Kurs:Elementare Algebra/13/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine kommutative Gruppe.
2. Der Grad eines Polynoms ${\displaystyle {}P\in K[X]}$, ${\displaystyle {}P\neq 0}$, über einem Körper ${\displaystyle {}K}$.
3. Zwei teilerfremde Elemente ${\displaystyle {}a,b\in R}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
4. Die Linksnebenklasse von ${\displaystyle {}x}$ in einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$ bezüglich einer Untergruppe ${\displaystyle {}H\subseteq G}$.
5. Eine Linearkombination in einem ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
6. Eine endliche Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms ${\displaystyle {}F\in K[X]}$.
2. Der Homomorphiesatz für Ringhomomorphismen (Satz vom induzierten Homomorphismus).
3. Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.

Es sei ${\displaystyle {}{\left(G,\cdot ,1\right)}}$ eine Gruppe. Es seien ${\displaystyle {}a,b,c\in G}$ Elemente mit

${\displaystyle {}a\cdot b\cdot c=1\,.}$

1. Zeige, dass das Inverse von ${\displaystyle {}b}$ gleich ${\displaystyle {}c\cdot a}$ ist.
2. Zeige, dass das Inverse von ${\displaystyle {}b}$ im Allgemeinen nicht gleich ${\displaystyle {}a\cdot c}$ ist.

1. Wegen

   ${\displaystyle {}a\cdot b\cdot c=1\,}$

   sind ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b\cdot c}$ invers zueinander, daher ist auch

   ${\displaystyle {}b\cdot c\cdot a=1\,,}$

   also ist ${\displaystyle {}c\cdot a}$ das Inverse von ${\displaystyle {}b}$.

2. Es seien ${\displaystyle {}a,b}$ zwei Elemente einer Gruppe mit ${\displaystyle {}a\cdot b\neq b\cdot a}$ und sei

   ${\displaystyle {}c:=b^{-1}\cdot a^{-1}\,,}$

   so dass also

   ${\displaystyle {}a\cdot b\cdot c=1\,}$

   ist. Es ist dann

   ${\displaystyle {}b\cdot a\cdot c=b\cdot a\cdot b^{-1}\cdot a^{-1}\neq 1\,,}$

   da aus

   ${\displaystyle {}b\cdot a\cdot b^{-1}\cdot a^{-1}=1\,}$

   durch Multiplikation mit ${\displaystyle {}a}$ von rechts und dann mit ${\displaystyle {}b}$ von rechts

   ${\displaystyle {}b\cdot a=a\cdot b\,}$

   gelten müsste.

Es sei ${\displaystyle {}n}$ eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl ${\displaystyle {}n^{2}-1}$ eine Primzahl?

Es gilt generell die Zerlegung

${\displaystyle {}n^{2}-1=(n-1)(n+1)\,.}$

Bei ${\displaystyle {}n\geq 3}$ sind beide Faktoren ${\displaystyle {}\geq 2}$ und daher kann ${\displaystyle {}n^{2}-1}$ nicht prim sein. Bei ${\displaystyle {}n=2}$ ist

${\displaystyle {}2^{2}-1=3\,}$

eine Primzahl. Bei ${\displaystyle {}n=0,1}$ liegt keine Primzahl vor.

Beweise den binomischen Lehrsatz für einen kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.

Wir führen Induktion nach ${\displaystyle {}n}$. Für ${\displaystyle {}n=0}$ steht einerseits ${\displaystyle {}(a+b)^{0}=1}$ und andererseits ${\displaystyle {}a^{0}b^{0}=1}$. Es sei die Aussage bereits für ${\displaystyle {}n}$ bewiesen. Dann ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(a+b)^{n+1}&=(a+b)(a+b)^{n}\\&=(a+b){\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)}\\&=a\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)+b\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}\left({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right)a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}.\end{aligned}}}$

Es seien ${\displaystyle {}x,y\in R}$ Elemente in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$. Welche der folgenden Formulierungen sind zu

${\displaystyle {}Rx\subseteq Ry\,}$

äquivalent.

1. ${\displaystyle {}x}$ teilt ${\displaystyle {}y}$.
2. ${\displaystyle {}x}$ wird von ${\displaystyle {}y}$ geteilt.
3. ${\displaystyle {}y}$ wird von ${\displaystyle {}x}$ geteilt.
4. ${\displaystyle {}x}$ ist ein Vielfaches von ${\displaystyle {}y}$.
5. ${\displaystyle {}x}$ ist ein Vielfaches von ${\displaystyle {}x}$.
6. ${\displaystyle {}y}$ teilt ${\displaystyle {}x}$.
7. ${\displaystyle {}Rx\cap Ry=Rx}$.
8. Jedes Vielfache von ${\displaystyle {}y}$ ist auch ein Vielfaches von ${\displaystyle {}x}$.
9. Jeder Teiler von ${\displaystyle {}y}$ ist auch ein Teiler von ${\displaystyle {}x}$.
10. Ein Maikäfer ist ein Schmetterling.

Richtig sind ${\displaystyle {}2),4),6),7),9)}$.

Ein Metallarbeiter hat zwei Metallstäbe zur Verfügung. Wenn er den kleinen siebenmal hintereinanderlegt, erhält er genau drei Meter. Wenn er den großen achtmal hintereinanderlegt, erhält er genau fünf Meter.

1. Wie kann er allein mit diesen Stäben eine Länge von einem Meter bestimmen?
2. Was ist die kleinste positive Strecke, die er mit den Stäben messen kann?
3. Welche Streckenlängen kann er mit seinen beiden Metallstäben messen?

1. Wenn er den langen Stab ${\displaystyle {}16}$-mal hintereinander hinlegt, erreicht er ${\displaystyle {}10}$ Meter. Wenn er von dort aus den kleinen Stab rückwärts ${\displaystyle {}21}$-mal hinlegt, erhält er ${\displaystyle {}9}$ Meter in die andere Richtung und damit insgesamt einen Meter.
2. Die beiden Stäbe haben die Länge ${\displaystyle {}{\frac {3}{7}}}$ bzw. ${\displaystyle {}{\frac {5}{8}}}$. Da er die Stäbe nur hintereinander bzw. nebeneinander hinlegen kann, wobei jeweils zwei Endpunkte übereinstimmen müssen, ist die Gesamtheit der erzielbaren Längen gleich

   ${\displaystyle m{\frac {3}{7}}+n{\frac {5}{8}}{\text{ mit }}m,n\in \mathbb {Z} .}$

   Wir arbeiten mit dem Hauptnenner ${\displaystyle {}56}$ und schreiben dies als

   ${\displaystyle m{\frac {24}{56}}+n{\frac {35}{56}}={\left(24m+35n\right)}{\frac {1}{56}}{\text{ mit }}m,n\in \mathbb {Z} .}$

   Von daher ist klar, dass er nur ganzzahlige Vielfache von ${\displaystyle {}{\frac {1}{56}}}$ legen kann. Da ${\displaystyle {}24=3\cdot 8}$ und ${\displaystyle {}35=5\cdot 7}$ teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout ganze Zahlen ${\displaystyle {}m,n}$ mit

   ${\displaystyle {}24m+35n=1\,.}$

   Er kann also in der Tat die Strecke ${\displaystyle {}{\frac {1}{56}}}$ hinlegen.

3. Da er den Prozess, mit dem er ${\displaystyle {}{\frac {1}{56}}}$ hinlegt, beliebig oft und in beide Richtungen ausführen kann, kann er jedes ganzzahlige Vielfache von ${\displaystyle {}{\frac {1}{56}}}$ abmessen.

Beweise das Exponentenkriterium für die Teilbarkeit in einem faktoriellen Bereich.

${\displaystyle {}(1)\Rightarrow (2)}$. Aus der Beziehung ${\displaystyle {}b=ac}$ folgt mit Lemma 9.8 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) direkt

${\displaystyle {}{\exp _{p}(b)}={\exp _{p}(ac)}={\exp _{p}(a)}+{\exp _{p}(c)}\geq {\exp _{p}(a)}\,.}$

${\displaystyle {}(2)\Rightarrow (1)}$

${\displaystyle {}a=u\prod _{p}p^{\exp _{p}(a)}\,}$

und

${\displaystyle {}b=v\prod _{p}p^{\exp _{p}(b)}\,}$

mit Einheiten ${\displaystyle {}u,v}$. Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist ${\displaystyle {}t=u^{-1}v\prod _{p}p^{{\exp _{p}(b)}-{\exp _{p}(a)}}}$ ein Ringelement, das mit ${\displaystyle {}a}$ multipliziert gerade ${\displaystyle {}b}$ ergibt.

1. Bestimme diejenigen reellen Polynomfunktionen, die bijektiv sind und für die die Umkehrfunktion ebenfalls polynomial ist.
2. Man gebe ein Beispiel für eine bijektive reelle Polynomfunktion, für die die Umkehrfunktion kein Polynom ist.
3. Zeige, dass durch das Polynom ${\displaystyle {}X^{5}}$ eine bijektive Abbildung

   ${\displaystyle \mathbb {Z} /(7)\longrightarrow \mathbb {Z} /(7),\,x\longmapsto x^{5},}$

   gegeben ist. Ist die Umkehrabbildung polynomial?

1. Die einzigen reellen Polynome mit polynomialer Umkehrfunktion sind die Polynome der Form ${\displaystyle {}aX+b}$ mit

   ${\displaystyle {}a\neq 0\,.}$

   Für diese ist ${\displaystyle {}{\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}}$ die Umkehrfunktion, da ja wegen

   ${\displaystyle {}{\frac {1}{a}}{\left(aX+b\right)}-{\frac {b}{a}}=X+{\frac {b}{a}}-{\frac {b}{a}}=X\,}$

   und

   ${\displaystyle {}a{\left({\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}\right)}+b=X-b+b=X\,}$

   diese Funktionen invers zueinander sind. Wir zeigen, dass es darüberhinaus keine weiteren Polynome mit polynomialer Umkehrfunktion gibt. Ein konstantes Polynom ist nicht bijektiv. Es sei also ${\displaystyle {}P}$ ein Polynom, das zumindest einen Grad ${\displaystyle {}\geq 2}$ besitzt. Wenn man darin ein weiteres nichtkonstantes Polynom einsetzt, ergibt sich aber ebenfalls ein Polynom vom Grad ${\displaystyle {}\geq 2}$ und nicht ${\displaystyle {}X}$. D.h., dass ${\displaystyle {}P}$ keine polynomiale Umkehrfunktion besitzen kann.

2. Die Funktion

   ${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3},}$

   ist bijektiv nach Lemma 25.18 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)), nach Teil (1) kann aber die Umkehrfunktion nicht polynomial sein.

3. Die vollständige Wertetabelle zu dieser Funktion ist

   ${\displaystyle {}x}$	${\displaystyle {}0}$	${\displaystyle {}1}$	${\displaystyle {}2}$	${\displaystyle {}3}$	${\displaystyle {}4}$	${\displaystyle {}5}$	${\displaystyle {}6}$
   ${\displaystyle {}x^{5}}$	${\displaystyle {}0}$	${\displaystyle {}1}$	${\displaystyle {}4}$	${\displaystyle {}5}$	${\displaystyle {}2}$	${\displaystyle {}3}$	${\displaystyle {}6}$

   also ist die Funktion bijektiv. Diese Funktion ist offenbar zu sich selbst invers, also ist die Umkehrfunktion polynomial.

Zeige, dass das Bild eines Ideals unter einem Ringhomomorphismus nicht unbedingt wieder ein Ideal ist.

Beispielsweise ist ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ ein Ideal (das Einheitsideal), aber ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ ist als Teilmenge von ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ kein Ideal.

Bestimme die Lösungen der Gleichung

${\displaystyle {}x^{2}=x\,}$

über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(6)}$.

Neben den Standardlösungen ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}1}$ ist

${\displaystyle {}3^{2}=9=3\,}$

und

${\displaystyle {}4^{2}=16=4\,.}$

Dagegen ist

${\displaystyle {}2^{2}=4\neq 2\,}$

und

${\displaystyle {}5^{2}=25=1\neq 5\,.}$

Die Lösungen sind also ${\displaystyle {}\{0,1,3,4\}}$.

a) Bestimme die kanonische Produktzerlegung des Restklassenringes ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(180)}$.

b) Bestimme die Anzahl der Einheiten in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(180)}$.

c) Berechne das Bild von ${\displaystyle {}77}$ in der kanonischen Zerlegung. Begründe, dass ${\displaystyle {}77}$ eine Einheit in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(180)}$ ist.

d) Bestimme die multiplikative Ordnung von ${\displaystyle {}77}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(180)}$.

a) Wegen

${\displaystyle {}180=4\cdot 9\cdot 5\,}$

ist

${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(180)\cong \mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(9)\times \mathbb {Z} /(5)\,.}$

b) Die Anzahl der Einheiten in den einzelnen Gruppen sind der Reihe nach ${\displaystyle {}2,6,4}$, daher gibt es insgesamt ${\displaystyle {}48}$ Einheiten in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(180)}$.

c) Das zu ${\displaystyle {}77}$ gehörige Restetupel ist ${\displaystyle {}\left(1,\,5,\,2\right)}$. Da diese Reste jeweils Einheiten sind, ist ${\displaystyle {}77}$ eine Einheit in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(180)}$.

d) Wir berechnen die Ordnungen in den einzelnen Komponenten. ${\displaystyle {}1}$ hat die Ordnung ${\displaystyle {}1}$ in ${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} /(4)\right)}^{\times }}$. In ${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} /(9)\right)}^{\times }}$ ist ${\displaystyle {}5\cdot 5=7}$,

${\displaystyle {}5^{3}=7\cdot 5=8\neq 1\,.}$

Deshalb muss die Ordnung nach Korollar 11.7 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gleich ${\displaystyle {}6}$ sein. In ${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{\times }}$ ist ${\displaystyle {}2\cdot 2=4\neq 1}$, daher ist die Ordnung gleich ${\displaystyle {}4}$. Die multiplikative Ordnung von ${\displaystyle {}77}$ ist das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Einzelordnungen, also gleich ${\displaystyle {}12}$.

Zeige, dass die Gleichung

${\displaystyle {}{\frac {2}{n}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\,}$

in ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$ auch Lösungen ${\displaystyle {}a\neq b}$ besitzt.

Beispielsweise ist

${\displaystyle {}{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{15}}={\frac {3+2}{30}}={\frac {5}{30}}={\frac {1}{6}}={\frac {2}{12}}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${\displaystyle {}K^{n}}$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

Wegen

${\displaystyle {}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}0=0\,}$

für alle

${\displaystyle {}i=1,\ldots ,m\,}$

ist das Nulltupel ${\displaystyle {}(0,\ldots ,0)}$ eine Lösung. Es seien ${\displaystyle {}\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)}$ und${\displaystyle {}\left(y_{1},\,\ldots ,\,y_{n}\right)}$ Lösungen des linearen Gleichungssystems. Zu ${\displaystyle {}s\in K}$ ist dann für jedes ${\displaystyle {}i}$

${\displaystyle {}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\left(sx_{j}\right)}=s\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}=s\cdot 0=0\,.}$

Entsprechend ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\left(x_{j}+y_{j}\right)}&=\sum _{j=1}^{n}{\left(a_{ij}x_{j}+a_{ij}y_{j}\right)}\\&={\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}+{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}\\&=0+0\\&=0\end{aligned}}}$

für alle ${\displaystyle {}i}$. Somit ist der Lösungsraum unter Multiplikation mit einem Skalar und unter Addition abgeschlossen und bildet demnach einen Untervektorraum.

Der Gesamtlösungsraum ist der Durchschnitt der Lösungsräume zu den einzelnen Gleichungen.

Wie erklären Sie einem Grundschulkind, dass der „Raum“ die „Dimension“ ${\displaystyle {}3}$ besitzt?

Es sei ${\displaystyle {}z\in \mathbb {R} }$ derart, dass es ein Polynom ${\displaystyle {}P\neq 0}$ mit rationalen Koeffizienten und mit

${\displaystyle {}P(z)=0\,}$

gibt. Zeige, dass man

${\displaystyle {}z={\frac {u}{v}}\,}$

schreiben kann, wobei ${\displaystyle {}v}$ eine positive natürliche Zahl ist und es zu ${\displaystyle {}u}$ ein normiertes Polynom ${\displaystyle {}Q}$ mit ganzzahligen Koeffizienten und mit

${\displaystyle {}Q(u)=0\,}$

gibt.

Es sei

${\displaystyle {}P=c_{n}X^{n}+\cdots +c_{2}X^{2}+c_{1}X+c_{0}\,}$

mit ${\displaystyle {}c_{i}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}}$, ${\displaystyle {}a_{i},b_{i}\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle {}b_{i}>0}$ und ${\displaystyle {}c_{n}\neq 0}$. Wir multiplizieren dieses Polynom mit ${\displaystyle {}c_{n}^{-1}}$ und können somit annehmen, dass ${\displaystyle {}P}$ normiert ist. Wir setzen

${\displaystyle {}b=b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}\,.}$

Aus

${\displaystyle {}P(z)=z^{n}+c_{n-1}z^{n-1}+\cdots +c_{2}z^{2}+c_{1}z+c_{0}=0\,}$

ergibt sich durch Multiplikation mit ${\displaystyle {}b^{n}}$ direkt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}0&=b^{n}{\left(z^{n}+c_{n-1}z^{n-1}+\cdots +c_{2}z^{2}+c_{1}z+c_{0}\right)}\\&=b^{n}z^{n}+b^{n}c_{n-1}z^{n-1}+\cdots +b^{n}c_{2}z^{2}+b^{n}c_{1}z+b^{n}c_{0}\\&=b^{n}z^{n}+bc_{n-1}b^{n-1}z^{n-1}+\cdots +b^{n-2}c_{2}b^{2}z^{2}+b^{n-1}c_{1}bz+b^{n}c_{0}\\&=(bz)^{n}+bc_{n-1}(bz)^{n-1}+\cdots +b^{n-2}c_{2}(bz)^{2}+b^{n-1}c_{1}(bz)+b^{n}c_{0}.\end{aligned}}}$

Dies bedeutet, dass ${\displaystyle {}bz}$ eine Nullstelle des Polynoms

${\displaystyle {}Q=X^{n}+bc_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b^{n-2}c_{2}X^{2}+b^{n-1}c_{1}X+b^{n}c_{0}\,}$

ist. Dieses Polynom ist normiert und es besitzt wegen

${\displaystyle {}b^{n-i}c_{i}={\left(b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}\right)}^{n-i}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

ganzzahlige Koeffizienten. Somit ist

${\displaystyle {}z={\frac {bz}{b}}\,}$

mit ${\displaystyle {}b\in \mathbb {N} }$ und der Zähler ${\displaystyle {}bz}$ ist die Nullstelle eines normierten ganzzahligen Polynoms.

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl ${\displaystyle {}2+5{\mathrm {i} }}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$.

Es ist

${\displaystyle {}(2+5{\mathrm {i} })^{2}=4-25+20{\mathrm {i} }=-21+20{\mathrm {i} }\,.}$

Dies ist eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$- Linearkombination von ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}2+5{\mathrm {i} }}$, nämlich

${\displaystyle {}-21+20{\mathrm {i} }=-29\cdot 1+4(2+5{\mathrm {i} })\,.}$

Daher ist

${\displaystyle Z^{2}-4Z+29}$

ein annullierendes Polynom von ${\displaystyle {}2+5{\mathrm {i} }}$. Wegen ${\displaystyle {}2+5{\mathrm {i} }\not \in \mathbb {Q} }$ kann es kein annullierendes Polynom von einem kleineren Grad geben, also handelt es sich um das Minimalpolynom.

Bestimme die ${\displaystyle {}x}$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome

${\displaystyle {}P=X^{3}+4X^{2}-7X+1\,}$

und

${\displaystyle {}Q=X^{3}-2X^{2}+5X+3\,.}$

Ein Schnittpunkt liegt genau dann an den Stellen ${\displaystyle {}x}$ vor, die eine Nullstelle von ${\displaystyle {}P-Q}$ sind. Es ist

${\displaystyle {}P-Q=X^{3}+4X^{2}-7X+1-{\left(X^{3}-2X^{2}+5X+3\right)}=6X^{2}-12X-2\,.}$

Wir normieren dieses quadratische Polynom und erhalten die Bedingung

${\displaystyle {}X^{2}-2X-{\frac {1}{3}}=0\,.}$

Die Lösungen dafür sind

${\displaystyle {}{\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {2\pm {\sqrt {4+{\frac {4}{3}}}}}{2}}\\&={\frac {2\pm {\sqrt {\frac {16}{3}}}}{2}}\\&={\frac {2\pm 4{\sqrt {\frac {1}{3}}}}{2}}\\&=1\pm 2{\sqrt {\frac {1}{3}}}.\end{aligned}}}$

Dies sind die ${\displaystyle {}x}$-Koordinaten der beiden Schnittpunkte.

Wir starten mit einer Geraden und den beiden darauf markierten Punkten ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}1}$. Wir betrachten Zirkelkonstruktionen, wobei nur Punkte auf dieser Geraden und Kreise erlaubt sind, die durch schon konstruierte Punkte auf dieser Geraden gegeben sind. Wir definieren rekursiv die Eigenschaft, dass ein Punkt in (höchstens) ${\displaystyle {}n+1}$ Schritten konstruierbar ist, wenn er auf dieser Geraden und auf einem Kreis liegt, der durch zwei Punkte gegeben ist, die in (höchstens) ${\displaystyle {}n}$ Schritten konstruierbar sind. Im nullten Schritt sind nur die beiden vorgegebenen Punkte konstruierbar. Erstelle eine rekursive Formel für ${\displaystyle {}\varphi (n+1)}$, die angibt, wie viele Punkte man in (höchstens) ${\displaystyle {}n+1}$ Schritten konstruieren kann. Was ist ${\displaystyle {}\varphi (3)}$?

Wir behaupten, dass die nach (höchstens) ${\displaystyle {}n}$ Schritten konstruierbaren Zahlen die lückenfreien ganzzahligen Zahlen sind, die symmetrisch zu ${\displaystyle {}{\frac {1}{2}}}$ liegen, und dass dabei die rekursive Beziehung

${\displaystyle {}\varphi (n+1)=3\varphi (n)-2\,}$

gilt. Dies beweisen wir durch Induktion über ${\displaystyle {}n}$, wobei die Aussage für ${\displaystyle {}n=0}$ stimmt. Die Aussage sei für ${\displaystyle {}n}$ bekannt, d.h. es gibt ${\displaystyle {}\varphi (n)}$ ganzzahlige lückenfreie Zahlen auf der Geraden, die symmetrisch zu ${\displaystyle {}{\frac {1}{2}}}$ liegen. Mit dem äußersten Punkt rechts als Mittelpunkt kann man durch jeden der ${\displaystyle {}\varphi (n)-1}$ anderen Punkte einen Kreis ziehen und erhält rechts von diesem Punkt ${\displaystyle {}\varphi (n)-1}$ neue Punkte, die ganzzahlig sind und lückenfrei nebeneinander liegen. Das gleiche geschieht mit dem äußersten Punkt links als Mittelpunkt, wodurch die Symmetrie gewahrt bleibt. Da man auch die alten Punkte mitberücksichtigen muss, ist

${\displaystyle {}\varphi (n+1)=\varphi (n)+2{\left(\varphi (n)-1\right)}=3\varphi (n)-2\,.}$

Es ist

${\displaystyle {}\varphi (1)=3\cdot 2-2=4\,,}$

${\displaystyle {}\varphi (2)=3\cdot 4-2=10\,,}$

${\displaystyle {}\varphi (3)=3\cdot 10-2=28\,.}$