Kurs:Didaktik der Stochastik für Lernumgebungen/unbekannte Funktionen

In dieser Lerneinheit erfahren Sie, wie Sie als Lehrer individuelle Lernaufgaben für Ihre Schüler erstellen können, indem Sie Techniken des Maschinellen Lernens und der Optimierung anwenden. In diesem Kontext beschreibt eine unbekannte Funktion eine Wahrscheinlichkeitsverteilung als Dichtefunktion ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} _{o}^{+}}$ über einem Messraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$.

Dieser Approximation dieser unbekannten Funktionen ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} _{o}^{+}}$ mit Daten liefert dann die Grundlage, um in digitalen Lernumgebungen individualisierte Auswahlsentscheidungen zu treffen, die als Datengrundlage die Daten einer Lerngruppe verwendet.

Die Auswertung der Daten erfolgt dabei mit OpenSource-Werkzeugen, die Daten von Lernenden nicht exponiert (siehe Datensouveränität). konzentrieren und dabei die statistische Programmiersprache R verwenden.

- Verständnis der Grundlagen des Maschinellen Lernens für die Approximation von Funktionen - Anwendung von R zur Datenanalyse und Funktionsapproximation - Erstellung individueller Lernaufgaben basierend auf den Fähigkeiten und Fortschritten der Schülerinnen und Schüler

Die funktionale Approximation ist ein wichtiger Bestandteil der Mathematik und des Maschinellen Lernens. Ziel ist es, eine unbekannte Funktion ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} _{o}^{+}}$ durch eine bekannte Funktion ${\displaystyle {\widehat {f}}:\Omega \to \mathbb {R} _{o}^{+}}$ zu approximieren, die auf den gegebenen Daten ${\displaystyle \mathbb {D} :={\big \{}(x_{i},y_{i})\in \Omega \times \mathbb {R} _{o}^{+}\,:\,i\in \{1,\ldots ,d\}{\big \}}}$ basiert.

Ist ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }$, dann kann die Funktionsapproximation durch verschiedene Methoden, wie z.B. lineare Regression, polynomiale Regression oder komplexere Modelle (wie neuronale Netze) erfolgen.

Die folgenden Aufgaben sollen sowohl fachliche Aspekte der Funktionsapproximation als auch grundlegende Konzepte addressieren, wie man mit digitalen Lernumgebungen an die Lernvorraussetzungen von Schülerinnen und Schüler anpassen kann.

Durch das maschinelle Lernen und Sprungweiten der Schülerinnen und Schülern beim Weitsprung als Daten soll eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\displaystyle f_{t}:\Omega \to \mathbb {R} _{o}^{+}}$ zum Zeitpunkt ${\displaystyle t\in T}$ mit ${\displaystyle \Omega :=[0,10]}$ als Beispiel verwendet. grundlegendes Verständnis des Maschinellen Lernens vermitteln.

Versuchen Sie in einer Diskussion festzulegen, welche Rolle maschinelles Lernen in diesem Kontext Weitsprung Lernen/Training im Sportunterricht hat?

Nun sei die Funktion ${\displaystyle f_{t_{0}}:\Omega \to \mathbb {R} _{o}^{+}}$ die Wahrscheinlichkeitsdichte für die erzielten Weiten vor dem Weitsprungtraining und ${\displaystyle f_{t_{1}}:\Omega \to \mathbb {R} _{o}^{+}}$ die Wahrscheinlichkeitsverteilung der erzielten Weiten auf ${\displaystyle \Omega :=[0,10]}$ nach dem Training. Wie kann man die Leistungsverbesserung einer Klasse qualitativ durch den Vergleich ${\displaystyle f_{t_{0}}}$ und ${\displaystyle f_{t_{1}}}$ beschreiben.

Erläutern Sie, wie man durch Integration über ein Produkt ${\displaystyle f_{t}\cdot g}$ und einer streng monoton wachsenden Bewertungsfunktion ${\displaystyle g:\Omega \to \mathbb {R} _{o}^{+}}$ eine Verbesserung der Weitsprungleistungen der Klasse messen?

${\displaystyle \int _{0}^{10}f_{t}(x)\cdot g(x)\,dx}$

Einige Schüler:innen können verbessern und aber einige Schüler:innen können sich auch vom Zeitpunkt ${\displaystyle t_{0}}$ zu ${\displaystyle t_{1}}$ verschlechtern. In wie weit beschreibt das obige Integral über das Produkt ${\displaystyle f_{t}\cdot g}$ aus Dichtefunktionen ${\displaystyle f_{t}}$ und Bewertungsfunktion eine ${\displaystyle f_{t}\cdot g}$ eine Leistung der Klasse?

Gegeben sind die Daten

${\displaystyle \mathbb {D} _{t}:={\big \{}(x_{i},y_{i})\in \Omega \times \mathbb {R} _{o}^{+}\,:\,i\in \{1,\ldots ,d_{t}\}{\big \}}.}$

Dabei für eine Wertepaar ${\displaystyle (x_{i},y_{i})\in \Omega \times \mathbb {R} _{o}^{+}}$ der ${\displaystyle x_{i}}$ die gemessene Weiteund die Häufigkeit, wie oft die Weite gesprungen wurde (i.d.R. ist ${\displaystyle y_{i}=1}$).

Sei ${\displaystyle s>0}$ ( z.B. ${\displaystyle s=\textstyle {\frac {1}{2}}}$) ein Parameter, der die Streuung der Messdaten bei Versuchswiederholung beschreibt.

${\displaystyle h(x)=\sum _{i=1}^{d}{\frac {y_{i}}{1+{\frac {(x-x_{i})^{2}}{s^{2}}}}}}$

Nun wurde mit ${\displaystyle h}$ eine Dichtefunktion definiert, diese ist aber noch keine Wahrscheinlichkeitsdichte ist, da die Funktion ${\displaystyle h:\Omega \to \mathbb {R} _{o}^{+}}$ nicht normiert ist. In dem folgenden Schritt wird aus der Dichte eine Wahrscheinlichkeitsdichte.

Die Summanden ${\displaystyle {\frac {y_{i}}{1+{\frac {(x-x_{i})^{2}}{s^{2}}}}}}$ sind integrable Funktionsterme mit einer Stammfunktion (siehe auch Cauchy-Verteilung). Berechnen Sie mit einem OpenSource-Computeralgebrasystem die Stammfunktion ${\displaystyle H}$ von ${\displaystyle h}$ und berechnen Sie:

${\displaystyle M:=\int _{0}^{10}h_{t}(x)\,dx}$

Definieren Sie dann die Wahrscheinlichkeitsdichte als ${\displaystyle f_{t}:={\frac {1}{M}}\cdot h}$.

Ziel: Grundlegende Kenntnisse in der Datenanalyse mit R vermitteln.

Vorbereitung

• Installation: Installieren Sie R und RStudio auf den Schülercomputern.
• Einführung: Führen Sie eine kurze Einführung in die Grundlagen von R durch.
• Übung: Lassen Sie die Lehramtsstudierende einfache Datenanalysen durchführen, die u.a. das Laden von Daten, Definition von Funktionen und Plotten von Datensätzen und Funktionen beinhaltet.

# Beispielcode für die Datenanalyse mit zwei Messzeitpunkten
# Laden eines Datensatzes mit Weitsprungdaten
data <- read.csv("weitsprung.csv")
# weite|anzahl1|anzahl2
# 2.00|0|2
# 2.10|1|3
# 2.20|3|0
# 2.50|4|1
# 2.70|0|2
# 2.50|2|3
# 2.90|2|1
# 3.00|0|0
# ....

# Plotten der Daten
plot(data$x, data$y, main="Beispiel-Daten", xlab="X-Achse", ylab="Y-Achse")

Implementieren Sie den Plot der Funktionsapproximation zu unterschiedlichen Messzeitpunkten und plotten Sie die Differenz der Dichtefunktion ${\displaystyle f_{t_{2}}-f_{t_{1}}}$ in R. Wie kann man diese Differenz der Dichtefunktionen interpretieren?

Betrachten Sie nun die zeitliche Entwicklung der Weitsprungergebnisse von einzelnen Schülerinnen und Schülern im zeitlichen Verlauf und notieren Sie sich, welche Übungen zu welchem Zeitpunkten mit der Klasse durchgeführt wurden. Geben Sie dann individuelle Trainingsaufgaben für Schülerinnen und Schüler, die auf den Übungen basieren die die erzielten Ergebnisse im Weitsprung verbessert haben.

Bewerten Sie die individuellen Fähigkeiten und Fortschritte der Schülerinnen und Schüler in Bezug auf die vorherigen Trainingseinheiten.

Erstellen Sie individuelle Trainingspläne, die auf die Stärken und Schwächen der Schülerinnen und Schüler abgestimmt sind.

Welches Feedback können Sie aus den Weitsprungdaten geben? Geben Sie regelmäßig Feedback und erläutern Sie, wie Sie den Trainingsplan bei Bedarf anpassen! Der Mittelwert der Weitsprungdaten hat sich verbessert. Die Streuung der Weitsprungergebnisse hat sich vergrößert.

Zusammenfassend wurde in der Lerneinheit betrachtet, wie man aus Daten Wahrscheinlichkeitsdichten generieren kann und wie man aus den Daten sowohl über die Verbesserung in einer Lerngruppe als auch im individuellen zeitlichen Verlauf Rückmeldung zu den Weitsprungergebnissen geben kann. Insgesamt handelt sich bei dem Beispiel um einen ersten Einstieg eine unbekannte Funktionen mit Daten zu approximieren. In diesem Fall war die unbekannte Funktion eine Wahrscheinlichkeitsdicht. Durch die Verwendung von R konnten ein erste praktische Einstiegbeispiele realisiert werden.

• R-Statistiksoftware]
• RStudio - Benutzeroberfläche für R
• GNU R - Wikibook
• KnitR - Individualierte Dokumentenerstellung
• Einführung in das Maschinelle Lernen - freier Coursera

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