Kurs:Elementare und algebraische Zahlentheorie/19/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
2. Ein Hauptidealbereich.
3. Der Produktring zu kommutativen Ringen ${\displaystyle {}R_{1},\ldots ,R_{n}}$.
4. Das Legendre-Symbol.
5. Eine multiplikative zahlentheoretische Funktion.
6. Ein Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über eine endliche multiplikative Untergruppe in einem Körper ${\displaystyle {}K}$.
2. Der Satz über die Anzahl von Quadratresten.
3. Der Idealzerlegungssatz von Dedekind.

Finde die Primfaktorzerlegung von

${\displaystyle 5\cdot 41+6\cdot 82+7\cdot 123.}$

Bestimme den Exponenten zu ${\displaystyle {}2}$ von ${\displaystyle {}203264}$.

Bestimme die kleinste natürliche Zahl ${\displaystyle {}\geq 2}$, die nicht prim ist und die außer ${\displaystyle {}1}$ keinen Teiler kleiner als ${\displaystyle {}10}$ besitzt.

Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ nach ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ gibt.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${\displaystyle {}23+2{\mathrm {i} }}$ und ${\displaystyle {}1+23{\mathrm {i} }}$.

a) Zeige, dass es unendlich viele Zwischenringe

${\displaystyle {}\mathbb {Z} \subseteq R\subseteq \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\,}$

gibt.

b) Zeige, dass es eine unendlich lange Kette von Unterringen

${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\supset R_{1}\supset R_{2}\supset \ldots \supset \,\,}$

gibt.

c) Zeige, dass es innerhalb von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$ keine unendlich lange Kette von Unterringen

${\displaystyle {}\mathbb {Z} \subset R_{1}\subset R_{2}\subset \ldots \subset \,\,}$

gibt.

Beweise den chinesischen Restsatz für ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine ungerade Primzahl und ${\displaystyle {}r\geq s\geq 2}$ Wir betrachten den kanonischen Ringhomomorphismus

${\displaystyle \mathbb {Z} /(p^{r})\longrightarrow \mathbb {Z} /(p^{s})}$

und den zugehörigen Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle {\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p^{s})\right)}^{\times }}$

der Einheitengruppen. Es sei ${\displaystyle {}v}$ eine primitive Einheit von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p^{s})}$. Zeige, dass sämtliche Urbilder von ${\displaystyle {}v}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p^{r})}$ primitive Einheiten von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p^{s})}$ sind.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine ungerade Primzahl und sei ${\displaystyle {}k}$ eine zu ${\displaystyle {}p}$ teilerfremde natürliche Zahl. Es sei

${\displaystyle \pi _{k}\colon {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times },\,x\longmapsto kx,}$

die zu ${\displaystyle {}k}$ gehörende Permutation auf der Einheitengruppe ${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }}$ und ${\displaystyle {}\operatorname {sgn} (\pi _{k})}$ das Signum dieser Permutation. Zeige

${\displaystyle {}\left({\frac {k}{p}}\right)=\operatorname {sgn} (\pi _{k})\,.}$

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

${\displaystyle \left({\frac {53}{97}}\right).}$

Zeige, dass man ${\displaystyle {}1729}$ auf zwei unterschiedliche Arten als eine Summe von zwei Kubikzahlen darstellen kann.

Es seien ${\displaystyle {}a,b}$ positive natürliche Zahlen. Die Summe der Stammbrüche ist dann

${\displaystyle {}{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}={\frac {b+a}{ab}}\,.}$

a) Zeige, dass bei ${\displaystyle {}a,b}$ teilerfremd diese Darstellung gekürzt ist.

b) Zeige, dass im Allgemeinen diese Darstellung nicht gekürzt sein muss.

Beweise, dass ein faktorieller Integritätsbereich normal ist.

Es sei

${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-6}}]\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+6)\,.}$

Berechne den Hauptdivisor zu

${\displaystyle {}q={\frac {4}{5}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {-6}}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}D<0}$ quadratfrei mit ${\displaystyle {}D=2,3\mod 4}$ und sei ${\displaystyle {}A_{D}=\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\sqrt {D}}=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\sqrt {-D}}{\mathrm {i} }\subseteq {\mathbb {C} }}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich, den wir als Gitter in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ aufassen. Zeige, dass ein Hauptideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\neq 0}$ als Gitter ein Erzeugendensystem aus zwei Erzeugern besitzt, die senkrecht aufeinander stehen.

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{-5}}$ der quadratische Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=-5}$. Bestimme die Klassengruppe von ${\displaystyle {}R}$.