Kurs:Analysis/Teil I/2/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Produktmenge aus zwei Mengen ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}M}$.
2. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

   ${\displaystyle F\colon L\longrightarrow M}$

   und

   ${\displaystyle G\colon M\longrightarrow N.}$

3. Ein Häufungspunkt einer reellen Folge ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$.
4. Die komplexe Exponentialfunktion.
5. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

   ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .}$

6. Die gewöhnliche Differentialgleichung zu einer Funktion

   ${\displaystyle f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} }$

   auf einer offenen Menge ${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die allgemeine binomische Formel für ${\displaystyle {}(a+b)^{n}}$.
2. Der Identitätssatz für Potenzreihen.
3. Die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.

Berechne die Gaußklammer von ${\displaystyle {}-{\frac {133}{3}}}$.

Es ist

${\displaystyle -44=-{\frac {132}{3}}}$

und

${\displaystyle -45=-{\frac {135}{3}},}$

daher ist

${\displaystyle {}-45\leq -{\frac {133}{3}}<-44\,,}$

also ist

${\displaystyle {}\left\lfloor -{\frac {133}{3}}\right\rfloor =-45\,.}$

Zeige mittels vollständiger Induktion für ${\displaystyle {}n\geq 1}$ die Formel

${\displaystyle {}\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}k={\begin{cases}{\frac {n}{2}}{\text{ bei }}n{\text{ gerade}},\\-{\frac {n+1}{2}}{\text{ bei }}n{\text{ ungerade}}\,.\end{cases}}\,}$

Bei ${\displaystyle {}n=1}$ besteht die Summe links aus dem einzigen Summanden ${\displaystyle {}(-1)^{1}1=-1}$, die Summe ist also ${\displaystyle {}-1}$. Da ${\displaystyle {}1}$ ungerade ist, steht rechts ${\displaystyle {}-{\frac {2}{2}}=-1}$, der Induktionsanfang ist also gesichert.

Es sei die Aussage nun für ${\displaystyle {}n}$ bewiesen, und es ist die Gültigkeit der Aussage für ${\displaystyle {}n+1}$ zu zeigen. Die Summe links ist

${\displaystyle {}\sum _{k=1}^{n+1}(-1)^{k}k={\left(\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}k\right)}+(-1)^{n+1}(n+1)\,.}$

Bei ${\displaystyle {}n}$ gerade (also ${\displaystyle n+1}$ ungerade) ist dies nach Induktionsvoraussetzung gleich

${\displaystyle {}{\frac {n}{2}}+(-1)^{n+1}(n+1)={\frac {n}{2}}-(n+1)={\frac {n-2n-2}{2}}={\frac {-n-2}{2}}=-{\frac {n+2}{2}}\,,}$

was mit der rechten Seite übereinstimmt. Bei ${\displaystyle {}n}$ ungerade (also ${\displaystyle n+1}$ gerade) ist die Summe nach Induktionsvoraussetzung gleich

${\displaystyle {}-{\frac {n+1}{2}}+(-1)^{n+1}(n+1)=-{\frac {n+1}{2}}+(n+1)={\frac {-n-1+2n+2}{2}}={\frac {n+1}{2}}\,,}$

was ebenfalls mit der rechten Seite übereinstimmt.

Betrachte die Folge ${\displaystyle {}x_{n}=(-1)^{n}}$ und ${\displaystyle {}x=-1}$. Welche der Pseudokonvergenzbegriffe (siehe Angeordneter Körper/Folge/Pseudokonvergenz/Pseudo/Definition) treffen zu?

Richtig sind (4), (5), (6), (7).

Berechne

${\displaystyle 2^{\frac {9}{10}}}$

bis auf einen Fehler von ${\displaystyle {}{\frac {1}{10}}}$.

Wir behaupten die Abschätzungen

${\displaystyle {}1{,}8\leq 2^{\frac {9}{10}}\leq 1{,}9\,.}$

Um dies zu zeigen, weisen wir die Gültigkeit der Abschätzungen

${\displaystyle {}1{,}8^{10}\leq 2^{9}=512\leq 1{,}9^{10}\,.}$

nach. Diese gelten wegen

${\displaystyle {}{\begin{aligned}1{,}8^{10}&=3{,}24^{5}\\&=(3{,}24^{2})^{2}\cdot 3{,}24\\&=10{,}4976^{2}\cdot 3{,}24\\&\leq 121\cdot 4\\&=484\\&<512\end{aligned}}}$

und

${\displaystyle {}{\begin{aligned}1{,}9^{10}&=3{,}61^{5}\\&=(3{,}61^{2})^{2}\cdot 3{,}61\\&=13{,}0321^{2}\cdot 3{,}61\\&>169\cdot 3{,}6\\&=608{,}4\\&>512.\end{aligned}}}$

Beweise den Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion zu einer streng wachsenden, stetigen Funktion ${\displaystyle {}f\colon I\rightarrow \mathbb {R} }$, zu einem Intervall ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$.

Dass das Bild wieder ein Intervall ist folgt aus Korollar 13.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
Die Funktion ${\displaystyle {}f}$ ist injektiv, da sie streng wachsend ist und damit ist die Abbildung

${\displaystyle f\colon I\longrightarrow J}$

auf das Bild bijektiv.
Die Umkehrfunktion

${\displaystyle f^{-1}\colon J\longrightarrow I}$

ist ebenfalls streng wachsend.
Sei ${\displaystyle {}g:=f^{-1}}$ und ${\displaystyle {}y:=f(x)}$ vorgegeben. Es sei zunächst ${\displaystyle {}y}$ kein Randpunkt von ${\displaystyle {}J}$. Dann ist auch ${\displaystyle {}x}$ kein Randpunkt von ${\displaystyle {}I}$. Sei ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ vorgegeben und ohne Einschränkung ${\displaystyle {}[x-\epsilon ,x+\epsilon ]\subseteq I}$ angenommen. Dann ist

${\displaystyle {}\delta :={\min {\left(y-f(x-\epsilon ),f(x+\epsilon )-y\right)}}>0\,}$

und für ${\displaystyle {}y'\in [y-\delta ,y+\delta ]}$ gilt wegen der Monotonie

${\displaystyle {}g(y')\in [g(y-\delta ),g(y+\delta )]\subseteq [x-\epsilon ,x+\epsilon ]\,.}$

Also ist ${\displaystyle {}g}$ stetig in ${\displaystyle {}y}$. Wenn ${\displaystyle {}y}$ ein Randpunkt von ${\displaystyle {}J}$ ist, so ist auch ${\displaystyle {}x}$ ein Randpunkt von ${\displaystyle {}I}$, sagen wir der rechte Randpunkt. Dann ist zu vorgegebenem ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ wieder ${\displaystyle {}[x-\epsilon ,x]\subseteq I}$ und ${\displaystyle {}\delta :=y-f(x-\epsilon )}$ erfüllt die geforderte Eigenschaft.

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

eine bijektive differenzierbare Funktion mit ${\displaystyle {}f'(x)\neq 0}$ für alle ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} }$ und der Umkehrfunktion ${\displaystyle {}f^{-1}}$. Was ist an folgendem „Beweis“ für die Ableitung der Umkehrfunktion nicht korrekt?

Es ist

${\displaystyle {}{\left(f\circ f^{-1}\right)}(y)=y\,.}$

Mit der Kettenregel erhalten wir durch beidseitiges Ableiten die Gleichung

${\displaystyle {}f'{\left(f^{-1}(y)\right)}{\left(f^{-1}\right)}'(y)=1\,.}$

Also ist

${\displaystyle {}{\left(f^{-1}\right)}'(y)={\frac {1}{f'{\left(f^{-1}(y)\right)}}}\,.}$

Die Kettenregel setzt voraus, dass beide Abbildungen differenzierbar sind, das weiß man hier aber von ${\displaystyle {}f^{-1}}$ nicht.

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto f(x),}$

eine differenzierbare Funktion mit ${\displaystyle {}f(0)=1}$ und mit ${\displaystyle {}f'(x)=\lambda f(x)}$ für alle ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} }$ und ein ${\displaystyle {}\lambda \in \mathbb {R} }$. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ die Funktionalgleichung

${\displaystyle f(x+y)=f(x)\cdot f(y)}$

für alle ${\displaystyle {}x,y\in \mathbb {R} }$ erfüllt.

Wir betrachten die zusammengesetzte Funktion ${\displaystyle {}g(x)=\ln f(x)}$, die wohldefiniert ist, da ${\displaystyle {}f}$ nur positive Werte annimmt. Die Funktion ${\displaystyle {}g}$ ist differenzierbar mit

${\displaystyle {}g'(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {\lambda f(x)}{f(x)}}=\lambda \,.}$

Die Ableitung ist also konstant gleich ${\displaystyle {}\lambda }$, daher ist ${\displaystyle {}g(x)=\lambda x+c}$. Somit ist

${\displaystyle {}f(x)=\exp \left(\ln f(x)\right)=\exp \left(\lambda x+c\right)=\exp \left(\lambda x\right)\exp c\,}$

und wegen ${\displaystyle {}f(0)=1}$ ist ${\displaystyle {}c=0}$. Daher ist

${\displaystyle {}f(x+y)=\exp \left({\lambda (x+y)}\right)=\exp \left({\lambda x+\lambda y}\right)=\exp \left({\lambda x}\right)\cdot \exp \left({\lambda y}\right)=f(x)\cdot f(y)\,.}$

Es sei

${\displaystyle f(x)=x^{2}+x-{\frac {7}{4}}.}$

${\displaystyle {}x_{0}\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle x_{n}=f^{n}(x_{0}),}$

${\displaystyle {}x_{n+1}=f(x_{n})}$

${\displaystyle {}x_{0}\in [-2,1]}$

Es ist

${\displaystyle {}f(-2)=(-2)^{2}-2-{\frac {7}{4}}={\frac {1}{4}}\,}$

und

${\displaystyle {}f(1)=1^{2}+1-{\frac {7}{4}}={\frac {1}{4}}\,.}$

Die Ableitung der Funktion ist

${\displaystyle {}f'(x)=2x+1\,,}$

daher wird das Minimum bei

${\displaystyle {}x=-{\frac {1}{2}}\,}$

mit dem Wert

${\displaystyle {}f{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}={\left(-{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{2}}-{\frac {7}{4}}=-2\,}$

${\displaystyle f([-2,1])\subseteq [-2,{\frac {1}{4}}]\subseteq [-2,1].}$

${\displaystyle {}x_{0}\in [-2,1]}$

${\displaystyle {}x_{n}\in [-2,1]}$

Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge und damit einen Häufungspunkt.

Beweise die Charakterisierung mit Ableitungen von konvexen Funktionen ${\displaystyle {}f\colon I\rightarrow \mathbb {R} }$.

Es sei zunächst ${\displaystyle {}f}$ konvex und seien zwei Punkte ${\displaystyle {}a<b}$ aus ${\displaystyle {}I}$ gegeben. Es sei ${\displaystyle {}g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ die lineare Funktion, die ${\displaystyle {}(a,f(a))}$ und ${\displaystyle {}(b,f(b))}$ verbindet. Aufgrund der Konvexität ist ${\displaystyle {}f(x)\leq g(x)}$ für alle ${\displaystyle {}x\in [a,b]}$. Für die Differenzenquotienten gilt daher

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}&\leq {\frac {g(x)-f(a)}{x-a}}\\&={\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\\&={\frac {g(b)-g(a)}{b-a}}\\&={\frac {g(b)-g(x)}{b-x}}\\&={\frac {f(b)-g(x)}{b-x}}\\&\leq {\frac {f(b)-f(x)}{b-x}}.\end{aligned}}}$

Durch Übergang zu den Limiten für ${\displaystyle {}x\rightarrow a}$ bzw. ${\displaystyle {}x\rightarrow b}$ folgt

${\displaystyle {}f'(a)\leq {\frac {g(b)-g(a)}{b-a}}\leq f'(b)\,.}$

Es sei nun ${\displaystyle {}f}$ als nicht konvex vorausgesetzt und seien zwei Punkte ${\displaystyle {}a<b}$ aus ${\displaystyle {}I}$ mit der Eigenschaft gegeben, dass die verbindende Gerade von ${\displaystyle {}(a,f(a))}$ und ${\displaystyle {}(b,f(b))}$ nicht vollständig oberhalb des Graphen von ${\displaystyle {}f}$ verläuft. Es gibt also ein ${\displaystyle {}c\in [a,b]}$ mit ${\displaystyle {}g(c)<f(c)}$, wobei wieder ${\displaystyle {}g}$ die verbindende lineare Funktion ist. Durch Übergang zu ${\displaystyle {}f-g}$ können wir ${\displaystyle {}f(a)=f(b)=0}$ und ${\displaystyle {}f(c)>0}$ annehmen. Nach dem Mittelwertsatz gibt es Punkte ${\displaystyle {}s\in [a,c]}$ und ${\displaystyle {}t\in [c,b]}$ mit ${\displaystyle {}f'(s)>0}$ und ${\displaystyle {}f'(t)<0}$, sodass ${\displaystyle {}f'}$ nicht wachsend ist.

Bestimme die Ableitung der Funktion

${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin ^{2}\left(\cos x\right).}$

Die Ableitung von ${\displaystyle {}\sin ^{2}\left(\cos x\right)}$ ist

${\displaystyle -2\sin \left(\cos x\right){\left(\cos \left(\cos x\right)\right)}\sin x.}$

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung ${\displaystyle {}4}$ zur Funktion

${\displaystyle {}f(x)=\sin x\,}$

im Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}\pi /2}$.

Wir müssen das Polynom

${\displaystyle \sum _{k=0}^{4}{\frac {f^{(k)}{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}}{k!}}{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{k}}$

berechnen. Es ist

${\displaystyle {}f{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=\sin {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=1\,,}$

${\displaystyle {}f^{\prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=\cos {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=0\,,}$

${\displaystyle {}f^{\prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=-\sin {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=-1\,,}$

${\displaystyle {}f^{\prime \prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=-\cos {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=0\,}$

und

${\displaystyle {}f^{\prime \prime \prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=\sin {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=1\,.}$

Daher ist das vierte Taylor-Polynom gleich

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{2}+{\frac {1}{24}}{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{4}.}$

Beweise die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.

Wegen der Stetigkeit von ${\displaystyle {}f}$ und der vorausgesetzten stetigen Differenzierbarkeit von ${\displaystyle {}g}$ existieren beide Integrale. Es sei ${\displaystyle {}F}$ eine Stammfunktion von ${\displaystyle {}f}$, die aufgrund von Korollar 24.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) existiert. Nach der Kettenregel hat die zusammengesetzte Funktion

${\displaystyle {}t\mapsto F(g(t))=(F\circ g)(t)\,}$

die Ableitung ${\displaystyle {}F'(g(t))g'(t)=f(g(t))g'(t)}$. Daher gilt insgesamt

${\displaystyle {}\int _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt=(F\circ g)|_{a}^{b}=F(g(b))-F(g(a))=F|_{g(a)}^{g(b)}=\int _{g(a)}^{g(b)}f(s)\,ds\,.}$

Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall ${\displaystyle {}[6,22]}$ (in Stunden) durch die Funktion

${\displaystyle f\colon [6,22]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t)=-t^{3}+27t^{2}-120t,}$

beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, sodass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.

Es sei ${\displaystyle {}a\in [6,21]}$ der Anfangszeitpunkt des Sonnenbades. Die Gesamteinstrahlung der Sonne in der Stunde ${\displaystyle {}[a,a+1]}$ ist das bestimmte Integral

${\displaystyle {}{\begin{aligned}S(a)&=\int _{a}^{a+1}(-t^{3}+27t^{2}-120t)\,dt\\&={\left(-{\frac {1}{4}}t^{4}+9t^{3}-60t^{2}\right)}|_{a}^{a+1}\\&={\left(-{\frac {1}{4}}(a+1)^{4}+9(a+1)^{3}-60(a+1)^{2}\right)}-{\left(-{\frac {1}{4}}a^{4}+9a^{3}-60a^{2}\right)}\\&=-{\frac {1}{4}}(4a^{3}+6a^{2}+4a+1)+9(3a^{2}+3a+1)-60(2a+1)\\&=-a^{3}+{\frac {51}{2}}a^{2}-94a-{\frac {205}{4}}.\,\end{aligned}}}$

Für diese Funktion muss das Maximum im Intervall ${\displaystyle {}[6,21]}$ bestimmt werden. Dafür berechnen wir die Ableitung, diese ist

${\displaystyle {}S'(a)={\left(-a^{3}+{\frac {51}{2}}a^{2}-94a-{\frac {205}{4}}\right)}^{\prime }=-3a^{2}+51a-94\,.}$

Die Nullstellenberechnung dieser Ableitung führt auf ${\displaystyle {}a^{2}-17a+{\frac {94}{3}}=0}$ bzw. auf

${\displaystyle {}{\left(a-{\frac {17}{2}}\right)}^{2}=-{\frac {94}{3}}+{\left({\frac {17}{2}}\right)}^{2}=-{\frac {94}{3}}+{\frac {289}{4}}={\frac {-376+867}{12}}={\frac {491}{12}}\,.}$

Also ist

${\displaystyle {}a_{0}={\sqrt {\frac {491}{12}}}+{\frac {17}{2}}\cong 14,8966\cong 14{\text{ Uhr }}54\,}$

(die negative Wurzel muss nicht berücksichtigt werden, da diese zu einem ${\displaystyle {}a}$ außerhalb des Definitionsbereiches führt). Die zweite Ableitung

${\displaystyle S^{\prime \prime }(a)=-6a+51}$

ist an der Stelle ${\displaystyle {}a_{0}}$ negativ, sodass dort das Maximum vorliegt. Da die Ableitung keine weiteren Nullstellen im Intervall besitzt, müssen die Randpunkte nicht gesondert betrachtet werden.

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung (${\displaystyle {}y>0}$)

${\displaystyle y'=t^{2}y^{3}}$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?

Wir schreiben ${\displaystyle {}g(t)=t^{2}}$ und ${\displaystyle {}h(y)=y^{3}}$. Eine Stammfunktion zu ${\displaystyle {}{\frac {1}{h(y)}}={\frac {1}{y^{3}}}}$ ist ${\displaystyle {}H(y)=-{\frac {1}{2}}y^{-2}=z}$ (${\displaystyle {}z}$ ist also negativ) mit der Umkehrfunktion

${\displaystyle {}y=H^{-1}(z)={\sqrt {-{\frac {1}{2}}z^{-1}}}\,.}$

Die Stammfunktionen zu

${\displaystyle {}g(t)=t^{2}\,}$

sind ${\displaystyle {}{\frac {1}{3}}t^{3}+c}$ mit ${\displaystyle {}c\in \mathbb {R} }$. Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung von der Form

${\displaystyle {}y(t)={\sqrt {-{\frac {1}{2}}{\left({\frac {1}{3}}t^{3}+c\right)}^{-1}}}={\sqrt {\frac {-1}{2{\left({\frac {1}{3}}t^{3}+c\right)}}}}={\sqrt {\frac {-1}{{\frac {2}{3}}t^{3}+2c}}}\,.}$

Bei gegebenem ${\displaystyle {}c}$ ist diese Wurzel genau dann definiert, wenn

${\displaystyle {}{\frac {2}{3}}t^{3}+2c<0\,}$

ist. Dies bedeutet

${\displaystyle {}t<{\sqrt[{3}]{-3c}}\,.}$

Die Definitionsbereiche sind also

${\displaystyle ]-\infty ,{\sqrt[{3}]{-3c}}[.}$