Kurs:Elementare und algebraische Zahlentheorie/13/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Befreundete Zahlen.
2. Die Faltung von zahlentheoretischen Funktionen ${\displaystyle {}f,g}$.
3. Ein noetherscher Ring.
4. Die Spur zu einem Element ${\displaystyle {}f\in L}$ bei einer endlichen Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.
5. Die Ordnung zu einem Element ${\displaystyle f\in R,\,f\neq 0}$, in einem diskreten Bewertungsring ${\displaystyle {}R}$.
6. Ein gebrochenes Hauptideal zu einem Zahlbereich ${\displaystyle {}R}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Euler-Kriterium für Quadratreste.
2. Der Satz über die Charakterisierung von Primidealen mit Restklassenringen.
3. Der Idealzerlegungssatz von Dedekind.

Welche Zahl ist größer, ${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{5}i^{2}}$ oder ${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{5}2^{i}}$?

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}999999}$.

Bestimme, für welche ${\displaystyle {}n\geq 2}$ der Binomialkoeffizient

${\displaystyle {\binom {n}{2}}}$

eine Primzahl ist.

Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von ${\displaystyle {}100!}$.

Bestimme in ${\displaystyle {}{\mathbb {Z} }[{\mathrm {i} }]}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${\displaystyle {}7+4{\mathrm {i} }}$ und ${\displaystyle {}5+3{\mathrm {i} }}$.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(11)[X]}$ den (normierten) größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome

${\displaystyle X^{4}+2X^{3}+2X^{2}+3\,\,\,{\text{ und }}\,\,\,X^{2}+7X+10.}$

Bestimme die Lösungen der Gleichung

${\displaystyle {}x^{2}=x\,}$

über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(6)}$.

Berechne ${\displaystyle {}24^{1000000}}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(35)}$.

Zeige, dass ${\displaystyle {}-3}$ genau dann ein Quadratrest modulo einer Primzahl ${\displaystyle {}p\neq 2}$ ist, wenn ${\displaystyle {}p=0,1\mod 3}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}n}$ eine positive natürliche Zahl. Wir schreiben ${\displaystyle {}n=r^{2}m}$, wobei jeder Primfaktor von ${\displaystyle {}m}$ nur einfach vorkomme. Zeige, dass dann ${\displaystyle {}n}$ genau dann die Summe von zwei Quadraten ist, wenn in der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}m}$ nur ${\displaystyle {}2}$ und Primzahlen vorkommen, die modulo ${\displaystyle {}4}$ den Rest ${\displaystyle {}1}$ haben.

Finde neben

${\displaystyle {}1=1^{2}<25=5^{2}<49=7^{2}\,}$

weitere teilerfremde Quadratzahlen

${\displaystyle {}a^{2}<b^{2}<c^{2}<1000\,}$

mit

${\displaystyle {}c^{2}-b^{2}=b^{2}-a^{2}\,.}$

Zeige, dass jedes Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\neq 0}$ in einem Zahlbereich ${\displaystyle {}R}$ eine ganze Zahl ${\displaystyle {}m\neq 0}$ enthält.

Bestimme eine ganze Zahl ${\displaystyle {}n}$ derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung

${\displaystyle {}x^{2}+3x+{\frac {7}{3}}=0\,}$

in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]}$ liegen.

Es sei ${\displaystyle {}\mathbb {Z} _{n}}$ die Nenneraufnahme zu ${\displaystyle {}n}$ (${\displaystyle {}\mathbb {Z} _{n}}$ besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von ${\displaystyle {}n}$ als Nenner schreiben kann). Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe ${\displaystyle {}R}$ mit

${\displaystyle {}\mathbb {Z} \subseteq R\subseteq \mathbb {Z} _{n}\,}$

gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}n}$.

Es sei ${\displaystyle {}A_{D}}$ ein quadratischer Zahlbereich. Bestimme die Norm von ${\displaystyle {}{\sqrt {D}}}$ und von ${\displaystyle {}{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}}$.

Beweise den Satz über die Charakterisierung der Faktorialität eines Zahlbereiches mit Hilfe der Divisorenklassengruppe.

Wir betrachten die binäre quadratische Form

${\displaystyle {}F(X,Y)=X^{2}+XY+4Y^{2}\,.}$

a) Bestimme die Diskriminante der Form.

b) Welche Zahlen zwischen ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}10}$ werden durch die Form dargestellt, welche nicht?