Kurs:Elementare Algebra/10/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
2. Ein Normalteiler ${\displaystyle {}N}$ in einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
3. Ein Radikal in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
4. Der Quotientenkörper zu einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
5. Ein Untervektorraum ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ in einem ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
6. Eine aus einer Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq E}$ einer Ebene ${\displaystyle {}E}$ elementar konstruierbare Gerade ${\displaystyle {}G}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Lemma von Bezout für zwei Elemente ${\displaystyle {}a,b}$ in einem Hauptidealbereich.
2. Der Satz über die Faktorisierung für einen Ringhomomorphismus.
3. Der Basisaustauschsatz.

Beweise den Satz über die Lösbarkeit von Gleichungen in einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.

Wir betrachten die linke Gleichung. Aus beidseitiger Multiplikation mit ${\displaystyle {}a^{-1}}$ (bzw. mit ${\displaystyle {}a}$) von links folgt, dass nur

${\displaystyle {}x=a^{-1}\circ b\,}$

als Lösung in Frage kommt. Wenn man dies einsetzt, so sieht man, dass es sich in der Tat um eine Lösung handelt.

Berechne

${\displaystyle (-2x^{3}+3x^{2}+3x-2)^{2}}$

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(-2x^{3}+3x^{2}+3x-2)^{2}&=4x^{6}-12x^{5}-3x^{4}+26x^{3}-3x^{2}-12x+4\\\end{aligned}}}$

Es sei ${\displaystyle {}P\in {\mathbb {C} }[X]}$ ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),}$

surjektiv ist.

Es sei ${\displaystyle {}c\in {\mathbb {C} }}$ vorgegeben. Da ${\displaystyle {}P}$ nicht konstant ist, ist auch ${\displaystyle {}P(z)-c}$ nicht konstant und besitzt nach dem Fundamentalsatz der Algebra eine Nullstelle. Also gibt es ein ${\displaystyle {}w\in {\mathbb {C} }}$ mit

${\displaystyle {}P(w)-c=0\,,}$

also

${\displaystyle {}P(w)=c\,.}$

Beweise das Lemma von Bezout für einen Hauptidealbereich.

Es sei ${\displaystyle {}I=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ das von den Elementen erzeugte Ideal. Da wir in einem Hauptidealring sind, handelt es sich um ein Hauptideal; es gibt also ein Element ${\displaystyle {}d}$ mit ${\displaystyle {}I=(d)}$. Wir behaupten, dass ${\displaystyle {}d}$ ein größter gemeinsamer Teiler der ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ist. Die Inklusionen ${\displaystyle {}(a_{i})\subseteq I=(d)}$ zeigen, dass es sich um einen gemeinsamen Teiler handelt. Es sei ${\displaystyle {}e}$ ein weiterer gemeinsamer Teiler der ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{n}}$. Dann ist wieder ${\displaystyle {}(d)=I\subseteq (e)}$, was wiederum ${\displaystyle {}e{|}d}$ bedeutet. Die Darstellungsaussage folgt unmittelbar aus ${\displaystyle {}d\in I=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$.

Im teilerfremden Fall ist ${\displaystyle {}I=(a_{1},\ldots ,a_{n})=R}$.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${\displaystyle {}5371400}$ und ${\displaystyle {}695700}$.

Es ist offenbar ${\displaystyle {}100}$ ein gemeinsamer Teiler der beiden Zahlen, deshalb bestimmen wir den größten gemeinsamen Teiler von ${\displaystyle {}53714}$ und ${\displaystyle {}6957}$. Der Euklidische Algorithmus liefert:

${\displaystyle 53714=7\cdot 6957+5015}$

${\displaystyle 6957=1\cdot 5015+1942}$

${\displaystyle 5015=2\cdot 1942+1131}$

${\displaystyle 1942=1\cdot 1131+811}$

${\displaystyle 1131=1\cdot 811+320}$

${\displaystyle 811=2\cdot 320+171}$

${\displaystyle 320=1\cdot 171+149}$

${\displaystyle 171=1\cdot 149+22}$

${\displaystyle 149=6\cdot 22+17}$

${\displaystyle 22=1\cdot 17+5}$

${\displaystyle 17=3\cdot 5+2}$

${\displaystyle 5=2\cdot 2+1}$

${\displaystyle 2=2\cdot 1+0.}$

Daher sind die beiden um ${\displaystyle {}100}$ gekürzten Zahlen teilerfremd und der größte gemeinsame Teiler der beiden Ausgangszahlen ist ${\displaystyle {}100}$.

Zeige, dass eine Quadratzahl ${\displaystyle {}\neq 0}$ stets eine ungerade Anzahl an Teilern besitzt.

Es sei

${\displaystyle {}a=b^{2}\,}$

und

${\displaystyle {}b=p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,}$

die Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}b}$ (mit verschiedenen Primfaktoren). Dann ist

${\displaystyle {}a={\left(p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\right)}^{2}=p_{1}^{2r_{1}}\cdots p_{k}^{2r_{k}}\,.}$

Die Teiler von ${\displaystyle {}a}$ haben die Form

${\displaystyle p_{1}^{i_{1}}\cdots p_{k}^{i_{k}}}$

mit

${\displaystyle {}0\leq i_{j}\leq 2r_{j}\,}$

für alle ${\displaystyle {}j}$. Somit gibt es

${\displaystyle (2r_{1}+1)\cdots (2r_{2}+1)\cdots (2r_{k}+1)}$

Teiler von ${\displaystyle {}a}$, und dies ist als ein Produkt von ungeraden Zahlen wieder ungerade.

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow H.}$

Wenn ${\displaystyle {}\varphi }$ injektiv ist, so darf auf jedes Element ${\displaystyle {}h\in H}$ höchstens ein Element aus ${\displaystyle {}G}$ gehen. Da ${\displaystyle {}e_{G}}$ auf ${\displaystyle {}e_{H}}$ geschickt wird, darf kein weiteres Element auf ${\displaystyle {}e_{H}}$ gehen, d.h. ${\displaystyle {}\ker \varphi =\{e_{G}\}}$. Es sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass ${\displaystyle {}g,{\tilde {g}}\in G}$ beide auf ${\displaystyle {}h\in H}$ geschickt werden. Dann ist

${\displaystyle {}\varphi {\left(g{\tilde {g}}^{-1}\right)}=\varphi (g)\varphi ({\tilde {g}})^{-1}=hh^{-1}=e_{H}\,}$

und damit ist ${\displaystyle {}g{\tilde {g}}^{-1}\in \operatorname {kern} \varphi }$, also ${\displaystyle {}g{\tilde {g}}^{-1}=e_{G}}$ nach Voraussetzung und damit ${\displaystyle {}g={\tilde {g}}}$.

Wir betrachten in der Gruppe ${\displaystyle {}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} =\mathbb {Z} ^{2}}$ die Untergruppe

${\displaystyle {}U=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\rangle ={\left\{a{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\,}$

und die zugehörige Äquivalenzrelation.

a) Skizziere die Punkte (eine sinnvolle Auswahl) aus ${\displaystyle {}U}$ (als Punkte in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{2}}$) mit einer Farbe.

b) Skizziere mit verschiedenen Farben die verschiedenen Äquivalenzklassen (Nebenklassen).

c) Wie viele Äquivalenzklassen gibt es? Beschreibe ein Repräsentantensystem.

d) Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Farben. Welche Farben sind zueinander invers?

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon K\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2}(K),\,a\longmapsto {\begin{pmatrix}a&0\\0&0\end{pmatrix}}.}$

Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung ${\displaystyle {}\varphi }$, welche nicht?

Es ist

${\displaystyle {}\varphi (a+b)={\begin{pmatrix}a+b&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&0\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b&0\\0&0\end{pmatrix}}=\varphi (a)+\varphi (b)\,,}$

die Abbildung ist also mit der Addition verträglich.

Es ist

${\displaystyle {}\varphi (a\cdot b)={\begin{pmatrix}a\cdot b&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&0\\0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b&0\\0&0\end{pmatrix}}=\varphi (a)\cdot \varphi (b)\,,}$

die Abbildung ist also mit der Multiplikation verträglich.

Es ist

${\displaystyle {}\varphi (1)={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,}$

die Abbildung bildet also nicht die ${\displaystyle {}1}$ auf die ${\displaystyle {}1}$ ab. Insgesamt liegt kein Ringhomomorphismus vor.

Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ nach ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ gibt.

Angenommen, es existiert ein Ringhomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {Q} .}$

Es sei ${\displaystyle {}x=\varphi ({\sqrt {2}})}$, eine rationale Zahl. Es gilt dann

${\displaystyle {}2=\varphi (2)=\varphi ({\sqrt {2}})\cdot \varphi ({\sqrt {2}})=x^{2}\,,}$

ein Widerspruch zu Satz . (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)).

Berechne ${\displaystyle {}24^{1000000}}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(35)}$.

Der Zahl ${\displaystyle {}24}$ entspricht in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(35)\cong \mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(7)}$ das Paar ${\displaystyle {}(4,3)}$. Das Element ${\displaystyle {}4}$ hat in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)}$ die Ordnung ${\displaystyle {}2}$. Das Element ${\displaystyle {}3}$ hat in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(7)}$ wegen ${\displaystyle {}3^{2}=2\neq 1}$ und ${\displaystyle {}3^{3}=6\neq 1}$ die Ordnung ${\displaystyle {}6}$. Die multiplikative Ordnung von ${\displaystyle {}24}$ ist somit ${\displaystyle {}6}$. In ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(6)}$ gilt (durch abziehen von ${\displaystyle 600000}$ und ${\displaystyle 360000}$ etc.)

${\displaystyle {}1000000=400000=40000=4000=400=40=4\,.}$

Daher ist die gefragte Potenz in Produktschreibweise gleich

${\displaystyle {}(4^{4},3^{4})=(1,2^{2})=(1,4)\,.}$

Diesem Paar entspricht das Element ${\displaystyle {}11}$.

Wir betrachten die letzte Ziffer im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) als eine Familie von ${\displaystyle {}9}$-Tupeln der Länge ${\displaystyle {}9}$, also die Zeilenvektoren in der Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\2&4&6&8&0&2&4&6&8\\3&6&9&2&5&8&1&4&7\\4&8&2&6&0&4&8&2&6\\5&0&5&0&5&0&5&0&5\\6&2&8&4&0&6&2&8&4\\7&4&1&8&5&2&9&6&3\\8&6&4&2&0&8&6&4&2\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end{pmatrix}}.}$

Welche Dimension besitzt der durch diese Tupel aufgespannte Untervektorraum des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{9}}$?

Die Zeilen der Matrix seien mit ${\displaystyle {}I-IX}$ bezeichnet. Es ist

${\displaystyle {}I+IX=III+VII=\left(10,\,10,\,10,\,10,\,10,\,10,\,10,\,10,\,10\right)\,}$

und

${\displaystyle {}II+VIII=IV+VI=\left(10,\,10,\,10,\,10,\,0,\,10,\,10,\,10,\,10\right)\,.}$

Somit tragen die achte und die neunte Zeile nichts zur Vektorraumdimension bei, da sie in dem von den ersten sieben Zeilen erzeugten Untervektorraum liegen. Ferner zeigen diese Gleichungen, dass man die siebte Zeile durch die Zeile

${\displaystyle {}VII'=\left(1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1\right)\,}$

und die sechste Zeile (durch ${\displaystyle \left(1,\,1,\,1,\,1,\,0,\,1,\,1,\,1,\,1\right)}$ und damit) durch

${\displaystyle {}VI'=\left(0,\,0,\,0,\,0,\,1,\,0,\,0,\,0,\,0\right)\,}$

ersetzen kann. Wir berechnen

${\displaystyle {}II-2I=\left(0,\,0,\,0,\,0,\,-10,\,-10,\,-10,\,-10,\,-10\right)\,,}$

${\displaystyle {}III-3I=\left(0,\,0,\,0,\,-10,\,-10,\,-10,\,-20,\,-20,\,-20\right)\,,}$

${\displaystyle {}IV-4I=\left(0,\,0,\,-10,\,-10,\,-20,\,-20,\,-20,\,-30,\,-30\right)\,,}$

${\displaystyle {}V-5I=\left(0,\,-10,\,-10,\,-20,\,-20,\,-30,\,-30,\,-40,\,-40\right)\,}$

und bezeichnen hinfort die mit ${\displaystyle {}-{\frac {1}{10}}}$ multiplizierten Vektoren mit ${\displaystyle {}II',III',IV',V'}$. Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}VII^{\prime \prime }&:=VII'-I+V'+IV'\\&=\left(1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1\right)\\&\,-\left(1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\right)\\&\,+\left(0,\,1,\,1,\,2,\,2,\,3,\,3,\,4,\,4\right)\\&\,+\left(0,\,0,\,1,\,1,\,2,\,2,\,2,\,3,\,3\right)\\&=\left(0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,-1,\,0,\,-1\right).\end{aligned}}}$

In der Reihenfolge

${\displaystyle I,V',IV',III',VI',II'-VI',VII^{\prime \prime }}$

sind diese Vektoren in oberer Dreiecksgestalt und somit ist die Dimension gleich ${\displaystyle {}7}$.

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${\displaystyle {}a,b,c\in {]0,1[}}$ mit

${\displaystyle {}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.}$

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${\displaystyle {}a,b,c\in {]0,1[}}$ mit

${\displaystyle {}a^{2}+b^{2}\neq c^{2}\,.}$

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen ${\displaystyle {}a,b\in {]0,1[}}$ und eine rationale Zahl ${\displaystyle {}c\in {]0,1[}}$ mit

${\displaystyle {}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.}$

a) Es ist

${\displaystyle {}3^{2}+4^{2}=5^{2}\,,}$

daher ist

${\displaystyle {}{\left({\frac {3}{6}}\right)}^{2}+{\left({\frac {4}{6}}\right)}^{2}={\left({\frac {5}{6}}\right)}^{2}\,,}$

und diese Zahlen sind rational und aus dem offenen Einheitsintervall.

b) Wir nehmen ${\displaystyle {}a={\frac {3}{6}}}$ und ${\displaystyle {}b={\frac {4}{6}}}$ und ${\displaystyle {}c={\frac {1}{6}}}$. Die Summe ist

${\displaystyle {}a^{2}+b^{2}={\left({\frac {5}{6}}\right)}^{2}\neq {\left({\frac {1}{6}}\right)}^{2}\,.}$

c) Wir setzen

${\displaystyle {}a=b={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\,;}$

diese Zahl ist irrational, da ${\displaystyle {}{\sqrt {2}}}$ irrational ist. Es gilt

${\displaystyle {}{\left({\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}^{2}+{\left({\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}^{2}={\frac {1}{4\cdot 2}}+{\frac {1}{4\cdot 2}}={\frac {1}{4}}={\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}\,.}$

Mit ${\displaystyle {}c={\frac {1}{2}}}$ ist also ein Beispiel der gewünschten Art gefunden.

Zeige, dass das Polynom

${\displaystyle X^{3}-3X+1}$

über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ irreduzibel ist.

Nach Lemma 6.9 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) genügt es zu zeigen, dass ${\displaystyle {}X^{3}-3X+1}$ keine rationale Nullstelle besitzt. Nehmen wir an, dass

${\displaystyle {}q={\frac {a}{b}}\,}$

eine Nullstelle ist mit ${\displaystyle {}a,b\in \mathbb {Z} }$ in gekürzter Darstellung. Es gilt dann

${\displaystyle {}{\left({\frac {a}{b}}\right)}^{3}-3{\frac {a}{b}}+1=0\,}$

bzw.

${\displaystyle {}a^{3}-3ab^{2}+b^{3}=0\,.}$

Wenn eine Primzahl ${\displaystyle {}p}$ die Zahl ${\displaystyle {}a}$ teilt, folgt daraus, dass auch ${\displaystyle {}b}$ von ${\displaystyle {}p}$ geteilt wird, was der Gekürztheit widerspricht. Wegen ${\displaystyle {}b\neq 0}$ ist auch ${\displaystyle {}a\neq 0}$. Also muss ${\displaystyle {}a}$ eine Einheit sein. Wenn ${\displaystyle {}b}$ von einer Primzahl ${\displaystyle {}p}$ geteilt wird, so wäre auch ${\displaystyle {}a}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$. Also ist auch ${\displaystyle {}b}$ eine Einheit. Die verbleibenden Möglichkeiten ${\displaystyle {}a,b=\pm 1}$, also ${\displaystyle {}q=\pm 1}$, sind keine Nullstelle des Polynoms, wie Einsetzen zeigt.

Wir betrachten einen zusammengelegten Kaffeefilter. Der Winkel zwischen den beiden geraden Seiten beträgt, wenn man sie nach unten verlängert, ${\displaystyle {}90}$ Grad. Der Abstand zwischen den beiden Eckpunkten, wo die beiden Seiten sich mit dem gebogenen Rand oben treffen, beträgt ${\displaystyle {}20}$ cm. Wie groß ist der Durchmesser des oberen Kreises des Filters, der entsteht, wenn man ihn ausbreitet, um ihn befüllen zu können?

Es sei ${\displaystyle {}P}$ der Schnittpunkt der beiden verlängerten geraden Seiten, ${\displaystyle {}Q}$ sei der linke Eckpunkt und ${\displaystyle {}M}$ sei der Mittelpunkt der oberen Verbindungsstrecke. Dann bilden ${\displaystyle {}P,Q,M}$ ein gleichschenkligens rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel an ${\displaystyle {}M}$. Der Abstand von ${\displaystyle {}Q}$ zu ${\displaystyle {}M}$ ist ${\displaystyle {}10}$ cm und daher ist auch der Abstand von ${\displaystyle {}M}$ zu ${\displaystyle {}P}$ gleich ${\displaystyle {}10}$ cm. Nach dem Satz des Pythagoras ist der Abstand von ${\displaystyle {}Q}$ zu ${\displaystyle {}P}$ gleich ${\displaystyle {}10{\sqrt {2}}}$ cm. Dies ist zugleich der Radius des Kreises mit Mittelpunkt ${\displaystyle {}P}$, der den oberen runden Rand beschreibt. Da dieser Rand ein Viertel des Kreises ist, ist seine Länge gleich ${\displaystyle {}{\frac {10}{2}}{\sqrt {2}}\pi =5{\sqrt {2}}\pi }$ cm. Wir betrachten nun den Kreis, der entsteht, wenn man den Filter ausbreitet. Der soeben beschriebene Rand ist die Hälfte von diesem neuen Kreisrand, dessen Gesamtlänge ist daher gleich ${\displaystyle {}10{\sqrt {2}}\pi }$ cm. Der Durchmesser dieses Kreises ist daher gleich ${\displaystyle {}10{\sqrt {2}}}$ cm.

Es sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ und es sei ${\displaystyle {}\mu _{n}\subseteq {\mathbb {C} }}$ die Menge der ${\displaystyle {}n}$-ten komplexen Einheitswurzeln. Es sei ${\displaystyle {}F\in {\mathbb {C} }[X]}$ ein Polynom. Zeige, dass ${\displaystyle {}F\in {\mathbb {C} }[X^{n}]}$ (d.h., dass ${\displaystyle {}F}$ als Polynom in ${\displaystyle {}X^{n}}$ geschrieben werden kann) genau dann gilt, wenn für jedes ${\displaystyle {}z\in \mu _{n}}$ die Gleichheit

${\displaystyle {}F(zX)=F(X)\,}$

gilt.

Es sei zunächst ${\displaystyle {}F\in {\mathbb {C} }[X^{n}]}$. Dann schreiben wir ${\displaystyle {}F=\sum _{i=0}^{k}a_{i}(X^{n})^{i}}$. Für ${\displaystyle {}z\in \mu _{n}}$ ist somit

${\displaystyle {}F(zX)=\sum _{i=0}^{k}a_{i}((zX)^{n})^{i}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}(z^{n}X^{n})^{i}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}(X^{n})^{i}=F(X)\,.}$

Für die Umkehrung sei

${\displaystyle F=\sum _{i=0}^{k}c_{i}X^{i}.}$

Es sei ${\displaystyle {}z}$ eine primitive ${\displaystyle {}n}$-te Einheitswurzel, sodass man alle Einheitswurzeln eindeutig als ${\displaystyle {}z^{j}}$, ${\displaystyle {}j=0,\ldots ,n-1}$, schreiben kann. Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}nF(X)&=\sum _{j=0}^{n-1}F(z^{j}X)\\&=\sum _{j=0}^{n-1}(\sum _{i=0}^{k}c_{i}(z^{j})^{i}X^{i})\\&=\sum _{i=0}^{k}(c_{i}\sum _{j=0}^{n-1}(z^{i})^{j})X^{i}.\end{aligned}}}$

Wir zeigen, dass die Koeffizienten zu ${\displaystyle {}X^{i}}$, wenn ${\displaystyle {}i}$ kein Vielfaches von ${\displaystyle {}n}$ ist, gleich ${\displaystyle {}0}$ sind. Dies gilt dann auch für ${\displaystyle {}F}$.

Es sei also ${\displaystyle {}i}$ kein Vielfaches von ${\displaystyle {}n}$. Da ${\displaystyle {}z}$ primitiv ist, ist ${\displaystyle {}w=z^{i}}$ eine ${\displaystyle {}n}$-te Einheitswurzel, aber nicht ${\displaystyle {}1}$. Wegen der Faktorisierung

${\displaystyle X^{n}-1=(X-1)(X^{n-1}+\cdots +X+1)}$

ist daher ${\displaystyle {}\sum _{j=0}^{n-1}w^{j}=0}$.