Kurs:Elementare Algebra/23/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
2. Der Realteil einer komplexen Zahl ${\displaystyle {}z}$.
3. Ein Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
4. Der Kern eines Gruppenhomomorphismus

   ${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow H.}$

5. Der Quotientenkörper zu einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
6. Der Grad einer endlichen Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Lösbarkeit von Gleichungen in einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
2. Der Satz über den Kern eines Ringhomomorphismus.
3. Der Satz über die Winkeldreiteilung.

Man bringe das Konzept eines inversen Elementes in einer Gruppe mit der Reversibilität von Prozessen in Verbindung.

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich ${\displaystyle {}R}$.

Führe in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}$ die Division mit Rest „${\displaystyle {}P}$ durch ${\displaystyle {}T}$“ für die beiden Polynome ${\displaystyle {}P=6X^{3}+X+1}$ und ${\displaystyle {}T=3X^{2}+2X-4}$ durch.

Man finde ein Polynom

${\displaystyle f=a+bX+cX^{2}}$

mit ${\displaystyle {}a,b,c\in \mathbb {R} }$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

${\displaystyle f(-2)=3,\,f(0)=2,\,f(1)=4.}$

Betrachte auf der Produktmenge

${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d){\text{ wenn }}a+d=b+c.}$

Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist. Es sei ${\displaystyle {}Z}$ die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf ${\displaystyle {}Z}$ eine Addition ${\displaystyle {}\oplus }$, die die Eigenschaft

${\displaystyle {}{\overline {(a,0)}}\oplus {\overline {(b,0)}}={\overline {(a+b,0)}}\,}$

erfüllt (der Querstrich bedeutet dabei die zugehörige Äquivalenzklasse) und die ${\displaystyle {}Z}$ zu einer kommutativen Gruppe macht.

Beweise den Homomorphiesatz für Gruppen.

1. Finde den kleinsten Exponenten ${\displaystyle {}n\geq 2}$ derart, dass die Potenzierung

   ${\displaystyle \mathbb {Z} /(10)\longrightarrow \mathbb {Z} /(10),\,x\longmapsto x^{n},}$

   die Identität ist.

2. Was bedeutet dies für die Endziffer im Zehnersystem beim Potenzieren von natürlichen Zahlen?

Beweise den chinesischen Restsatz für einen Hauptidealbereich.

Löse das inhomogene lineare Gleichungssystem

${\displaystyle {\begin{matrix}3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&+4w&=&4\\2x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&0\\4x&+6y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&2\\x&+3y&+5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\,.\end{matrix}}}$

Es sei ${\displaystyle {}\mathbb {F} _{q}}$ ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich ${\displaystyle {}2}$. Zeige unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus ${\displaystyle {}\mathbb {F} _{q}^{\times }}$ ein Quadrat in ${\displaystyle {}\mathbb {F} _{q}}$ ist.

Wir betrachten den Unterring

${\displaystyle {}L={\left\{a+b\cdot 7^{1/3}+c\cdot 7^{2/3}\mid a,b,c\in \mathbb {Q} \right\}}\subseteq \mathbb {R} \,.}$

Berechne

${\displaystyle {\left(2-3\cdot 7^{1/3}+4\cdot 7^{2/3}\right)}{\left(1+{\frac {1}{2}}\cdot 7^{1/3}-5\cdot 7^{2/3}\right)}.}$

Zeige dabei insbesondere, dass das Ergebnis wieder zu ${\displaystyle {}L}$ gehört.

Zeige, dass die reelle Zahl ${\displaystyle {}{\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}}$ eine Nullstelle des Polynoms ${\displaystyle {}X^{4}-20X^{2}+16}$ ist.

Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte des Einheitskreises und der Diagonalen in der Ebene ${\displaystyle {}E\cong \mathbb {R} ^{2}}$.

Beschreibe eine konstruierbare Zahl auf dem komplexen Einheitskreis, die keine Einheitswurzel ist.