Kurs:Elementare und algebraische Zahlentheorie/12/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine zyklische Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
2. Eine Carmichael-Zahl.
3. Ein endlicher Körper.
4. Ein Divisor zu einem Zahlbereich ${\displaystyle {}R}$.
5. Eine zentralsymmetrische Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$.
6. Die Äquivalenz von binären quadratischen Formen.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der zweite Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
2. Der Satz über gerade vollkommene Zahlen.
3. Der Satz über die Charakterisierung eines diskreten Bewertungsringes.

Finde die kleinste natürliche Zahl ${\displaystyle {}n\geq 2}$, die sowohl eine Quadratzahl als auch eine Kubikzahl ist.

Bestimme die kleinste natürliche Zahl, deren letzte Ziffer eine ${\displaystyle {}3}$ ist, die kein Vielfaches der ${\displaystyle {}3}$ ist und die keine Primzahl ist.

Es sei ${\displaystyle {}n}$ eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind:

1. ${\displaystyle {}n}$ ist negativ.
2. ${\displaystyle {}n}$ ist ein Vielfaches von ${\displaystyle {}8}$, aber nicht von ${\displaystyle {}-16}$.
3. ${\displaystyle {}n}$ ist kein Vielfaches von ${\displaystyle {}36}$.
4. ${\displaystyle {}n}$ ist ein Vielfaches von ${\displaystyle {}150}$, aber nicht von ${\displaystyle {}125}$.
5. In der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}n}$ gibt es keine Primzahl, die größer als ${\displaystyle {}5}$ ist.

Was ist ${\displaystyle {}n}$?

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon R\longrightarrow S}$

ein Ideal in ${\displaystyle {}R}$ ist.

a) Bestimme für die Zahlen ${\displaystyle {}3}$, ${\displaystyle {}4}$ und ${\displaystyle {}7}$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

${\displaystyle \mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(7)}$

die Restetupel ${\displaystyle {}(1,0,0),\,(0,1,0)}$ und ${\displaystyle {}(0,0,1)}$ repräsentieren.

b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${\displaystyle {}x}$ der simultanen Kongruenzen

${\displaystyle x=2\!\!\mod 3,\,\,\,\,x=3\!\!\mod 4{\text{ und }}x=1\!\!\mod 7.}$

Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen mit der Normfunktion ein euklidischer Bereich ist.

Man gebe eine surjektive Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(3)}$

an, die mit der Multiplikation verträglich (also ein Monoidhomomorphismus) ist, aber kein Ringhomomorphismus ist.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl. Wir betrachten den kanonischen Ringhomomorphismus

${\displaystyle \mathbb {Z} /(p^{2})\longrightarrow \mathbb {Z} /(p)}$

und den zugehörigen Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle {\left(\mathbb {Z} /(p^{2})\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }}$

der Einheitengruppen. Es sei ${\displaystyle {}v}$ eine primitive Einheit von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$. Zeige, dass unter den Urbildern von ${\displaystyle {}v}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p^{2})}$ ein Element keine primitive Einheit von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p^{2})}$ ist, und ${\displaystyle {}p-1}$ Elemente primitive Einheiten sind.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine ungerade Primzahl. Begründe unter Verwendung der Tatsache, dass die Einheitengruppe ${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }}$ zyklisch ist, dass ${\displaystyle {}-1}$ ein Quadratrest modulo ${\displaystyle {}p}$ genau dann ist, wenn ${\displaystyle {}p=1\mod 4}$ ist.

Suchen Sie für die folgenden zusammengesetzten Zahlen ${\displaystyle {}n}$ eine zu ${\displaystyle {}n}$ teilerfremde Zahl ${\displaystyle {}a}$ derart, dass ${\displaystyle {}a^{\frac {n-1}{2}}\neq \left({\frac {a}{n}}\right)}$ gilt.

a) ${\displaystyle {}n=125}$.

b) ${\displaystyle {}n=63}$.

Finde die primitiven Einheitswurzeln in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)}$.

Zeige, dass eine natürliche nicht-prime Zahl ${\displaystyle {}n\geq 3}$ genau dann eine Carmichael-Zahl, wenn jeder Primteiler ${\displaystyle {}p}$ von ${\displaystyle {}n}$ einfach ist und ${\displaystyle {}p-1}$ die Zahl ${\displaystyle {}n-1}$ teilt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein quadratischer Zahlbereich und ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ ein von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenes Ideal. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ genau dann ein Hauptideal ist, wenn es ein Element ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {a}}}$ mit ${\displaystyle {}\vert {N(f)}\vert =N({\mathfrak {a}})}$ gibt.

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{-15}}$ der quadratische Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=-15}$. Bestimme die Klassengruppe von ${\displaystyle {}R}$.

Zeige, dass eine ganze Zahl ${\displaystyle {}n}$ genau dann durch die binäre quadratische Form ${\displaystyle {}X^{2}-Y^{2}}$ dargestellt werden kann, wenn ${\displaystyle {}n\neq 2\mod 4}$ gilt.