Kurs:Elementare Algebra/16/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Realteil einer komplexen Zahl ${\displaystyle {}z}$.
2. Ein Hauptidealbereich.
3. Die Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe ${\displaystyle {}H\subseteq G}$.
4. Eine ${\displaystyle {}R}$-Algebra ${\displaystyle {}A}$, wobei ${\displaystyle {}R}$ einen kommutativen Ring bezeichnet.
5. Eine Linearkombination in einem ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
6. Eine konstruierbare Zahl ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Untergruppen von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$.
2. Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
3. Der Satz über die algebraische Charakterisierung von konstruierbaren Zahlen.

Berechne ${\displaystyle {}999^{2}}$ mit Hilfe einer binomischen Formel.

Es ist

${\displaystyle {}999^{2}=(1000-1)^{2}=1000^{2}-2000+1=1000000-2000+1=998001\,,}$

wobei die zweite binomische Formel verwendet wurde.

Bestätige, dass bei ${\displaystyle {}b\geq 0}$ die Zahl

${\displaystyle {}u={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left({\sqrt {\vert {z}\vert +a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert -a}}\right)}\,}$

eine Quadratwurzel der komplexen Zahl ${\displaystyle {}z=a+b{\mathrm {i} }}$ ist.

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}u^{2}&={\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left({\sqrt {\vert {z}\vert +a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert -a}}\right)}\right)}^{2}\\&={\frac {1}{2}}{\left(\vert {z}\vert +a-{\left(\vert {z}\vert -a\right)}+2{\mathrm {i} }{\sqrt {{\left(\vert {z}\vert +a\right)}{\left(\vert {z}\vert -a\right)}}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2a+2{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert ^{2}-a^{2}}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2a+2{\mathrm {i} }{\sqrt {b^{2}}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2a+2{\mathrm {i} }b\right)}\\&=a+b{\mathrm {i} }.\end{aligned}}}$

1. Bestimme ein Polynom ${\displaystyle {}P}$ vom Grad ${\displaystyle {}\leq 3}$ mit

   ${\displaystyle {}P(-1)=-4\,,}$

   ${\displaystyle {}P(0)=2\,,}$

   ${\displaystyle {}P(1)=2\,}$

   und

   ${\displaystyle {}P(2)=3\,}$

2. Bestimme ein normiertes Polynom ${\displaystyle {}Q}$ vom Grad ${\displaystyle {}3}$ mit

   ${\displaystyle {}Q(0)=1\,,}$

   ${\displaystyle {}Q(2)=3\,}$

   und

   ${\displaystyle {}Q(3)=10\,.}$

3. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen zu ${\displaystyle {}P}$ und zu ${\displaystyle {}Q}$.

1. Wir machen den Ansatz

   ${\displaystyle {}P=aX^{3}+bX^{2}+cX+d\,.}$

   Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem

   ${\displaystyle {}-a+b-c+d=-4\,,}$

   ${\displaystyle {}d=2\,,}$

   ${\displaystyle {}a+b+c+d=2\,,}$

   ${\displaystyle {}8a+4b+2c+d=3\,.}$

   Elimination von ${\displaystyle {}d}$ führt auf

   ${\displaystyle {}-a+b-c=-6\,,}$

   ${\displaystyle {}a+b+c=0\,,}$

   ${\displaystyle {}8a+4b+2c=1\,.}$

   Addition der ersten beiden Gleichungen führt auf

   ${\displaystyle {}2b=-6\,,}$

   also

   ${\displaystyle {}b=-3\,.}$

   Dies führt auf

   ${\displaystyle {}a+c=3\,}$

   und

   ${\displaystyle {}8a+2c=13\,.}$

   Somit ist

   ${\displaystyle {}6a=7\,,}$

   also

   ${\displaystyle {}a={\frac {7}{6}}\,}$

   und

   ${\displaystyle {}c={\frac {11}{6}}\,.}$

   Das gesuchte Polynom ist also

   ${\displaystyle {}P={\frac {7}{6}}X^{3}-3X^{2}+{\frac {11}{6}}X+2\,.}$

2. Wir machen den Ansatz

   ${\displaystyle {}Q=X^{3}+rX^{2}+sX+t\,.}$

   Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem

   ${\displaystyle {}t=1\,,}$

   ${\displaystyle {}8+4r+2s+t=3\,,}$

   ${\displaystyle {}27+9r+3s+t=10\,.}$

   Dies führt auf

   ${\displaystyle {}4r+2s=-6\,,}$

   ${\displaystyle {}9r+3s=-18\,.}$

   Die Gleichung ${\displaystyle {}3I-2II}$ ist

   ${\displaystyle {}-6r=18\,,}$

   also

   ${\displaystyle {}r=-3\,}$

   und

   ${\displaystyle {}s=3\,.}$

   Das gesuchte Polynom ist also

   ${\displaystyle {}Q=X^{3}-3X^{2}+3X+1\,.}$

3. Die ${\displaystyle {}x}$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen zu ${\displaystyle {}P}$ und zu ${\displaystyle {}Q}$ sind die Nullstellen von

   ${\displaystyle {}P-Q={\frac {7}{6}}X^{3}-3X^{2}+{\frac {11}{6}}X+2-{\left(X^{3}-3X^{2}+3X+1\right)}={\frac {1}{6}}X^{3}-{\frac {7}{6}}X+1\,.}$

   Wir arbeiten mit ${\displaystyle {}X^{3}-7X+6}$. Wegen

   ${\displaystyle {}P(2)=3=Q(2)\,}$

   ist ${\displaystyle {}2}$ eine Nullstelle dieses Polynoms. Die Division mit Rest führt auf

   ${\displaystyle {}X^{3}-7X+6=(X-2)(X^{2}+2X-3)\,.}$

   Es geht also noch um die Nullstellen von

   ${\displaystyle X^{2}+2X-3.}$

   Diese sind ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}-3}$. Die Schnittpunkte der beiden Graphen sind demnach

   ${\displaystyle (-3,-62),\,(1,2),\,(2,3).}$

1. Finde eine ganzzahlige Lösung ${\displaystyle {}(x,y)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ für die Gleichung

   ${\displaystyle {}x^{2}-y^{3}+2=0\,.}$

2. Zeige, dass

   ${\displaystyle \left({\frac {383}{1000}},\,{\frac {129}{100}}\right)}$

   eine Lösung für die Gleichung

   ${\displaystyle {}x^{2}-y^{3}+2=0\,}$

   ist.

1. ${\displaystyle {}(5,3)}$ ist eine ganzzahlige Lösung.
2. Es ist

   ${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left({\frac {383}{1000}}\right)}^{2}-{\left({\frac {129}{100}}\right)}^{3}+2&={\left({\frac {146689}{1000000}}\right)}-{\left({\frac {2146689}{1000000}}\right)}+2\\&={\left({\frac {146689-2146689}{1000000}}\right)}+2\\&={\left({\frac {-2000000}{1000000}}\right)}+2\\&=-2+2\\&=0.\end{aligned}}}$

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${\displaystyle {}1085}$ und ${\displaystyle {}806}$ und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers.

Es ist

${\displaystyle {}1085=1\cdot 806+279\,,}$

${\displaystyle {}806=2\cdot 279+248\,,}$

${\displaystyle {}279=1\cdot 248+31\,,}$

${\displaystyle {}248=8\cdot 31\,.}$

Der größte gemeinsame Teiler ist also ${\displaystyle {}31}$. Aus den Rechnungen erhält man

${\displaystyle {}806=2\cdot 279+248=2(248+31)+248=3\cdot 248+2\cdot 31=3\cdot 8\cdot 31+2\cdot 31=26\cdot 31\,}$

und

${\displaystyle {}1085=806+279=26\cdot 31+9\cdot 31=35\cdot 31\,.}$

Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von ${\displaystyle {}100!}$.

Die ${\displaystyle {}5}$ kommt in den ${\displaystyle {}20}$ Zahlen ${\displaystyle {}5,10,\ldots ,100}$ jeweils einmal vor und in ${\displaystyle {}25,50,75,100}$ nochmal zusätzlich mit einer weiteren Potenz. In ${\displaystyle {}100!}$ kommt also der Primfaktor ${\displaystyle {}5}$ mit dem Exponenten ${\displaystyle {}24}$ vor. Wegen der ${\displaystyle {}50}$ geraden Zahlen kommt der Primfaktor ${\displaystyle {}2}$ öfters vor. In ${\displaystyle {}100!}$ ist also ${\displaystyle {}10^{24}}$ die größte Zehnerpotenz und somit besitzt ${\displaystyle {}100!}$ genau ${\displaystyle {}24}$ Nullen am Ende.

Bestimme die Primfaktorzerlegung von

${\displaystyle {\binom {15}{5}}.}$

Es ist

${\displaystyle {}{\binom {15}{5}}={\frac {15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}={\frac {14\cdot 13\cdot 12\cdot 11}{4\cdot 2}}={\frac {7\cdot 13\cdot 3\cdot 11}{1}}=3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\,.}$

Zeige, dass für natürliche Zahlen ${\displaystyle {}a,b,g}$ folgende Aussagen gelten.

1. Für teilerfremde ${\displaystyle {}a,b}$ ist

   ${\displaystyle {}\operatorname {kgV} \,(a,b)=ab\,.}$

2. Es gibt ${\displaystyle {}c,d\in \mathbb {Z} }$ mit

   ${\displaystyle a=c\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)\,\,{\text{ und }}\,\,b=d\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b),}$

   wobei ${\displaystyle {}c,d}$ teilerfremd sind.

3. Es ist

   ${\displaystyle {}\operatorname {kgV} \,(ga,gb)=g\cdot \operatorname {kgV} \,(a,b)\,.}$

4. Es ist

   ${\displaystyle {}\operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {kgV} \,(a,b)=ab\,.}$

1. Zunächst ist natürlich das Produkt ${\displaystyle {}ab}$ ein gemeinsames Vielfaches von ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$. Es sei also ${\displaystyle {}f}$ irgendein gemeinsames Vielfaches, also ${\displaystyle {}f=ua}$ und ${\displaystyle {}f=vb}$. Nach Satz 20.1 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) gibt es im teilerfremden Fall Zahlen ${\displaystyle {}r,s\in \mathbb {Z} }$ mit ${\displaystyle {}ra+sb=1}$. Daher ist

   ${\displaystyle {}f=f\cdot 1=f(ra+sb)=fra+fsb=vbra+uasb=(vr+us)ab\,}$

   ein Vielfaches von ${\displaystyle {}ab}$.

2. Die Existenz von ${\displaystyle {}c}$ und ${\displaystyle {}d}$ ist klar. Hätten ${\displaystyle {}c}$ und ${\displaystyle {}d}$ einen gemeinsamen Teiler ${\displaystyle {}e\neq 1,-1}$, so ergäbe sich sofort der Widerspruch, dass ${\displaystyle {}e\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)}$ ein größerer gemeinsamer Teiler von ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ wäre.
3. Die rechte Seite ist offenbar ein gemeinsames Vielfaches von ${\displaystyle {}ga}$ und ${\displaystyle {}gb}$. Es sei ${\displaystyle {}n}$ ein Vielfaches der linken Seite, also ein gemeinsames Vielfaches von ${\displaystyle {}ga}$ und ${\displaystyle {}gb}$. Dann kann man ${\displaystyle {}n=uga}$ und ${\displaystyle {}n=vgb}$ schreiben. Damit ist ${\displaystyle {}uga=vgb}$ und somit ist ${\displaystyle {}k:=ua=vb}$ (bei ${\displaystyle {}g\neq 0}$; bei ${\displaystyle {}g=0}$ ist die Behauptung direkt klar) ein gemeinsames Vielfaches von ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$. Also ist ${\displaystyle {}n=gk}$ ein Vielfaches der rechten Seite.
4. Wir schreiben unter Verwendung der ersten Teile

   ${\displaystyle {}{\begin{aligned}\operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {kgV} \,(a,b)&=\operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {kgV} \,(c\cdot (\operatorname {ggT} \,(a,b)),d\cdot (\operatorname {ggT} \,(a,b)))\\&=\operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {kgV} \,(c,d)\\&=\operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot cd\\&=c\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot d\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)\\&=ab.\end{aligned}}}$

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe. Betrachte die Relation ${\displaystyle {}\sim }$ auf ${\displaystyle {}G}$, die durch

${\displaystyle x\sim y{\text{ genau dann, wenn }}x=y{\text{ oder }}x=y^{-1}}$

erklärt ist. Zeige, dass ${\displaystyle {}\sim }$ eine Äquivalenzrelation ist.

Die Relation ist offenbar reflexiv. Zum Nachweis der Symmetrie sei ${\displaystyle {}x\sim y}$. Im Fall ${\displaystyle {}x=y}$ ist natürlich auch ${\displaystyle {}y=x}$ und somit ${\displaystyle {}y\sim x}$. Im Fall

${\displaystyle {}x=y^{-1}\,}$

ergibt sich durch Invertieren der Gleichung

${\displaystyle {}x^{-1}={\left(y^{-1}\right)}^{-1}=y\,,}$

also ebenfalls ${\displaystyle {}y\sim x}$. Zum Nachweis der Transitivität sei ${\displaystyle {}x\sim y}$ und ${\displaystyle {}y\sim z}$. Hier gibt es insgesamt vier Fälle. Bei ${\displaystyle {}x=y}$ und ${\displaystyle {}y=z}$ ist natürlich ${\displaystyle {}x=z}$. Bei ${\displaystyle {}x=y}$ und ${\displaystyle {}y=z^{-1}}$ ist ${\displaystyle {}x=z^{-1}}$, also ${\displaystyle {}x\sim z}$. Bei ${\displaystyle {}x=y^{-1}}$ und ${\displaystyle {}y=z}$ ist ${\displaystyle {}x=y^{-1}=z^{-1}}$, also wieder ${\displaystyle {}x\sim z}$. Bei ${\displaystyle {}x=y^{-1}}$ und ${\displaystyle {}y=z^{-1}}$ ist

${\displaystyle {}x=y^{-1}={\left(z^{-1}\right)}^{-1}=z\,,}$

also ${\displaystyle {}x\sim z}$.

Beweise den Satz über die algebraische Struktur der Restklassenringe ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}}$ zu einem Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.

Nach Satz . (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gibt es nur eine Gruppenstruktur auf ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}}$ derart, dass die kanonische Abbildung ein Gruppenhomomorphismus ist. Da ein Ringhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der Addition ist, ist dies die einzige additive Struktur, die in Frage kommt.

Da die kanonische Abbildung die Multiplikation respektieren soll, kommt nur ${\displaystyle {}{\overline {1}}\,}$ als neutrales Element der Multiplikation und

${\displaystyle {}{\overline {a}}\,{\overline {b}}\,={\overline {ab}}\,\,}$

als Multiplikation in Frage. Wir müssen zeigen, dass diese Multiplikation wohldefiniert ist. Es seien zwei Restklassen mit unterschiedlichen Repräsentanten gegeben, also ${\displaystyle {}{\overline {a}}\,={\overline {a'}}\,}$ und ${\displaystyle {}{\overline {b}}\,={\overline {b'}}\,}$. Dann ist ${\displaystyle {}a-a'\in {\mathfrak {a}}}$ und ${\displaystyle {}b-b'\in {\mathfrak {a}}}$ bzw. ${\displaystyle {}a'=a+x}$ und ${\displaystyle {}b'=b+y}$ mit ${\displaystyle {}x,y\in {\mathfrak {a}}}$. Daraus ergibt sich

${\displaystyle {}a'b'=(a+x)(b+y)=ab+ay+xb+xy\,.}$

Die drei hinteren Summanden gehören zum Ideal, sodass die Differenz ${\displaystyle {}a'b'-ab\in {\mathfrak {a}}}$ ist.

Aus der Wohldefiniertheit folgen die anderen Eigenschaften und insbesondere, dass ein Ringhomomorphismus in den Restklassenring vorliegt.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und ${\displaystyle {}x\in {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }}$ eine Einheit. Es sei ${\displaystyle {}a}$ die Ordnung von ${\displaystyle {}x}$ in der additiven Gruppe ${\displaystyle {}(\mathbb {Z} /(p),+,0)}$ und es sei ${\displaystyle {}b}$ die Ordnung von ${\displaystyle {}x}$ in der multiplikativen Gruppe ${\displaystyle {}({\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times },\cdot ,1)}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ teilerfremd sind.

Da ${\displaystyle {}x}$ eine Einheit ist, gibt es eine natürliche Zahl ${\displaystyle {}n}$ mit ${\displaystyle {}nx=1\mod p}$. Damit durchlaufen die Vielfachen von ${\displaystyle {}x}$ die ganze Gruppe ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$, d.h. ${\displaystyle {}x}$ ist ein (additiver) Erzeuger dieser Gruppe. Damit ist die additive Ordung von ${\displaystyle {}x}$ genau ${\displaystyle {}p}$. Da die Einheitengruppe ${\displaystyle {}p-1}$ Elemente besitzt, ist die multiplikative Ordnung von ${\displaystyle {}x}$ kleiner als ${\displaystyle {}p}$. Damit sind die beiden Ordnungen teilerfremd.

a) Bestimme für die Zahlen ${\displaystyle {}2}$, ${\displaystyle {}9}$ und ${\displaystyle {}25}$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

${\displaystyle \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(9)\times \mathbb {Z} /(25)}$

die Restetupel ${\displaystyle {}(1,0,0),\,(0,1,0)}$ und ${\displaystyle {}(0,0,1)}$ repräsentieren.

b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${\displaystyle {}x}$ der simultanen Kongruenzen

${\displaystyle x=0\!\!\mod 2,\,\,\,\,x=3\!\!\mod 9{\text{ und }}x=5\!\!\mod 25.}$

a) Modulare Basislösungen. Es ist ${\displaystyle {}9\times 25=225}$, und dies hat modulo ${\displaystyle {}2}$ den Rest ${\displaystyle {}1}$.

Es ist ${\displaystyle {}2\times 25=50}$, und ${\displaystyle {}50}$ hat modulo ${\displaystyle {}9}$ den Rest ${\displaystyle {}5}$, und ${\displaystyle {}100}$ hat modulo ${\displaystyle {}9}$ den Rest ${\displaystyle {}1}$.

Es ist ${\displaystyle {}2\times 9=18}$. Wir gehen die Vielfachen von ${\displaystyle {}18}$ durch und berechnen die Reste modulo ${\displaystyle {}25}$:

${\displaystyle 18,\,36=11,\,54=4,\,72=22,\,90=15,\,108=8,\,126=1.}$

Die Basislösungen sind also ${\displaystyle {}225,100,126}$.

b) Eine Lösung für die angegebenen simultanen Kongruenzen ist (modulo ${\displaystyle {}2\cdot 9\cdot 25=450}$)

${\displaystyle {}0\cdot 225+3\cdot 100+5\cdot 126=300+630=930=30\,.}$

Daher ist ${\displaystyle {}30}$ die kleinste positive Lösung.

Löse die lineare Gleichung

${\displaystyle {}(2+5{\mathrm {i} })z=(3-7{\mathrm {i} })\,}$

über ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ und berechne den Betrag der Lösung.

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}z&=(3-7{\mathrm {i} })(2+5{\mathrm {i} })^{-1}\\&=(3-7{\mathrm {i} }){\frac {(2-5{\mathrm {i} })}{29}}\\&={\frac {6-35-14{\mathrm {i} }-15{\mathrm {i} }}{29}}\\&={\frac {-29-29{\mathrm {i} }}{29}}\\&=-1-{\mathrm {i} }.\end{aligned}}}$

Der Betrag ist

${\displaystyle {}\vert {-1-{\mathrm {i} }}\vert ={\sqrt {2}}\,.}$

Es seien ${\displaystyle {}a,b}$ positive natürliche Zahlen. Die Summe der Stammbrüche ist dann

${\displaystyle {}{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}={\frac {b+a}{ab}}\,.}$

a) Zeige, dass bei ${\displaystyle {}a,b}$ teilerfremd diese Darstellung gekürzt ist.

b) Zeige, dass im Allgemeinen diese Darstellung nicht gekürzt sein muss.

a) Es seien ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ teilerfremd und es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl. Wenn ${\displaystyle {}p}$ den Nenner ${\displaystyle {}ab}$ teilt, so teilt es nach dem Lemma von Euklid einen der Faktoren, sagen wir ${\displaystyle {}a}$. Dann teilt es wegen der Teilerfremdheit nicht auch ${\displaystyle {}b}$. Somit teilt es auch nicht ${\displaystyle {}a+b}$ und Zähler und Nenner sind teilerfremd.

b) Sei

${\displaystyle {}a=b=2\,.}$

Dann ist

${\displaystyle {}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}={\frac {2+2}{2\cdot 2}}={\frac {4}{4}}\,}$

und dies ist keine teilerfremde Darstellung.

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(7)}$.

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}3&5\\2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}\,.}$

Das inverse Element zu ${\displaystyle {}3}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(7)}$ ist ${\displaystyle {}5}$, somit ist in ${\displaystyle {}II'=II-2\cdot 5I=II+4I}$ die Variable ${\displaystyle {}x}$ eliminiert. Dies ergibt

${\displaystyle {}0=1\,}$

und dies hat keine Lösung.

Es sei ${\displaystyle {}z\in \mathbb {R} }$ eine reelle Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Es gibt ein Polynom ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} [X]}$, ${\displaystyle {}P\neq 0}$, mit ganzzahligen Koeffizienten und mit ${\displaystyle {}P(z)=0}$.
2. Es gibt ein Polynom ${\displaystyle {}Q\in \mathbb {Q} [X]}$, ${\displaystyle {}Q\neq 0}$, mit ${\displaystyle {}Q(z)=0}$.
3. Es gibt ein normiertes Polynom ${\displaystyle {}R\in \mathbb {Q} [X]}$ mit ${\displaystyle {}R(z)=0}$.

Die Implikation (1) ${\displaystyle {}\Rightarrow }$ (2) ist unmittelbar klar, da ganze Zahlen rational sind und man somit ${\displaystyle {}Q=P}$ nehmen kann.

Es sei (2) erfüllt und sei

${\displaystyle {}Q=s_{n}X^{n}+s_{n-1}X^{n-1}+\cdots +s_{2}X^{2}+s_{1}X+s_{0}\,}$

mit ${\displaystyle {}s_{i}\in \mathbb {Q} }$, ${\displaystyle {}s_{n}\neq 0}$ und ${\displaystyle {}Q(z)=0}$. Wegen ${\displaystyle {}s_{n}\neq 0}$ ist auch ${\displaystyle {}s_{n}^{-1}}$ eine rationale Zahl. Wir multiplizieren ${\displaystyle {}Q}$ mit ${\displaystyle {}s_{n}^{-1}}$ und erhalten

${\displaystyle {}{\begin{aligned}R&:=s_{n}^{-1}Q\\&=s_{n}^{-1}{\left(s_{n}X^{n}+s_{n-1}X^{n-1}+\cdots +s_{2}X^{2}+s_{1}X+s_{0}\right)}\\&=X^{n}+s_{n}^{-1}\cdot s_{n-1}X^{n-1}+\cdots +s_{n}^{-1}\cdot s_{2}X^{2}+s_{n}^{-1}\cdot s_{1}X+s_{n}^{-1}\cdot s_{0}.\end{aligned}}}$

Dies ist ein normiertes Polynom, die Koeffizienten sind nach wie vor rational und es ist auch

${\displaystyle {}R(z)=(s_{n}^{-1}Q)(z)=s_{n}^{-1}\cdot Q(z)=0\,.}$

Es sei nun (3) erfüllt, und

${\displaystyle {}R=X^{n}+t_{n-1}X^{n-1}+\cdots +t_{2}X^{2}+t_{1}X+t_{0}\,}$

mit ${\displaystyle {}t_{i}\in \mathbb {Q} }$ und ${\displaystyle {}R(z)=0}$. Es ist

${\displaystyle {}t_{i}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

mit ${\displaystyle {}a_{i},b_{i}\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle {}b_{i}\neq 0}$. Wir setzen

${\displaystyle {}{\begin{aligned}P&=b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}R\\&=b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}{\left(X^{n}+{\frac {a_{n-1}}{b_{n-1}}}X^{n-1}+\cdots +{\frac {a_{2}}{b_{2}}}X^{2}+{\frac {a_{1}}{b_{1}}}X+{\frac {a_{0}}{b_{0}}}\right)}\\&=b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}X^{n}+b_{0}b_{1}\cdots b_{n-2}a_{n-1}b_{n}X^{n-1}+\cdots +b_{0}b_{1}a_{2}b_{3}\cdots b_{n-1}X^{2}+b_{0}a_{1}b_{2}\cdots b_{n-1}X+a_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}.\end{aligned}}}$

Dieses Polynom hat ganzzahlige Koeffizienten, ist nicht das Nullpolynom und es ist nach wie vor

${\displaystyle {}P(z)=0\,.}$

Beschreibe verschiedene intellektuelle Entwicklungsstufen, wie man eine Gerade verstehen kann.