

für alle Punkte ${\displaystyle {}Q\in V}$ aus einer offenen Umgebung ${\displaystyle {}V}$ von ${\displaystyle {}P}$. In ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }\setminus \{P\}}$ ist ${\displaystyle {}\gamma }$ nach Fakt homotop zu einem mehrfach durchlaufenen Standardweg ${\displaystyle {}\delta }$ um ${\displaystyle {}P}$ und nach Fakt  (1) zählt die Windungszahl die Anzahl der Umläufe (mit Orientierung). Es sei

${\displaystyle H\colon [0,1]\times [0,1]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{P\}}$

eine Homotopie zwischen ${\displaystyle {}\gamma }$ und ${\displaystyle {}\delta }$. Da ${\displaystyle {}H}$ stetig und ${\displaystyle {}[0,1]\times [0,1]}$ kompakt ist, ist auch

${\displaystyle {}H([0,1]\times [0,1])\subseteq {\mathbb {C} }\setminus \{P\}\,}$

kompakt und damit (in ${\displaystyle {\mathbb {C} }\setminus \{P\}}$ und auch) in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ abgeschlossen. Es sei ${\displaystyle {}V={\mathbb {C} }\setminus H([0,1]\times [0,1])}$, diese offene Menge ist insbesondere disjunkt zu ${\displaystyle {}\gamma ([0,1])}$. Für ${\displaystyle {}Q\in V}$ kann man ${\displaystyle {}H}$ auch als eine Homotopie zwischen ${\displaystyle {}\gamma }$ und ${\displaystyle {}\delta }$ innerhalb von ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }\setminus \{Q\}}$ auffassen. Damit ist unter Verwendung von Fakt

${\displaystyle {}\operatorname {ind} _{\gamma }(P)=\operatorname {ind} _{\delta }(P)=\operatorname {ind} _{\delta }(Q)=\operatorname {ind} _{\gamma }(Q)\,.}$