Kurs:Elementare und algebraische Zahlentheorie/9/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das von einer Familie von Elementen ${\displaystyle {}a_{j}\in R}$, ${\displaystyle {}j\in J}$, in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ erzeugte Ideal.
2. Ein quadratischer Rest.
3. Eine endliche Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.
4. Ein normaler Integritätsbereich.
5. Reell-quadratische und imaginär-quadratische Zahlbereiche.
6. Die Grundmasche zu einem Gitter ${\displaystyle {}\Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Struktur der Einheitengruppe von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ für eine Primzahl ${\displaystyle {}p}$.
2. Der Satz von Euklid über Primzahlen.
3. Der Satz über das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in einem quadratischen Zahlbereich.

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}1728}$.

Bestimme den Exponenten zu ${\displaystyle {}3}$ von ${\displaystyle {}72657}$.

a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen ${\displaystyle {}2\cdot 3^{2}\cdot 7^{4}}$ und ${\displaystyle {}2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{11}\cdot 7}$.

b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen ${\displaystyle {}2\cdot 3^{2}\cdot 6\cdot 7}$ und ${\displaystyle {}2^{2}\cdot 3^{3}\cdot 5^{4}}$.

Zeige, dass die Untergruppen von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ genau die Teilmengen der Form

${\displaystyle {}\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,}$

mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl ${\displaystyle {}d}$ sind.

1. Gibt es eine Primzahl ${\displaystyle {}x}$ derart, dass auch ${\displaystyle {}x+6}$, ${\displaystyle {}x+12}$, ${\displaystyle {}x+18}$ und ${\displaystyle {}x+24}$ Primzahlen sind?
2. Gibt es mehr als eine Primzahl ${\displaystyle {}x}$ derart, dass auch ${\displaystyle {}x+6}$, ${\displaystyle {}x+12}$, ${\displaystyle {}x+18}$ und ${\displaystyle {}x+24}$ Primzahlen sind?
3. Gibt es mehr als eine Primzahl ${\displaystyle {}x}$ derart, dass auch ${\displaystyle {}x+6}$, ${\displaystyle {}x+12}$ und ${\displaystyle {}x+18}$ Primzahlen sind?

a) Man gebe explizit eine natürliche Zahl ${\displaystyle {}n\geq 100000}$ an, die keinen Primteiler ${\displaystyle {}\leq 20}$ besitzt.

b) Es sei ${\displaystyle {}K=\mathbb {Z} /(3)}$. Man gebe explizit ein normiertes Polynom ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ vom Grad ${\displaystyle {}\geq 9}$ an, das keinen Primteiler vom Grad ${\displaystyle {}\leq 2}$ besitzt.

Bestimme das inverse Element zu ${\displaystyle {}{\overline {44}}}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(97)}$.

a) Bestimme für die Zahlen ${\displaystyle {}2}$, ${\displaystyle {}9}$ und ${\displaystyle {}25}$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

${\displaystyle \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(9)\times \mathbb {Z} /(25)}$

die Restetupel ${\displaystyle {}(1,0,0),\,(0,1,0)}$ und ${\displaystyle {}(0,0,1)}$ repräsentieren.

b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${\displaystyle {}x}$ der simultanen Kongruenzen

${\displaystyle x=0\!\!\mod 2,\,\,\,\,x=3\!\!\mod 9{\text{ und }}x=5\!\!\mod 25.}$

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

${\displaystyle \left({\frac {1117}{1861}}\right)}$

und bestimme, ob ${\displaystyle {}1117}$ ein Quadratrest modulo ${\displaystyle {}1861}$ ist oder nicht (${\displaystyle {}1861}$ ist eine Primzahl).

Bestimme, ob die Abbildung

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{3}\longrightarrow \mathbb {Q} ,\,(m,n,k)\longmapsto 2^{m}\cdot 3^{n}\cdot 5^{k},}$

injektiv und ob sie surjektiv ist.

Es sei ${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} }$. Zeige, dass zu natürlichen teilerfremden Zahlen ${\displaystyle {}n}$ und ${\displaystyle {}m}$ die Teilerpotenzsumme die Gleichung

${\displaystyle {}\sigma _{k}(nm)=\sigma _{k}(n)\sigma _{k}(m)\,}$

erfüllt.

Beschreibe den Körper mit acht Elementen ${\displaystyle {}\mathbb {F} _{8}}$ als einen Restklassenkörper von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)[X]}$. Man gebe eine primitive Einheit in ${\displaystyle {}\mathbb {F} _{8}}$ an.

Zeige, dass für ${\displaystyle {}n\geq 2}$ die Fakultät ${\displaystyle {}n!}$ keine Quadratzahl ist.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl. Man gebe einen Körper der Charakteristik ${\displaystyle {}p}$ an, der unendlich viele Elemente besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${\displaystyle {}n}$ und sei ${\displaystyle {}R}$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ ein von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenes Ideal in ${\displaystyle {}R}$. Es seien ${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}}$ Elemente, die eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$- Basis von ${\displaystyle {}L}$ bilden und für die der Betrag der Diskriminante

${\displaystyle \triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})}$

unter all diesen Basen aus ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ minimal sei.

Zeige, dass dann

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,}$

ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein quadratischer Zahlbereich, es seien ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ Primideale, deren Produkt ein Hauptideal sei. Ferner besitze ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ in der Klassengruppe die Ordnung ${\displaystyle {}3}$. Zeige, dass es in ${\displaystyle {}R}$ ein Ideal gibt, das kein Hauptideal ist, aber die Eigenschaft besitzt, dass seine Norm mit dem Betrag der Norm eines Elementes von ${\displaystyle {}R}$ übereinstimmt.

Berechne die Diskriminante der binären quadratischen Form

${\displaystyle 6X^{2}-9XY+5Y^{2}.}$