Kurs:Elementare Algebra/25/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine ${\displaystyle {}n}$-te Einheitswurzel ${\displaystyle {}z}$ in einem Körper ${\displaystyle {}K}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{+}}$).
2. Ein Normalteiler ${\displaystyle {}N}$ in einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
3. Die Charakteristik eines Körpers ${\displaystyle {}K}$.
4. Der Quotientenkörper zu einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
5. Ein Untervektorraum ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ in einem ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
6. Eine aus einer Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq E}$ einer Ebene ${\displaystyle {}E}$ elementar konstruierbare Gerade ${\displaystyle {}G}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Ideale in einem euklidischen Bereich.
2. Der Satz von Lagrange für die Ordnung eines Elementes.
3. Der Satz über die Konstruktion der Quadratwurzel.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge. Wir betrachten die Verknüpfung

${\displaystyle {\mathfrak {P}}\,(M)\times {\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,(A,B)\longmapsto A\setminus B.}$

Ist diese Verknüpfung assoziativ?

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Es sei ${\displaystyle {}a\in K}$ ein fixiertes Element.

a) Zeige, dass

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}={\left\{F\in K[X]\mid F(a)=0\right\}}\,}$

ein Ideal ist.

b) Bestimme ein Polynom ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ mit

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=(P)\,.}$

Bestimme das Polynom ${\displaystyle {}P\in {\mathbb {C} }[X]}$ kleinsten Grades, das an der Stelle ${\displaystyle {}3-8{\mathrm {i} }}$ den Wert ${\displaystyle {}5-6{\mathrm {i} }}$ und an der Stelle ${\displaystyle {}2-7{\mathrm {i} }}$ den Wert ${\displaystyle {}4-3{\mathrm {i} }}$ besitzt.

Betrachte den Körper

${\displaystyle {}K={\mathbb {F} }_{4}=\mathbb {Z} /(2)[U]/(U^{2}+U+1)\,.}$

Führe im Polynomring ${\displaystyle {}K[X]}$ die Polynomdivision

${\displaystyle X^{4}+uX^{3}+(u+1)X+1{\text{ durch }}uX^{2}+X+u+1}$

aus, wobei ${\displaystyle {}u}$ die Restklasse von ${\displaystyle {}U}$ in ${\displaystyle {}K}$ bezeichnet.

Erstelle eine Wertetabelle für die Abbildung

${\displaystyle \mathbb {Z} /(10)\longrightarrow \mathbb {Z} /(10),\,x\longmapsto x^{3}.}$

Ist die Abbildung bijektiv?

Finde unter den Zahlen ${\displaystyle {}\leq 1000}$ diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.

Beweise den Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.

Löse die quadratische Gleichung ${\displaystyle {}3x^{2}+x+4=0}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(7)}$.

Beweise den kleinen Satz von Fermat.

Bestimme die Partialbruchzerlegung von

${\displaystyle {\frac {100}{77}}.}$

Beweise den Satz über die Anzahl von Basiselementen.

Wir betrachten das kleine Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) als eine Familie von ${\displaystyle {}9}$-Tupeln der Länge ${\displaystyle {}9}$. Welche Dimension besitzt der durch diese Tupel aufgespannte Untervektorraum des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{9}}$?

Bestimme das Inverse von ${\displaystyle {}4x-7}$ im Körper ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{2}-11\right)}}$ (${\displaystyle {}x}$ bezeichnet die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$) über ein lineares Gleichungssystem der Form

${\displaystyle {}{\left(4x-7\right)}{\left(ax+b\right)}=1\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper mit einer Charakteristik ${\displaystyle {}\neq 2}$ und es sei ${\displaystyle {}K\subset L}$ eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es dann ein ${\displaystyle {}x\in L}$, ${\displaystyle {}x\notin K}$, mit ${\displaystyle {}x^{2}\in K}$ gibt.

a) Skizziere zwei Kreise, die sich in genau einem Punkt schneiden.

b) Es seien zwei Punkte ${\displaystyle {}M_{1}\neq M_{2}}$ in der Ebene ${\displaystyle {}E}$ gegeben. Ein Punkt ${\displaystyle {}P\in E}$ definiert den Kreis ${\displaystyle {}K_{1}}$ mit Mittelpunkt ${\displaystyle {}M_{1}}$ durch ${\displaystyle {}P}$ und den Kreis ${\displaystyle {}K_{2}}$ mit Mittelpunkt ${\displaystyle {}M_{2}}$ durch ${\displaystyle {}P}$. Charakterisiere, wann die beiden Kreise genau einen Schnittpunkt besitzen.

c) Beweise die Charakterisierung aus b).

Beschreibe die Zahl ${\displaystyle {}\pi }$ durch eine anschauliche Konstruktion.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ der Körper der reellen, mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Zahlen und sei ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ ein Polynom.

a) Ist der Schnittpunkt der ${\displaystyle {}y}$-Achse mit dem Graphen zu ${\displaystyle {}P}$ konstruierbar?

b) Sind die Schnittpunkte der ${\displaystyle {}x}$-Achse mit dem Graphen zu ${\displaystyle {}P\neq 0}$ konstruierbar?

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}X^{6}-1}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}$.