Kurs:Differentialgeometrie/3/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine geodätische Kurve auf einer differenzierbaren Hyperfläche ${\displaystyle {}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$.
2. Die Rotationsmenge (um die ${\displaystyle {}x}$-Achse) zu einer Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\geq 0}}$.
3. Die Tangentialabbildung

   ${\displaystyle T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN}$

   zu einer differenzierbaren Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon M\longrightarrow N}$

   zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$.

4. Ein orientierungstreuer Kartenwechsel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${\displaystyle {}M}$.
5. Die zurückgezogene Differentialform ${\displaystyle {}\varphi ^{*}\omega }$ zu einer Differentialform ${\displaystyle {}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)}$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Abbildung ${\displaystyle {}\varphi \colon L\rightarrow M}$ zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}M}$.
6. Ein metrischer linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle {}M}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche ${\displaystyle {}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$.
2. Die Formel für die Berechnung des kanonischen Volumens auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit in einer Karte.
3. Der Satz über die Partition der Eins.

Bestimme für die durch

${\displaystyle {}x^{2}+y^{2}+2z^{2}=4\,}$

gegebene Fläche ${\displaystyle {}Y}$ und den Punkt

${\displaystyle {}P=\left(1,\,1,\,1\right)\in Y\,}$

eine Diagonalmatrix für die Weingartenabbildung ${\displaystyle {}L_{P}}$.

Das normierte Gradientenfeld ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}N(x,y,z)&={\frac {1}{\sqrt {4x^{2}+4y^{2}+16z^{2}}}}{\begin{pmatrix}2x\\2y\\4z\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+4z^{2}}}}{\begin{pmatrix}x\\y\\2z\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Wir arbeiten mit dem Einheitsnormalenfeld

${\displaystyle {}M(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {4+2z^{2}}}}{\begin{pmatrix}x\\y\\2z\end{pmatrix}}\,,}$

was auf ${\displaystyle {}Y}$ mit ${\displaystyle {}N}$ übereinstimmt. Das totale Differential von ${\displaystyle {}M}$ ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {4+2z^{2}}}}&0&{\frac {-2xz}{{\left(4+2z^{2}\right)}^{3/2}}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {4+2z^{2}}}}&{\frac {-2yz}{{\left(4+2z^{2}\right)}^{3/2}}}\\0&0&{\frac {8}{{\left(4+2z^{2}\right)}^{3/2}}}\end{pmatrix}}.}$

Im angegebenen Punkt ${\displaystyle {}P}$ ist der Gradient ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}}}$ und die beiden Vektoren ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}}}$ ist eine Basis des Tangetialraumes ${\displaystyle {}T_{P}Y}$. Das totale Differential zu ${\displaystyle {}M}$ ist in diesem Punkt gleich

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {6}}}&0&{\frac {-1}{3{\sqrt {6}}}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {-1}{3{\sqrt {6}}}}\\0&0&{\frac {4}{3{\sqrt {6}}}}\end{pmatrix}}.}$

Angewendet auf den ersten Basisvektor ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}}$ ergibt sich ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\0\end{pmatrix}}}$, dies ist also ein Eigenvektor zum Eigenwert ${\displaystyle {}{\frac {1}{\sqrt {6}}}}$. Angewendet auf den zweiten Basisvektor ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}}}$ ergibt sich

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}{\frac {7}{3{\sqrt {6}}}}\\{\frac {1}{3{\sqrt {6}}}}\\-{\frac {4}{3{\sqrt {6}}}}\end{pmatrix}}=-{\frac {1}{3{\sqrt {6}}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {4}{3{\sqrt {6}}}}{\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}}\,.}$

Daher ist der andere Eigenwert gleich ${\displaystyle {}{\frac {4}{3{\sqrt {6}}}}}$ und eine beschreibende Diagonalmatrix ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {6}}}&0\\0&{\frac {4}{3{\sqrt {6}}}}\end{pmatrix}}.}$

Beweise den Isometriesatz für den Paralleltransport auf einer Hyperfläche ${\displaystyle {}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$.

Zum Nachweis der Linearität seien ${\displaystyle {}v,w\in T_{P}Y}$ and ${\displaystyle {}r,s\in \mathbb {R} }$ gegeben. Es seien ${\displaystyle {}F}$ bzw. ${\displaystyle {}G}$ die gemäß Satz 6.9 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) eindeutig bestimmten parallelen Vektorfelder längs ${\displaystyle {}\gamma }$ mit ${\displaystyle {}F(a)=v}$ und ${\displaystyle {}G(a)=w}$. Nach Lemma 6.7 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) ist ${\displaystyle {}rF+sG}$ ein paralleles Vektorfeld mit ${\displaystyle {}(rF+sG)(a)=v+w}$. Wegen der Eindeutigkeit aus Satz 6.9 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) ist somit ${\displaystyle {}rF+sG}$ das parallele Vektorfeld zum Tangentialvektor ${\displaystyle {}rv+sw}$. Daher ist

${\displaystyle {}\Psi _{\gamma }(rv+sw)=(rF+sG)(b)=rF(b)+sG(b)=r\Psi _{\gamma }(v)+s\Psi _{\gamma }(w)\,.}$

Zum Nachweis der Verträglichkeit mit dem Skalarprodukt seien wieder ${\displaystyle {}v,w\in T_{P}Y}$ gegeben und es seien ${\displaystyle {}F,G}$ die zugehörigen parallelen Vektorfelder. Es ist

${\displaystyle {}\left\langle F(t),G(t)\right\rangle '=\left\langle F'(t),G(t)\right\rangle +\left\langle F(t),G'(t)\right\rangle =0\,,}$

da ${\displaystyle {}F,G}$ tangential sind und ${\displaystyle {}F',G'}$ orthogonal zum Tangentialraum sind. Daher ist ${\displaystyle {}\left\langle F(t),G(t)\right\rangle }$ konstant längs des Weges. Daher ist

${\displaystyle {}\left\langle \Psi _{\gamma }(v),\Psi _{\gamma }(w)\right\rangle =\left\langle F(b),G(b)\right\rangle =\left\langle F(a),F(a)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.}$

Die Bijektivität ist damit auch klar.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine kompakte topologische ${\displaystyle {}d}$-dimensionale Mannigfaltigkeit, ${\displaystyle {}d\geq 1}$. Zeige, dass es eine beschränkte offene Teilmenge ${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$ und eine stetige surjektive Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon U\longrightarrow M}$

gibt.

Zu jedem Punkt ${\displaystyle {}P\in M}$ wählen wir eine offene Kartenumgebung ${\displaystyle {}P\in U_{P}}$ mit einer Karte

${\displaystyle \alpha _{P}\colon U_{P}\longrightarrow V_{P}}$

mit ${\displaystyle {}V_{P}\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$. Dabei können wir annehmen, indem wir zu einer Ballumgebung von ${\displaystyle {}\alpha _{P}(P)\in V_{P}}$ und dessen Urbild übergehen, dass die ${\displaystyle {}V_{p}}$ offene Bälle sind, deren Radius maximal ${\displaystyle {}{\frac {1}{3}}}$ ist. Die ${\displaystyle {}U_{P}}$, ${\displaystyle {}P\in M}$, überdecken die Mannigfaltigkeit. Wegen der Kompaktheit von ${\displaystyle {}M}$ gibt es endlich viele Punkte ${\displaystyle {}P_{1},\ldots ,P_{n}}$ derart, dass auch ${\displaystyle {}U_{i}=U_{P_{i}}}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$, die Mannigfaltigkeit überdecken. Wir platzieren die offenen Bälle ${\displaystyle {}V_{i}=V_{P_{i}}}$ in („einem neuen“) ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{d}}$, und zwar mit den Mittelpunkten

${\displaystyle (1,0,\ldots ,0),(2,0,\ldots ,0),\ldots ,(n,0,\ldots ,0).}$

Wegen der Radiusbedingung sind diese Bälle zueinander disjunkt. Wir betrachten die beschränkte offene Menge ${\displaystyle {}U=\bigcup _{i=1}^{n}V_{i}}$. Die Kartenabbildungen ${\displaystyle {}\alpha _{i}}$ liefern stetige Abbildungen

${\displaystyle \varphi _{i}:V_{i}{\stackrel {{\left(\alpha _{i}\right)}^{-1}}{\longrightarrow }}U_{i}\longrightarrow M.}$

Wegen der Disjunktheit ergibt sich daraus durch ${\displaystyle {}\varphi (z)=\varphi _{i}(z)}$, falls ${\displaystyle {}z\in V_{i}}$ ist, eine stetige Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon U\longrightarrow M.}$

Wegen der Überdeckungseigenschaft ist diese surjektiv.

Wir betrachten die Menge

${\displaystyle {}N={\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid A{\text{ ist nilpotent}}\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{4}\,}$

der reellen nilpotenten ${\displaystyle {}2\times 2}$- Matrizen sowie die Menge

${\displaystyle {}M=N\setminus \{{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\}\,.}$

a) Ist ${\displaystyle {}N}$ zusammenhängend?

b) Zeige, dass ${\displaystyle {}M}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer offenen Teilmenge ${\displaystyle {}G\subseteq \mathbb {R} ^{4}}$ ist.

c) Bestimme die Dimension von ${\displaystyle {}M}$.

d) Ist ${\displaystyle {}M}$ zusammenhängend?

e) Überdecke ${\displaystyle {}M}$ mit expliziten topologischen Karten.

a) Jede nilpotente Matrix ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ lässt sich durch den linearen Weg

${\displaystyle [0,1]\longrightarrow N,\,t\longmapsto t{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}$

innerhalb der nilpotenten Matrizen mit der Nullmatrix verbinden. Daher ist ${\displaystyle {}N}$ wegzusammenhängend und damit auch zusammenhängend.

b) Eine ${\displaystyle {}2\times 2}$- Matrix ist genau dann nilpotent, wenn sowohl die Spur als auch die Determinante ${\displaystyle {}0}$ sind. Die Menge ${\displaystyle {}N}$ der nilpotenten Matrizen kann also als

${\displaystyle {\left\{(a,b,c,d)\mid a+d=0{\text{ und }}ad-bc=0\right\}}}$

aufgefasst werden. Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(a,b,c,d)\longmapsto (a+d,ad-bc).}$

Deren Jacobi-Matrix ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&1\\d&-c&-b&a\end{pmatrix}}.}$

Diese Abbildung ist im Nullpunkt nicht regulär, aber in jedem anderen Punkt der Faser ${\displaystyle {}N}$. Wenn nämlich ${\displaystyle {}P\in M}$ ist, so folgt wegen

${\displaystyle {}a^{2}=bc\,}$

aus

${\displaystyle {}b=c=0\,}$

sofort

${\displaystyle {}a=b=c=d=0\,.}$

Die Jacobi-Matrix hat also in den Punkten aus ${\displaystyle {}M}$ den maximalen Rang. Mit

${\displaystyle {}G=\mathbb {R} ^{4}\setminus \{0\}\,}$

kann man ${\displaystyle {}M}$ als die Faser der eingeschränkten Abbildung auffassen, die überall auf der Faser regulär ist. Daher ist ${\displaystyle {}M}$ nach Satz 8.2 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${\displaystyle {}G}$.

c) Nach Satz 8.2 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) ist die Dimension von ${\displaystyle {}M}$ gleich ${\displaystyle {}4-2=2}$.

d) Wir schreiben

${\displaystyle {}M_{+}={\left\{(a,b,c,d)\in M\mid b>c\right\}}\,}$

und

${\displaystyle {}M_{-}={\left\{(a,b,c,d)\in M\mid b<c\right\}}\,,}$

beides sind (als Durchschnitt von ${\displaystyle {}M}$ mit der durch ${\displaystyle {}b>c}$ gegebenen offenen Menge des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{4}}$) offene Mengen in ${\displaystyle {}M}$. Die Matrizen ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}$ zeigen, dass sie nicht leer sind. Ferner überdecken sie ganz ${\displaystyle {}M}$. Bei ${\displaystyle {}b=c}$ folgt nämlich wegen

${\displaystyle {}0=ad-bc=-a^{2}-b^{2}\,}$

direkt ${\displaystyle {}a=b=c=d=0}$, und der Punkt gehört nicht zu ${\displaystyle {}M}$. Es liegt also eine Überdeckung mit zwei nichtleeren disjunkten offenen Mengen vor, daher ist ${\displaystyle {}M}$ nicht zusammenhängend.

e) Wir arbeiten mit der Abbildung

${\displaystyle \psi \colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow M_{+},\,(a,u)\longmapsto (a,u+{\sqrt {a^{2}+u^{2}}},u-{\sqrt {a^{2}+u^{2}}},-a).}$

Wegen

${\displaystyle {}{\begin{aligned}ad-bc&=-a^{2}-{\left(u+{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}\right)}{\left(u-{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}\right)}\\&=-a^{2}-{\left(u^{2}-{\left(a^{2}+u^{2}\right)}\right)}\\&=0\end{aligned}}}$

ist die Determinantenbedingung erfüllt, und wegen

${\displaystyle {}b-c=u+{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}-{\left(u-{\sqrt {a^{2}+u^{2}}})\right)}=2{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}>0\,}$

gehört das Bild zu ${\displaystyle {}M_{+}}$. Die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon M_{+}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\},\,(a,b,c,d)\longmapsto \left(a,\,{\frac {b+c}{2}}\right),}$

ist invers zu der gegebenen Abbildung. Dabei ist

${\displaystyle {}\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}\,}$

klar. Die andere Identität ergibt sich aus

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {b+c}{2}}+{\sqrt {a^{2}+{\left({\frac {b+c}{2}}\right)}^{2}}}&={\frac {b+c}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc}}\\&={\frac {b+c}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc}}\\&={\frac {b+c}{2}}+{\frac {b-c}{2}}\\&=b\end{aligned}}}$

und

${\displaystyle {}{\frac {b+c}{2}}-{\sqrt {a^{2}+{\left({\frac {b+c}{2}}\right)}^{2}}}={\frac {b+c}{2}}-{\frac {b-c}{2}}=c\,.}$

Beide Abbildungen sind stetig, daher liegt eine Homöomorphie vor. Für ${\displaystyle {}M_{-}}$ vertauscht man die Rollen von ${\displaystyle {}b}$ und ${\displaystyle {}c}$.

Sagen Sie etwas Schlaues zum Thema Möbiusband.

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xyz^{2},xy-z^{3}).}$

Berechne die Matrix der Abbildung

${\displaystyle \bigwedge ^{2}T_{P}(\varphi )\colon \bigwedge ^{2}T_{P}\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \bigwedge ^{2}T_{\varphi (P)}\mathbb {R} ^{2}}$

im Punkt ${\displaystyle {}P=(1,3,5)}$ bezüglich einer geeigneten Basis.

Die Jacobimatrix von ${\displaystyle {}\varphi }$ ist allgemein

${\displaystyle {\begin{pmatrix}yz^{2}&xz^{2}&2xyz\\y&x&-3z^{2}\end{pmatrix}}.}$

Für den Punkt ${\displaystyle {}P=(1,3,5)}$ liegt daher die Jacobimatrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}75&25&30\\3&1&-75\end{pmatrix}}}$

vor. Diese Matrix beschreibt die lineare Abbildung

${\displaystyle L\colon T_{P}\mathbb {R} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow T_{\varphi (P)}\mathbb {R} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{2}}$

bezüglich der Standardbasen. Wir bestimmen die Matrixdarstellung für die Abbildung

${\displaystyle \bigwedge ^{2}L\colon \bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{2}}$

bezüglich der Basen ${\displaystyle {}e_{1}\wedge e_{2},\,e_{1}\wedge e_{3}}$ , ${\displaystyle {}e_{2}\wedge e_{3}}$ (links) und ${\displaystyle {}e_{1}\wedge e_{2}}$ (rechts). Dazu müssen wir die Bilder dieser Dachprodukte ausrechnen. Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(\bigwedge ^{2}L)(e_{1}\wedge e_{2})&=L(e_{1})\wedge L(e_{2})\\&=(75e_{1}+3e_{2})\wedge (25e_{1}+1e_{2})\\&=75e_{1}\wedge e_{2}+75e_{2}\wedge e_{1}\\&=75e_{1}\wedge e_{2}-75e_{1}\wedge e_{2}\\&=0,\end{aligned}}}$

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(\bigwedge ^{2}L)(e_{1}\wedge e_{3})&=L(e_{1})\wedge L(e_{3})\\&=(75e_{1}+3e_{2})\wedge (30e_{1}-75e_{2})\\&=-75^{2}e_{1}\wedge e_{2}+90e_{2}\wedge e_{1}\\&=(-5625-90)e_{1}\wedge e_{2}\\&=-5715e_{1}\wedge e_{2},\end{aligned}}}$

und

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(\bigwedge ^{2}L)(e_{2}\wedge e_{3})&=L(e_{2})\wedge L(e_{3})\\&=(25e_{1}+1e_{2})\wedge (30e_{1}-75e_{2})\\&=-1875e_{1}\wedge e_{2}+30e_{2}\wedge e_{1}\\&=-1905e_{1}\wedge e_{2}.\end{aligned}}}$

Die beschreibende Matrix ist also

${\displaystyle \left(0,-5715,-1905\right).}$

Es seien ${\displaystyle {}W\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$ und ${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ offene Teilmengen und sei

${\displaystyle \psi \colon W\longrightarrow U}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei

${\displaystyle f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass

${\displaystyle {}d(\psi ^{*}f)=\psi ^{*}(df)\,}$

gilt, wobei ${\displaystyle {}\psi ^{*}}$ das Zurückziehen von Differentialformen bezeichnet.

Es sei ${\displaystyle {}P\in W}$ und ${\displaystyle {}v\in \mathbb {R} ^{m}}$. Es ist einerseits

${\displaystyle {}d(\psi ^{*}f)(P,v)=D_{P}(f\circ \psi )(v)={\left({\left(D_{\psi (P)}f\right)}\circ {\left(D_{P}\psi \right)}\right)}(v)=D_{\psi (P)}(f){\left(D_{P}\psi (v)\right)}\,.}$

Andererseits ist auch

${\displaystyle {}{\left(\psi ^{*}(df)\right)}(P,v)=(df){\left(\psi (P),(D_{P}\psi )(v)\right)}=D_{\psi (P)}(f){\left(D_{P}\psi (v)\right)}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und sei ${\displaystyle {}\omega }$ eine positive Volumenform auf ${\displaystyle {}M}$. Es sei

${\displaystyle \varphi \colon L\longrightarrow M}$

ein Diffeomorphismus mit der Mannigfaltigkeit ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}S\subseteq L}$ eine messbare Teilmenge. Zeige

${\displaystyle {}\int _{S}\varphi ^{*}\omega =\int _{\varphi (S)}\omega \,.}$

Nach Lemma 15.2 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) können wir davon ausgehen, dass ${\displaystyle {}S}$ und ${\displaystyle {}\varphi (S)}$ jeweils ganz in einer Karte von ${\displaystyle {}L}$ bzw. von ${\displaystyle {}M}$ liegen, sagen wir ${\displaystyle {}S\subseteq U}$ mit der Karte

${\displaystyle \alpha \colon U\longrightarrow U'\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

und ${\displaystyle {}\varphi (S)\subseteq V}$ mit der Karte

${\displaystyle \beta \colon V\longrightarrow V'\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}$

Wir können weiter durch verkleinern der Karten davon ausgehen, dass ${\displaystyle {}U}$ und ${\displaystyle {}V}$ über ${\displaystyle {}\varphi }$ diffeomorph zueinander sind. Es liegt dann ein kommutatives Diagramm von Diffeomorphismen

${\displaystyle {\begin{matrix}U&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&V&\\\!\!\!\!\!\alpha \downarrow &&\downarrow \beta \!\!\!\!\!&\\U'&{\stackrel {\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}}{\longrightarrow }}&V'&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

vor, das ein kommutatives Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}S&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&\varphi (S)&\\\!\!\!\!\!\alpha \downarrow &&\downarrow \beta \!\!\!\!\!&\\\alpha (S)&{\stackrel {\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}}{\longrightarrow }}&\beta (\varphi (S))&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

von messbaren Mengen induziert. Für die Volumenform ${\displaystyle {}\omega }$ auf ${\displaystyle {}V}$ gilt dabei

${\displaystyle {}\alpha ^{{-1}*}(\varphi ^{*}\omega )={\left(\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}\right)}^{*}(\beta ^{{-1}*}\omega )\,.}$

nach Lemma 14.7 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))  (4). Die Volumenform ${\displaystyle {}\beta ^{{-1}*}\omega }$ besitzt auf ${\displaystyle {}V'}$ die Beschreibung ${\displaystyle {}gdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}}$ mit einer messbaren Funktion ${\displaystyle {}g\colon V'\rightarrow \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle {}\int _{\varphi (S)}\omega }$ ist nach Definition gleich ${\displaystyle {}\int _{\beta (\varphi (S))}gd\lambda ^{n}}$. Ebenso besitzt ${\displaystyle {}\alpha ^{{-1}*}(\varphi ^{*}\omega )}$ auf ${\displaystyle {}U'}$ eine Beschreibung der Form ${\displaystyle {}fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}}$. Diese Volumenform auf ${\displaystyle {}U'}$ stimmt mit dem Rückzug von ${\displaystyle {}gdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}}$ überein und dieser ist nach Korollar 14.9 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) gleich

${\displaystyle (g\circ \psi )\cdot \det {\left({\left({\frac {\partial \psi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}}$

(mit ${\displaystyle {}\psi =\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}}$). Somit folgt die Aussage aus [[Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Fakt|Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/3/Klausur mit Lösungen (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))]].

Wir betrachten auf dem trivialen Vektorbündel

${\displaystyle p\colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}}$

vom Rang ${\displaystyle {}1}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ den linearen Zusammenhang, der durch die Christoffelsymbole ${\displaystyle {}\Gamma _{1}(x,y)=x^{5}-x^{2}y^{2}+3y^{4}}$ und ${\displaystyle {}\Gamma _{2}(x,y)=7x^{3}+xy^{2}-4y^{5}}$ gegeben sei. Berechne den Krümmungsoperator ${\displaystyle {}R{\left(\partial _{1},\partial _{2}\right)}}$.

Nach Fakt ***** ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}R{\left(\partial _{1},\partial _{2}\right)}&=\partial _{1}\Gamma _{2}-\partial _{2}\Gamma _{1}\\&=\partial _{1}{\left(7x^{3}+xy^{2}-4y^{5}\right)}-\partial _{2}{\left(x^{5}-x^{2}y^{2}+3y^{4}\right)}\\&=21x^{2}+y^{2}-5x^{4}-2xy^{2}.\end{aligned}}}$

Beweise den Satz über die Retraktionen auf den Rand auf Mannigfaltigkeiten.

Der Rand ${\displaystyle {}\partial M}$ ist nach Satz 21.8 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) eine orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand). Daher gibt es nach Satz 22.11 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) eine stetig differenzierbare positive Volumenform ${\displaystyle {}\tau }$ auf ${\displaystyle {}\partial M}$. Es ist ${\displaystyle {}\int _{\partial M}\tau >0}$. Die äußere Ableitung der Volumenform ${\displaystyle {}\tau }$ ist ${\displaystyle {}0}$. Nehmen wir an, dass es eine stetig differenzierbare Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon M\longrightarrow \partial M}$

mit ${\displaystyle {}\varphi {|}_{\partial M}=\operatorname {Id} _{\partial M}}$ gebe. Dann ist die zurückgezogene Form ${\displaystyle {}\varphi ^{*}\tau }$ eine ${\displaystyle {}(n-1)}$- Differentialform auf ${\displaystyle {}M}$, deren Einschränkung auf den Rand mit ${\displaystyle {}\tau }$ übereinstimmt. Daher gilt unter Verwendung von Satz 23.2 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) und Satz 20.4 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))  (5)

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{\partial M}\tau &=\int _{\partial M}\varphi ^{*}\tau \\&=\int _{M}d(\varphi ^{*}\tau )\\&=\int _{M}\varphi ^{*}(d\tau )\\&=\int _{M}\varphi ^{*}(0)\\&=0.\end{aligned}}}$

Dies ist ein Widerspruch.