Kurs:Elementare Algebra/14/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Einheit in einem Ring ${\displaystyle {}R}$.
2. Der Realteil einer komplexen Zahl ${\displaystyle {}z}$.
3. Ein maximales Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
4. Der Kern eines Gruppenhomomorphismus

   ${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow H.}$

5. Ein Erzeugendensystem ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ eines ${\displaystyle {}K}$-Vektorraumes ${\displaystyle {}V}$.
6. Der Grad einer endlichen Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Division mit Rest für die ganzen Zahlen.
2. Der Satz über die Norm im Ring der Gaußschen Zahlen.
3. Der Satz über das Minimalpolynom und Irreduzibilität bei einer Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.

Ist die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\longrightarrow \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+},\,(a,b)\longmapsto (a+b,ab,a^{b}),}$

injektiv oder nicht?

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}x\in K}$ ein Element mit ${\displaystyle {}x\neq 1}$. Beweise für ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ durch Induktion die Beziehung

${\displaystyle {}\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}\,.}$

Es seien ${\displaystyle {}a,b\geq 2}$ und sei ${\displaystyle {}n=ab}$.

a) Zeige, dass die beiden Polynome ${\displaystyle {}X^{a}-1}$ und ${\displaystyle {}X^{b}-1}$ Teiler des Polynoms ${\displaystyle {}X^{n}-1}$ sind.

b) Es sei ${\displaystyle {}a\neq b}$. Ist ${\displaystyle {}(X^{a}-1)(X^{b}-1)}$ stets ein Teiler von ${\displaystyle {}X^{n}-1}$?

c) Man gebe drei Primfaktoren von ${\displaystyle {}2^{30}-1}$ an.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und es seien ${\displaystyle {}n}$ verschiedene Elemente ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K}$ und ${\displaystyle {}n}$ Elemente ${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K}$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ vom Grad ${\displaystyle {}\leq n-1}$ derart gibt, dass ${\displaystyle {}P(a_{i})=b_{i}}$ für alle ${\displaystyle {}i}$ ist.

Finde eine Darstellung der ${\displaystyle {}1}$ für das Zahlenpaar ${\displaystyle {}11}$ und ${\displaystyle {}13}$.

Bestimme den Exponenten zu ${\displaystyle {}2}$ von ${\displaystyle {}203264}$.

Bestimme das inverse Element zu ${\displaystyle {}{\overline {8}}}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(17)}$.

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}3}$ im Ring der Gaußschen Zahlen ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$ ein Primelement ist.

b) Bestimme die Charakteristik des Körpers ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(3)}$.

c) Bestimme die Anzahl der Elemente im Körper ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(3)}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Bestimme die Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion

${\displaystyle {\frac {3X^{7}+5X^{3}-4X^{2}-6X+11}{X^{4}}}.}$

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem

${\displaystyle {\begin{matrix}5x-7y-4z&=&0\\2x+y-3z&=&0\\7x+6y-2z&=&0\,\end{matrix}}}$

nur die triviale Lösung ${\displaystyle {}(0,0,0)}$ besitzt.

Erläutere, warum das Achsenkreuz im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ kein Untervektorraum ist.

Beweise das Basisaustauschlemma.

Ein angeordneter Körper ${\displaystyle {}K}$ enthalte die Wurzeln ${\displaystyle {}{\sqrt[{3}]{2}}}$ und ${\displaystyle {}{\sqrt[{7}]{2}}}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}K}$ auch ${\displaystyle {}{\sqrt[{21}]{2}}}$ enthält.

Forme die Gleichung

${\displaystyle {}x^{4}+3x^{3}-5x^{2}+2x-7=0\,}$

in eine äquivalente Gleichung der Form

${\displaystyle {}y^{4}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+b_{0}=0\,}$

mit ${\displaystyle {}b_{i}\in \mathbb {Q} }$ um.

Es sei ${\displaystyle {}\epsilon ={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}}$ die dritte komplexe Einheitswurzel. Wir betrachten die Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}]=L\subseteq {\mathbb {C} }\,.}$

a) Bestimme das Minimalpolynom von ${\displaystyle {}\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}}$.

b) Zeige, dass der Grad der Körpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$ gleich ${\displaystyle {}3}$ ist.

c) Zeige, dass die komplexe Konjugation nicht ${\displaystyle {}L}$ in ${\displaystyle {}L}$ überführt.

Ist die Zahl ${\displaystyle {}{\sqrt[{1024}]{2}}}$ konstruierbar?

In einer Schulklasse gibt es ${\displaystyle {}32}$ Kinder; es wurden vier identische Pizzen bestellt, die gerecht auf die Kinder verteilt werden sollen. Es steht ein beliebig langes Messer zur Verfügung. Zeige, dass man durch ${\displaystyle {}10}$ Schnitte die Aufteilung erreichen kann (die Pizzen dürfen nicht übereinander gelegt werden, und die Pizzen dürfen im gesamten Schneidevorgang nicht bewegt werden).

Es sei ${\displaystyle {}S}$ die Standardparabel und es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gerade, die durch zwei konstruierbare Punkte gegeben sei. Sind die Schnittpunkte von ${\displaystyle {}S}$ und ${\displaystyle {}G}$ ebenfalls konstruierbar?