Kurs:Elementare und algebraische Zahlentheorie/20/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Ring ${\displaystyle {}R}$.
2. Ein Primelement ${\displaystyle {}p\in R,\,p\neq 0}$, in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
3. Der Exponent zu einer endlichen Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
4. Eine vollkommene Zahl.
5. Der Quotientenkörper zu einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
6. Die Diskriminante zu Elementen ${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}\in L}$ bei einer endlichen Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ vom Grad ${\displaystyle {}n}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Charakterisierungssatz für Restklassenringe von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ mit zyklischer Einheitengruppe.
2. Der Satz von Euler über Primzahlkehrwerte.
3. Der Satz über die Restklassenringe von Zahlbereichen.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${\displaystyle {}1071}$ und ${\displaystyle {}1029}$.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]}$ das multiplikative Inverse von

${\displaystyle {\frac {3}{7}}+{\frac {2}{5}}{\mathrm {i} }.}$

Die Antwort muss in der Form ${\displaystyle {}p+q{\mathrm {i} }}$ mit ${\displaystyle {}p,q\in \mathbb {Q} }$ in gekürzter Form sein.

Bestimme das inverse Element zu ${\displaystyle {}{\overline {37}}}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(89)}$.

Es seien ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S_{1},\ldots ,S_{n}}$ kommutative Ringe und es seien ${\displaystyle {}\varphi _{i}\colon R\rightarrow S_{i}}$ surjektive Ringhomomorphismen. Es sei

${\displaystyle \varphi =\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}\colon R\longrightarrow S_{1}\times \cdots \times S_{n}}$

der zugehörige Ringhomomorphismus in den Produktring

${\displaystyle {}S=S_{1}\times \cdots \times S_{n}\,.}$

Es sei vorausgesetzt, dass die Elemente der Form ${\displaystyle {}(1,0,\ldots ,0),(0,1,0,\ldots ,0),\ldots ,(0,\ldots ,0,1)}$ zum Bild von ${\displaystyle {}\varphi }$ gehören. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ surjektiv ist.

Es sei ${\displaystyle {}U\subseteq K^{\times }}$ eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}U}$ zyklisch ist.

Bestimme in der Einheitengruppe ${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} /(17)\right)}^{\times }}$ zu jeder möglichen Ordnung ${\displaystyle {}k}$ ein Element ${\displaystyle {}x\in {\left(\mathbb {Z} /(17)\right)}^{\times }}$, das die Ordnung ${\displaystyle {}k}$ besitzt. Man gebe auch eine Untergruppe

${\displaystyle {}H\subseteq {\left(\mathbb {Z} /(17)\right)}^{\times }\,}$

an, die aus vier Elementen besteht.

a) Bestimme die primitiven Elemente von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(11)}$.

b) Man gebe einen Gruppenisomorphismus der additiven Gruppe ${\displaystyle {}(\mathbb {Z} /(10),+)}$ in die Einheitengruppe ${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} /(11)\right)}^{\times }}$ an.

c) Bestimme für jede Einheit aus ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(11)}$ die Ordnung.

Beweise den Satz über die Anzahl von Quadratresten.

Berechne zu ${\displaystyle {}p=11}$ und ${\displaystyle {}k=3}$ die Vielfachen ${\displaystyle {}ik\mod 11}$ für ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,5}$ und repräsentiere sie durch Zahlen zwischen ${\displaystyle {}-5}$ und ${\displaystyle {}5}$. Berechne damit die Vorzeichen ${\displaystyle {}\epsilon _{i}=\epsilon _{i}(3)}$ und bestätige das Gaußsche Vorzeichenlemma an diesem Beispiel.

Es sei ${\displaystyle {}n}$ eine ungerade natürliche Zahl und sei ${\displaystyle {}k}$ eine zu ${\displaystyle {}n}$ teilerfremde Zahl, die modulo ${\displaystyle {}n}$ ein Quadratrest ist. Zeige, dass für das Jacobi-Symbol

${\displaystyle {}\left({\frac {k}{n}}\right)=1\,}$

gilt.

a) Finde einen Punkt ${\displaystyle {}(x,y)}$ mit rationalen Koordinaten auf dem Kreis, der durch die Gleichung

${\displaystyle {}x^{2}+y^{2}=2\,}$

gegeben ist.

b) Finde eine rationale Parametrisierung des Kreises aus Teil (a).

Man gebe ein Beispiel für zwei nicht befreundete Zahlen ${\displaystyle {}m}$ und ${\displaystyle {}n}$ mit

${\displaystyle {}\sigma (m)=\sigma (n)\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper ${\displaystyle {}K=Q(R)}$. Zeige, dass jedes Element ${\displaystyle {}f\in K}$, ${\displaystyle {}f\neq 0}$, eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung

${\displaystyle {}f=up_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{n}^{r_{n}}\,}$

mit einer Einheit ${\displaystyle {}u\in R}$ und ganzzahligen Exponenten ${\displaystyle {}r_{i}}$ besitzt.

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}3}$ im Ring der Gaußschen Zahlen ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$ ein Primelement ist.

b) Bestimme die Charakteristik des Körpers ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(3)}$.

c) Bestimme die Anzahl der Elemente im Körper ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(3)}$.

Wir betrachten die quadratische Körpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]=L}$.

a) Erstelle die Matrix der Multiplikationsabbildung zu ${\displaystyle {}-5+6{\sqrt {7}}}$ bezüglich der ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$- Basis ${\displaystyle {}1,{\sqrt {7}}}$ von ${\displaystyle {}L}$.

b) Bestimme die Norm und die Spur von ${\displaystyle {}-5+6{\sqrt {7}}}$.

c) Bestimme das inverse Element zu ${\displaystyle {}-5+6{\sqrt {7}}}$.

d) Bestimme das Minimalpolynom zu ${\displaystyle {}-5+6{\sqrt {7}}}$.

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{-13}}$ der quadratische Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=-13}$. Bestimme die Klassengruppe von ${\displaystyle {}R}$.

Berechne die Diskriminante der binären quadratischen Form

${\displaystyle -9X^{2}-14XY+13Y^{2}.}$