Kurs:Analysis/Teil I/7/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine surjektive Abbildung

   ${\displaystyle f\colon L\longrightarrow M.}$

2. Ein archimedisch angeordneter Körper ${\displaystyle {}K}$.
3. Der Grenzwert einer Funktion

   ${\displaystyle f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }}$

   in einem Punkt ${\displaystyle {}a\in {\mathbb {K} }}$ (dabei ist ${\displaystyle T\subseteq {\mathbb {K} }}$ eine Teilmenge).

4. Der Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe

   ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}.}$

5. Das Taylor-Polynom vom Grad ${\displaystyle {}n}$ zu einer ${\displaystyle {}n}$-mal differenzierbaren Funktion

   ${\displaystyle f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }}$

   im Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}a\in {\mathbb {C} }}$.

6. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

   ${\displaystyle f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} }$

   auf einem kompakten Intervall ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Quotientenkriterium für eine komplexe Reihe ${\displaystyle {}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$.
2. Der Satz über die stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion

   ${\displaystyle T\longrightarrow {\mathbb {K} },}$

   wobei ${\displaystyle {}T\subseteq {\mathbb {K} }}$ eine Teilmenge ist.
3. Die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion.

Zeige, dass eine streng wachsende Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

injektiv ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein angeordneter Körper und es seien ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ und ${\displaystyle {}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ drei Folgen in ${\displaystyle {}K}$. Es gelte ${\displaystyle {}x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ und ${\displaystyle {}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${\displaystyle {}a}$. Zeige, dass dann auch ${\displaystyle {}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ gegen diesen Grenzwert ${\displaystyle {}a}$ konvergiert.

Es ist

${\displaystyle {}x_{n}-a\leq y_{n}-a\leq z_{n}-a\,.}$

Bei ${\displaystyle {}y_{n}-a\geq 0}$ ist somit

${\displaystyle {}\vert {y_{n}-a}\vert \leq \vert {z_{n}-a}\vert \,}$

und bei ${\displaystyle {}y_{n}-a\leq 0}$ ist

${\displaystyle {}\vert {y_{n}-a}\vert \leq \vert {x_{n}-a}\vert \,.}$

Daher ist stets

${\displaystyle {}\vert {y_{n}-a}\vert \leq {\max {\left(\vert {x_{n}-a}\vert ,\vert {z_{n}-a}\vert \right)}}\,.}$

Für ein vorgegebenes ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen ${\displaystyle {}a}$ natürliche Zahlen ${\displaystyle {}n_{1}}$ und ${\displaystyle {}n_{2}}$ derart, dass

${\displaystyle {}\vert {x_{n}-a}\vert \leq \epsilon \,}$

für ${\displaystyle {}n\geq n_{1}}$ und

${\displaystyle {}\vert {z_{n}-a}\vert \leq \epsilon \,}$

für ${\displaystyle {}n\geq n_{2}}$ gilt. Für ${\displaystyle {}n\geq n_{0}={\max {\left(n_{1},n_{2}\right)}}}$ gilt daher

${\displaystyle {}\vert {y_{n}-a}\vert \leq \epsilon \,.}$

Dies bedeutet die Konvergenz von ${\displaystyle {}y_{n}}$ gegen ${\displaystyle {}a}$.

Entscheide, ob die Reihe

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n!}{n^{n}}}}$

konvergiert.

Für ${\displaystyle {}n\geq 2}$ ist

${\displaystyle {}{\frac {n!}{n^{n}}}={\frac {n(n-1)\cdots 3}{n^{n-2}}}\cdot {\frac {2\cdot 1}{n^{2}}}\leq {\frac {2}{n^{2}}}\,.}$

Da die Reihe ${\displaystyle {}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ konvergiert, liegt eine konvergente Majorante vor und damit konvergiert die angegebene Reihe.

Sei ${\displaystyle {}a\in {\mathbb {C} }}$, ${\displaystyle {}\vert {a}\vert <1}$. Es sei

${\displaystyle f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),}$

eine stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit ${\displaystyle {}f(az)=f(z)}$ für alle ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$ gelte. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ konstant ist.

Unter der gegebenen Voraussetzung konvergiert die Folge ${\displaystyle {}a^{n}}$ gegen ${\displaystyle {}0}$. Daher konvergiert auch für jedes feste ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$ die Folge ${\displaystyle {}a^{n}z}$ gegen ${\displaystyle {}0}$. Durch iterative Anwendung der Voraussetzung an ${\displaystyle {}f}$ erhält man

${\displaystyle {}f(z)=f(az)=f(a^{2}z)=\ldots =f(a^{n}z)\,}$

für jedes ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$. Aufgrund der Stetigkeit von ${\displaystyle {}f}$ ist also

${\displaystyle {}f(z)=\lim _{n\rightarrow \infty }f(a^{n}z)=f(\lim _{n\rightarrow \infty }a^{n}z)=f(0)\,.}$

Somit ist ${\displaystyle {}f(0)}$ der einzige Wert der Funktion.

Beweise den großen Umordnungssatz.

Die Summierbarkeit der Teilfamilien folgt aus Korollar 17.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)). Es sei ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ vorgegeben. Da die Ausgangsfamilie summierbar ist, gibt es eine endliche Teilmenge ${\displaystyle {}E_{0}\subseteq I}$ mit

${\displaystyle {}\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon /2\,}$

für alle endlichen Teilmengen ${\displaystyle {}E\subseteq I}$ mit ${\displaystyle {}E_{0}\subseteq E}$. Es gibt eine endliche Teilmenge ${\displaystyle {}F_{0}\subseteq J}$ derart, dass

${\displaystyle {}E_{0}\subseteq \bigcup _{j\in F_{0}}I_{j}\,}$

ist. Wir behaupten, dass dieses ${\displaystyle {}F_{0}}$ für die Familie ${\displaystyle {}s_{j}}$ , ${\displaystyle {}j\in J}$, die Summationseigenschaft für ${\displaystyle {}\epsilon }$ erfüllt. Es sei dazu ${\displaystyle {}F\subseteq J}$ mit ${\displaystyle {}F_{0}\subseteq F}$ endlich und ${\displaystyle {}n={\#\left(F\right)}}$. Da die Familien ${\displaystyle {}a_{i}}$ , ${\displaystyle {}i\in I_{j}}$, summierbar mit den Summen ${\displaystyle {}s_{j}}$ sind, gibt es für jedes ${\displaystyle {}j\in F}$ ein endliches ${\displaystyle {}G_{j,0}\subseteq I_{j}}$ mit

${\displaystyle {}\vert {a_{G_{j}}-s_{j}}\vert \leq \epsilon /2n\,}$

für alle endlichen ${\displaystyle {}G_{j}\subseteq I_{j}}$ mit ${\displaystyle {}G_{j,0}\subseteq G_{j}}$. Wir wählen nun für jedes ${\displaystyle {}j\in F}$ ein solches ${\displaystyle {}G_{j}}$ so, dass zusätzlich ${\displaystyle {}E_{0}\cap I_{j}\subseteq G_{j}}$ gilt. Dann ist ${\displaystyle {}E_{0}\subseteq E:=\bigcup _{j\in F}G_{j}}$ und daher ${\displaystyle {}\vert {\sum _{j\in F}a_{G_{j}}-s}\vert =\vert {\sum _{i\in E}a_{i}-s}\vert \leq \epsilon /2}$. Somit haben wir insgesamt die Abschätzungen

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {\sum _{j\in F}s_{j}-s}\vert &=\vert {\sum _{j\in F}{\left(s_{j}-a_{G_{j}}\right)}+\sum _{j\in F}a_{G_{j}}-s}\vert \\&\leq \sum _{j\in F}\vert {s_{j}-a_{G_{j}}}\vert +\vert {\sum _{j\in F}a_{G_{j}}-s}\vert \\&\leq n\cdot \epsilon /2n+\vert {\sum _{i\in E}a_{i}-s}\vert \\&\leq n\cdot \epsilon /2n+\epsilon /2\\&=\epsilon .\end{aligned}}}$

Wir betrachten die Funktion

${\displaystyle f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x\longmapsto f(x)=2xe^{3x}.}$

Zeige durch Induktion, dass die ${\displaystyle {}n}$-te Ableitung (${\displaystyle n\geq 1}$) von ${\displaystyle {}f}$ gleich

${\displaystyle {}f^{(n)}(x)={\left(3^{n}\cdot 2x+3^{n-1}\cdot 2n\right)}e^{3x}\,}$

ist.

Die Ableitung von ${\displaystyle {}f}$ ist nach der Produktregel

${\displaystyle {}f'(x)=2e^{3x}+2x\cdot 3e^{3x}={\left(3^{1}\cdot 2x+2\right)}e^{3x}={\left(3^{1}\cdot 2x+3^{0}\cdot 2\cdot 1\right)}e^{3x}\,.}$

Dadurch ist die Gleichung für ${\displaystyle {}n=1}$ richtig und der Induktionsanfang ist gesichert. Es sei die Gleichung nun für die ${\displaystyle {}n}$-te Ableitung schon bewiesen. Wegen ${\displaystyle {}f^{(n+1)}=(f^{n})'}$ gilt somit

${\displaystyle {}{\begin{aligned}f^{(n+1)}&={\left({\left(3^{n}\cdot 2x+3^{n-1}\cdot 2n\right)}e^{3x}\right)}'\\&=3^{n}\cdot 2e^{3x}+3{\left(3^{n}\cdot 2x+3^{n-1}\cdot 2n\right)}e^{3x}\\&={\left(3^{n+1}\cdot 2x+3^{n}\cdot 2+3^{n}\cdot 2n\right)}e^{3x}\\&={\left(3^{n+1}\cdot 2x+3^{n}\cdot 2(n+1)\right)}e^{3x}.\end{aligned}}}$

Daher ist die Gleichung auch für die ${\displaystyle {}(n+1)}$-te Ableitung richtig.

Es sei ein Kreis mit Mittelpunkt ${\displaystyle {}(0,0)}$ und Radius ${\displaystyle {}r}$ und ein ${\displaystyle {}s>r}$ gegeben. Für welches ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} }$ verläuft die Tangente zu ${\displaystyle {}x}$ an den oberen Kreisbogen durch den Punkt ${\displaystyle {}(s,0)}$?

Der obere Kreisbogen wird (für ${\displaystyle {}x\in [-r,r]}$) durch die Funktion

${\displaystyle {}f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,}$

beschrieben. Die Ableitung davon ist

${\displaystyle {}f'(x)=-x{\frac {1}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\,.}$

${\displaystyle {}(x,f(x))}$

${\displaystyle {}(s,0)}$

${\displaystyle {\frac {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}{x-s}}}$

${\displaystyle {}-x{\frac {1}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}={\frac {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}{x-s}}\,}$

bzw. auf

${\displaystyle {}-x(x-s)=r^{2}-x^{2}\,.}$

Daher ist

${\displaystyle {}x={\frac {r^{2}}{s}}\,.}$

Bestimme den Grenzwert

${\displaystyle \operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {x-1}{\ln x}}.}$

Wir verwenden die Regel von Hospital. Die Ableitung der Zählerfunktion ist

${\displaystyle {}(x-1)'=1\,}$

und die Ableitung der Nennerfunktion ist

${\displaystyle {}{\left(\ln x\right)}'={\frac {1}{x}}\,.}$

Die Funktion ${\displaystyle {}{\frac {1}{x}}}$ hat keine Nullstelle in einer offenen Ungebung von ${\displaystyle {}1}$. Daher ist Hospital anwendbar und es ist

${\displaystyle {}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {x-1}{\ln x}}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {1}{\frac {1}{x}}}={\frac {1}{\frac {1}{1}}}=1\,.}$

Wir betrachten die durch

${\displaystyle x_{n}={\sqrt[{n}]{n}}}$

definierte Folge (${\displaystyle n\geq 1}$). Zeige folgende Aussagen.

1. Für ${\displaystyle {}n\geq 3}$ ist die Folge monoton fallend.
2. Die Folge konvergiert gegen ${\displaystyle 1}$.

Wir schreiben

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{n}}&=n^{\frac {1}{n}}\\&=(e^{\ln n})^{\frac {1}{n}}\\&=e^{\frac {\ln n}{n}}.\end{aligned}}}$

1. Wir erlauben auch reelle Argumente, d.h. wir betrachten die Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e^{\frac {\ln x}{x}},}$

und zeigen, dass diese Funktion für ${\displaystyle {}x\geq 3}$ fallend ist; dies gilt dann insbesondere für die natürlichen Zahlen ${\displaystyle {}n\geq 3}$. Da die Exponentialfunktion monoton wachsend ist, genügt es zu zeigen, dass

${\displaystyle g\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {\ln x}{x}},}$

für ${\displaystyle {}x\geq 3}$ fallend ist. Dazu ziehen wir Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) heran und betrachten die Ableitung der differenzierbaren Funktion ${\displaystyle {}g}$. Diese ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}g'(x)&={\frac {1}{x^{2}}}-{\frac {\ln x}{x^{2}}}\\&={\frac {1-\ln x}{x^{2}}}.\end{aligned}}}$

Für ${\displaystyle {}x\geq 3>e}$ ist ${\displaystyle {}\ln x\geq 1}$ und somit ist der Zähler negativ, also ist die Funktion negativ.

2. Wir zeigen, dass ${\displaystyle {}{\frac {\ln n}{n}}}$ für ${\displaystyle {}n\rightarrow \infty }$ gegen ${\displaystyle {}0}$ konvergiert. Wegen der Monotonie aus Teil 1 kann man statt ${\displaystyle {}n}$ auch ${\displaystyle {}e^{k}}$ einsetzen, was zur Folge ${\displaystyle {}{\frac {k}{e^{k}}}}$ führt. Für diese Folge gilt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {k}{e^{k}}}&\leq {\frac {k}{1+k+{\frac {1}{2}}k^{2}}}\\&={\frac {\frac {1}{k}}{{\frac {1}{k^{2}}}+{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{2}}}},\end{aligned}}}$

ihr Grenzwert ist nach dem Quetschkriterium also ${\displaystyle {}0}$. Da die Exponentialfunktion stetig ist, konvergiert somit ${\displaystyle {}e^{\frac {\ln n}{n}}}$ gegen ${\displaystyle {}e^{0}=1}$.

Der Graph der Funktion

${\displaystyle {}f(x)=-x^{2}+5x\,}$

und die ${\displaystyle {}x}$-Achse begrenzen eine Fläche. Bestimme die Gerade durch den Nullpunkt, die diese Fläche in zwei gleich große Teile unterteilt.

Es ist

${\displaystyle {}-x^{2}+5x=-x(x-5)\,,}$

die Fläche befindet sich also oberhalb des Intervalls ${\displaystyle {}[0,5]}$. Eine Stammfunktion von ${\displaystyle {}f}$ ist

${\displaystyle {}F(x)=-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {5}{2}}x^{2}\,}$

und somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{0}^{5}f(x)dx&=[-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {5}{2}}x^{2}]_{0}^{5}\\&=-{\frac {1}{3}}125+{\frac {5}{2}}25\\&={\frac {125}{6}}.\end{aligned}}}$

Die Gerade durch den Nullpunkt setzen wir als ${\displaystyle {}y=ax}$ an. Der Durchstoßungspunkt (abgesehen vom Nullpunkt) mit dem Graphen ergibt sich aus

${\displaystyle {}ax=-x^{2}+5x\,}$

zu

${\displaystyle {}x=5-a\,.}$

Die obere Fläche besitzt den Flächeninhalt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{0}^{5-a}-x^{2}+5x-axdx&=[-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {5-a}{2}}x^{2}]_{0}^{5-a}\\&=(5-a)^{3}{\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}\right)}\\&=(5-a)^{3}{\frac {1}{6}}.\end{aligned}}}$

Die Bedingung

${\displaystyle {}(5-a)^{3}{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {125}{6}}\,}$

führt auf

${\displaystyle {}(5-a)^{3}={\frac {125}{2}}\,}$

und damit auf

${\displaystyle {}5-a={\frac {5}{\sqrt[{3}]{2}}}\,.}$

Also ist

${\displaystyle {}a=5{\left(1-{\sqrt[{3}]{\frac {1}{2}}}\right)}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}I}$ ein reelles Intervall und sei

${\displaystyle f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine stetige Funktion. Es sei ${\displaystyle {}a\in I}$ und es sei

${\displaystyle {}F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,}$

die zugehörige Integralfunktion. Zeige, dass dann ${\displaystyle {}F}$ differenzierbar ist und dass ${\displaystyle {}F'(x)=f(x)}$ für alle ${\displaystyle {}x\in I}$ gilt.

Es sei ${\displaystyle {}x}$ fixiert. Der Differenzenquotient ist

${\displaystyle {}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\frac {1}{h}}{\left(\int _{a}^{x+h}f(t)\,dt-\int _{a}^{x}f(t)\,dt\right)}={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt\,.}$

Wir müssen zeigen, dass für ${\displaystyle {}h\rightarrow 0}$ der Limes existiert und gleich ${\displaystyle {}f(x)}$ ist. Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es zu jedem ${\displaystyle {}h}$ ein ${\displaystyle {}c_{h}\in [x,x+h]}$ mit

${\displaystyle {}f(c_{h})\cdot h=\int _{x}^{x+h}f(t)dt\,}$

und damit ist

${\displaystyle {}f(c_{h})={\frac {\int _{x}^{x+h}f(t)dt}{h}}\,.}$

Für ${\displaystyle {}h\rightarrow 0}$ konvergiert ${\displaystyle {}c_{h}}$ gegen ${\displaystyle {}x}$ und wegen der Stetigkeit von ${\displaystyle {}f}$ konvergiert ${\displaystyle {}f(c_{h})}$ gegen ${\displaystyle {}f(x)}$.

Sei

${\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} }$

stetig mit

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0}$

für jede stetige Funktion ${\displaystyle {}g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$. Zeige ${\displaystyle {}f=0}$.

Nehmen wir an, dass ${\displaystyle {}f}$ nicht die Nullfunktion ist. Dann gibt es einen Punkt ${\displaystyle {}c\in [a,b]}$ mit ${\displaystyle {}f(c)\neq 0}$. Sagen wir ${\displaystyle {}f(c)>0}$. Da ${\displaystyle {}f}$ stetig ist, gibt es ein Teilintervall ${\displaystyle {}J=[d,e]\subseteq [a,b]}$ mit ${\displaystyle {}f(x)\geq {\frac {f(c)}{2}}}$ für alle ${\displaystyle {}x\in J}$. Die Funktion ${\displaystyle {}g}$ sei außerhalb von ${\displaystyle {}J}$ die Nullfunktion und auf ${\displaystyle {}J}$ durch

${\displaystyle {}g(x)=-(x-d)(x-e)\,}$

definiert. Die Funktion ${\displaystyle {}g}$ ist stetig auf ${\displaystyle {}[a,b]}$ und im Innern von ${\displaystyle {}[d,e]}$ positiv, also insgesamt nichtnegativ. Daher gibt es ein weiteres Teilintervall ${\displaystyle {}J'=[s,t]\subseteq J}$ derart, dass ${\displaystyle {}g(x)\geq {\frac {g({\frac {d+e}{2}})}{2}}}$ für alle ${\displaystyle {}x\in J'}$ ist. Daher ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx&=\int _{d}^{e}f(x)g(x)dx\\&\geq \int _{s}^{t}f(x)g(x)dx\\&\geq (t-s){\frac {f(c)}{2}}{\frac {g({\frac {d+e}{2}})}{2}}\\&>0\end{aligned}}}$

im Widerspruch zur Voraussetzung.

Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung

${\displaystyle y'={\frac {t}{t^{2}-1}}y^{2}}$

mit ${\displaystyle {}t>1}$ und ${\displaystyle {}y<0}$.

Es liegt eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen vor. Wir setzen

${\displaystyle {}h(y)={\frac {1}{y^{2}}}\,,}$

davon ist

${\displaystyle {}H(y)=-y^{-1}\,}$

eine Stammfunktion. Die Umkehrfunktion davon ist ebenfalls

${\displaystyle {}H^{-1}(u)=-u^{-1}\,.}$

Wir setzen weiter

${\displaystyle {}g(t)={\frac {t}{t^{2}-1}}\,.}$

Wir machen den Ansatz für die Partialbruchzerlegung, also

${\displaystyle {}{\frac {t}{t^{2}-1}}={\frac {a}{t-1}}+{\frac {b}{t+1}}\,.}$

Daraus ergibt sich die Bedingung

${\displaystyle {}t=a(t+1)+b(t-1)\,}$

und daraus

${\displaystyle {}a=b={\frac {1}{2}}\,.}$

Also ist

${\displaystyle {}G(t)={\frac {1}{2}}\ln(t+1)+{\frac {1}{2}}\ln(t-1)\,}$

eine Stammfunktion von ${\displaystyle {}g(t)}$. Daher ist

${\displaystyle {}y(t)={\frac {-2}{\ln(t-1)+\ln(t+1)}}\,}$

eine Lösung, die für ${\displaystyle {}t>1}$ definiert ist und für die ${\displaystyle {}y(t)<0}$ gilt.