Kurs:Funktionentheorie/6/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine punktierte Kreisscheibe.
2. Eine ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-antilineare Abbildung ${\displaystyle {}\varphi \colon V\rightarrow W}$ zwischen komplexen Vektorräumen ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$.
3. Ein Wegintegral zu einer Differentialform ${\displaystyle {}\omega \in {\mathcal {E}}^{}(G,W)}$ auf einer offenen Menge ${\displaystyle {}G\subseteq V}$, wobei ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ endlichdimensionale ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorräume bezeichnen.
4. Die Ordnung zu einer meromorphen Funktion ${\displaystyle {}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }}$ in ${\displaystyle {}P\in U}$.
5. Eine hebbare Singularität einer holomorphen Funktion

   ${\displaystyle f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }.}$

6. Die Weierstraßsche ${\displaystyle {}\wp }$-Funktion zu einem Gitter ${\displaystyle {}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Umkehrfunktion in einer komplexen Variablen.
2. Der Integralsatz von Cauchy.
3. Der Wegeliftungssatz.

Es sei ${\displaystyle {}P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}z^{i}\in {\mathbb {C} }[X]}$ ein nichtkonstantes Polynom mit ${\displaystyle {}a_{n}\neq 0}$. Wir setzen ${\displaystyle {}a:={\max {\left(\vert {a_{i}}\vert ,i=0,\ldots ,n-1\right)}}}$ und ${\displaystyle {}r:={\max {\left({\frac {na+\vert {a_{0}}\vert +1}{\vert {a_{n}}\vert }},1\right)}}}$. Zeige, dass

${\displaystyle {}\vert {P(z)}\vert \geq 1\,}$

für alle ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$ mit

${\displaystyle {}\vert {z}\vert \geq r\,}$

gilt.

Für ${\displaystyle {}z}$ mit ${\displaystyle {}\vert {z}\vert \geq r}$ gelten die Abschätzungen

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {P(z)}\vert &\geq \vert {a_{n}z^{n}}\vert -\vert {\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}z^{i}}\vert \\&\geq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}\vert {a_{i}}\vert \vert {z}\vert ^{i}\\&\geq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}a\vert {z}\vert ^{n-1}\\&\geq \vert {z}\vert ^{n-1}(\vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert -na)\\&\geq \vert {a_{0}}\vert +1\\&>1.\end{aligned}}}$

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die Funktionslimiten für die Differenzenquotienten.

Es seien ${\displaystyle {}f,g\colon D\rightarrow K}$ Funktionen, die beide in ${\displaystyle {}a\in D}$ differenzierbar seien. Der Differenzenquotient der Produktfunktion ${\displaystyle {}f(x)g(x)}$ ist ${\displaystyle {}{\frac {f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}}}$ und es ist zu zeigen, dass davon der Limes für ${\displaystyle {}x}$ gegen ${\displaystyle {}a}$ existiert und gleich ${\displaystyle {}f'(a)g(a)+f(a)g'(a)}$ ist. Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}}&={\frac {f(x)g(x)-f(x)g(a)+f(x)g(a)-f(a)g(a)}{x-a}}\\&={\frac {f(x)(g(x)-g(a))+g(a)(f(x)-f(a))}{x-a}}\\&=f(x){\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}+g(a){\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}.\end{aligned}}}$

Der Limes der Brüche existiert nach Voraussetzung und ist gleich ${\displaystyle {}g'(a)}$ bzw. ${\displaystyle {}f'(a)}$. Wegen der Stetigkeit von ${\displaystyle {}f}$ im Punkt ${\displaystyle {}a}$ ist der Limes von ${\displaystyle {}f(x)}$ für ${\displaystyle {}x}$ gegen ${\displaystyle {}a}$ gleich ${\displaystyle {}f(a)}$. Daher folgt die Behauptung aus den Rechenregeln für Limiten.

Es sei ${\displaystyle {}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}$ eine komplexe Potenzreihe. Zeige, dass der Konvergenzradius genau dann gleich ${\displaystyle {}0}$ ist, wenn die Folge ${\displaystyle {}{\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}}$ unbeschränkt ist.

Es sei die Folge ${\displaystyle {}{\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}}$ zunächst beschränkt, sagen wir

${\displaystyle {}{\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}\leq M\,}$

für alle ${\displaystyle {}n}$. Es sei ${\displaystyle {}s}$ reell mit

${\displaystyle {}0<s\leq {\frac {1}{2M}}\,.}$

Dann ist

${\displaystyle {}{\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}s\leq M{\frac {1}{2M}}\leq {\frac {1}{2}}<1\,.}$

Daher ist

${\displaystyle {}\sum _{n=0}^{\infty }\vert {c_{n}}\vert s^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\left(\vert {\sqrt[{n}]{c_{n}}}\vert s\right)}^{n}\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}\,}$

beschränkt, wie aus der Abschätzung mit der geometrischen Reihe folgt. Daher ist ${\displaystyle {}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}s^{n}}$ konvergent und es liegt eine konvergente Potenzreihe vor.

Es sei nun die Folge ${\displaystyle {}{\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}}$ nicht beschränkt. Zu jeden beliebigen positiven reellen ${\displaystyle {}s}$ gibt es dann unendlich viele ${\displaystyle {}n}$ mit

${\displaystyle {}{\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}s\geq 1\,.}$

Doch dann ist

${\displaystyle {}\sum _{n=0}^{\infty }\vert {c_{n}}\vert s^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\left({\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}s\right)}^{n}\,}$

und daher ist ${\displaystyle {}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}s^{n}}$ nicht absolut konvergent. Somit kann die Potenzreihe auf keiner positiven Kreisscheibe konvergieren.

Bestimme zur Funktion

${\displaystyle {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{-1},}$

die Potenzreihenentwicklung für jeden Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}c\neq 0}$ über die Taylorentwicklung.

Die ${\displaystyle {}n}$-te Ableitung der Funktion ${\displaystyle {}f(z)=z^{-1}}$ ist

${\displaystyle {}f^{(n)}(z)=(-1)^{n}n!z^{-n-1}\,.}$

Es ist also

${\displaystyle {}f^{(n)}(c)=(-1)^{n}n!c^{-n-1}\,.}$

Der ${\displaystyle {}n}$-te Koeffizient der Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}c}$ ist also gleich ${\displaystyle {}(-1)^{n}c^{-n-1}}$, und die Potenzreihe ist somit gleich

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)c^{-n-1}(z-c)^{n}.}$

Berechne das Wegintegral ${\displaystyle {}\int _{\gamma }\omega }$ zu

${\displaystyle \gamma \colon [-1,0]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (-t^{2},t^{3}-1,t+2),}$

für die ${\displaystyle {}1}$-Differentialform

${\displaystyle {}\omega =x^{3}dx-yzdy+xz^{2}dz\,}$

auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$.

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\gamma ^{*}\omega &=(-t^{2})^{3}d(-t^{2})-(t^{3}-1)(t+2)d(t^{3}-1)-t^{2}(t+2)^{2}d(t+2)\\&=2t^{7}dt-3t^{2}(t^{4}+2t^{3}-t-2)dt-t^{2}(t^{2}+4t+4)dt\\&=(2t^{7}-3t^{6}-6t^{5}+3t^{3}+6t^{2}-t^{4}-4t^{3}-4t^{2})dt\\&=(2t^{7}-3t^{6}-6t^{5}-t^{4}-t^{3}+2t^{2})dt.\end{aligned}}}$

Daher ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\int _{-1}^{0}(2t^{7}-3t^{6}-6t^{5}-t^{4}-t^{3}+2t^{2})dt\\&=({\frac {1}{4}}t^{8}-{\frac {3}{7}}t^{7}-t^{6}-{\frac {1}{5}}t^{5}-{\frac {1}{4}}t^{4}+{\frac {2}{3}}t^{3})|_{-1}^{0}\\&=-({\frac {1}{4}}+{\frac {3}{7}}-1+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {2}{3}})\\&=-{\frac {3}{7}}+1-{\frac {1}{5}}+{\frac {2}{3}}\\&={\frac {-45+105-21+70}{105}}\\&={\frac {109}{105}}.\end{aligned}}}$

Beweise die Quadratversion des Lemmas von Goursat.

Es sei ${\displaystyle {}L}$ die Seitenlänge des Quadrates. Dann ist der Umfang des Quadrates gleich ${\displaystyle {}4L}$, und das ist auch die Länge des Intervalls ${\displaystyle {}I}$. Wir konstruieren rekursiv eine Folge von Quadraten ${\displaystyle {}Q_{n}}$ mit ${\displaystyle {}Q_{0}=Q}$ als Startquadrat. Dabei zerlegt man ${\displaystyle {}Q_{n}}$ durch Halbierung der Seitenlängen in vier Teilquadrate. Unter diesen wird ${\displaystyle {}Q_{n+1}}$ in folgender Weise ausgewählt: Es sei ${\displaystyle {}\gamma _{n}}$ der gleichmäßige (stückweise lineare) Weg entlang des Randes von ${\displaystyle {}Q_{n}}$, der gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen werde und rechts unten anfängt. Es seien ${\displaystyle {}\gamma _{n+1,1},\gamma _{n+1,2},\gamma _{n+1,3},\gamma _{n+1,4}}$ die entsprechenden Wege der Ränder der Teilquadrate. Dann gilt

${\displaystyle \int _{\gamma _{n}}fdz=\int _{\gamma _{n+1,1}}fdz+\int _{\gamma _{n+1,2}}fdz+\int _{\gamma _{n+1,3}}fdz+\int _{\gamma _{n+1,4}}fdz\,,}$

da in der Summe rechts die äußeren Seiten der Teilquadrate einfach und die inneren Seiten der Teilquadrate zweifach mit wechselnder Orientierung durchlaufen werden. Wir wählen nun ${\displaystyle {}Q_{n+1}}$ als dasjenige Teilquadrat, für das der Betrag von ${\displaystyle {}\int _{\gamma _{n+1,i}}fdz}$ unter diesen vier Wegintegralen maximal ist. Dabei gilt

${\displaystyle {}\vert {\int _{\gamma _{n}}fdz}\vert \leq 4\cdot \vert {\int _{\gamma _{n+1}}fdz}\vert \,,}$

und induktiv erhält man die Abschätzung

${\displaystyle {}\vert {\int _{\gamma }fdz}\vert \leq 4^{n}\cdot \vert {\int _{\gamma _{n}}fdz}\vert \,.}$

Es sei nun ${\displaystyle {}a}$ der durch die Folge der Quadrate ${\displaystyle {}Q_{n}}$ bestimmte Punkt der Ebene (die Folge der ${\displaystyle {}x}$-Seiten und der ${\displaystyle {}y}$-Seiten bilden ja jeweils eine Intervallhalbierung, und legen daher nach Satz 7.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) einen eindeutigen Punkt fest). Aufgrund der komplexen Differenzierbarkeit in ${\displaystyle {}a}$ gibt es nach Satz 1.2 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) ein ${\displaystyle {}s\in {\mathbb {C} }}$ und eine Funktion

${\displaystyle r\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }}$

mit ${\displaystyle {}r}$ stetig in ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}r(a)=0}$ und mit

${\displaystyle {}f(z)=f(a)+s(z-a)+r(z)(z-a)\,.}$

Wir möchten

${\displaystyle {}\int _{\gamma }fdz=0\,}$

zeigen. Dazu zeigen wir, dass

${\displaystyle {}\vert {\int _{\gamma }fdz}\vert \leq \epsilon \,}$

für jedes vorgegebene positive ${\displaystyle {}\epsilon }$ ist. Es sei also ein ${\displaystyle {}\epsilon \in \mathbb {R} _{+}}$ vorgegeben. Aufgrund der Stetigkeit von ${\displaystyle {}r}$ gibt es ein ${\displaystyle {}\delta >0}$ mit der Eigenschaft, dass für ${\displaystyle {}z}$ mit ${\displaystyle {}\vert {z-a}\vert \leq \delta }$ die Abschätzung ${\displaystyle {}\vert {r(z)}\vert \leq {\frac {\epsilon }{8L^{2}}}}$ gilt.

Es sei ${\displaystyle {}n}$ derart, dass

${\displaystyle {}{\frac {1}{2^{n}}}\leq {\frac {\delta }{2L}}\,}$

gilt. Das Quadrat ${\displaystyle {}Q_{n}}$ hat die Seitenlänge ${\displaystyle {}{\frac {L}{2^{n}}}}$ und den Umfang ${\displaystyle {}{\frac {4L}{2^{n}}}}$, und es ist

${\displaystyle {}Q_{n}\subseteq U{\left(a,{\frac {2L}{2^{n}}}\right)}\subseteq U{\left(a,\delta \right)}\,.}$

Daher ist auf alle Punkte ${\displaystyle {}z}$ aus ${\displaystyle {}Q_{n}}$ und insbesondere auf seinen Rand die Abschätzung für ${\displaystyle {}r(z)}$ anwendbar. Daher ist (die Wegintegrale zu den beiden vorderen Summanden ${\displaystyle {}f(a)}$ und ${\displaystyle {}s(z-a)}$ sind nach Korollar 12.12 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) gleich ${\displaystyle {}0}$, da sie eine Stammfunktion besitzen)

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {\int _{\gamma _{n}}f(z)dz}\vert &=\vert {\int _{\gamma _{n}}f(a)+s(z-a)+r(z)(z-a)dz}\vert \\&=\vert {\int _{\gamma _{n}}r(z)(z-a)dz}\vert \\&=\vert {\int _{I_{n}}r(\gamma _{n}(t))(\gamma _{n}(t)-a)\gamma '_{n}(t)dt}\vert \\&\leq \int _{I_{n}}\vert {r(\gamma _{n}(t))(\gamma _{n}(t)-a)\gamma '_{n}(t)}\vert dt\\&\leq \int _{I_{n}}{\frac {\epsilon }{8L^{2}}}\cdot {\frac {2L}{2^{n}}}dt\\&={\frac {4L}{2^{n}}}\cdot {\frac {\epsilon }{8L^{2}}}\cdot {\frac {2L}{2^{n}}}\\&={\frac {\epsilon }{4^{n}}}.\end{aligned}}}$

Es folgt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {\int _{\gamma }fdz}\vert &\leq 4^{n}\cdot \vert {\int _{\gamma _{n}}fdz}\vert \\&=4^{n}\cdot {\frac {\epsilon }{4^{n}}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}}$

Bestimme den lokalen Exponenten von

${\displaystyle f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3}-z^{2}+7z,}$

in jedem Punkt ${\displaystyle {}P\in {\mathbb {C} }}$.

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}f'(z)&=3z^{2}-2z+7\\&=3{\left(z^{2}-{\frac {2}{3}}z+{\frac {7}{3}}\right)}\\&=3{\left({\left(z-{\frac {1}{3}}\right)}^{2}-{\frac {1}{9}}+{\frac {7}{3}}\right)}\\&=3{\left({\left(z-{\frac {1}{3}}\right)}^{2}-{\frac {1}{9}}+{\frac {21}{9}}\right)}\\&=3{\left({\left(z-{\frac {1}{3}}\right)}^{2}+{\frac {20}{9}}\right)},\end{aligned}}}$

die Nullstellen sind

${\displaystyle {}z_{1}={\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {20}}{3}}+{\frac {1}{3}}\,}$

und

${\displaystyle {}z_{2}=-{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {20}}{3}}+{\frac {1}{3}}\,.}$

Diese sind keine Nullstellen der zweiten Ableitung

${\displaystyle {}f^{\prime \prime }(z)=6z-2\,,}$

also ist in diesen beiden Punkten der lokale Exponent gleich ${\displaystyle {}2}$ und in allen anderen Punkten gleich ${\displaystyle {}1}$.

Man gebe ein Beispiel für eine offene einfach zusammenhängende Teilmenge ${\displaystyle {}U\subset {\mathbb {C} }}$ derart, dass der Abschluss ${\displaystyle {}{\overline {U}}}$ nicht homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe ist.

Es sei

${\displaystyle {}U={\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R} _{\geq 0}\,}$

die geschlitzte Ebene. Diese offene Menge ist sternförmig und somit einfach zusammenhängend. Der Abschluss ist ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$, was nicht homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe ist, da diese kompakt ist.

Beweise den Satz über den Körper der elliptischen Funktionen.

Jede elliptische Funktion kann man als eine Summe einer geraden und einer ungeraden elliptischen Funktion schreiben, siehe Aufgabe 27.3 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)). Eine ungerade elliptische Funktion kann man mit ${\displaystyle {}\wp '}$ multiplizieren und erhält eine gerade elliptische Funktion. Es genügt also zu zeigen, dass jede gerade elliptische Funktion ${\displaystyle {}f\neq 0}$ eine rationale Funktion in ${\displaystyle {}\wp }$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}\Gamma =\langle u,v\rangle }$, ${\displaystyle {}{\mathfrak {M}}={\left\{ru+sv\mid 0\leq r,s<1\right\}}}$ die zugehörige Fundamentalmasche und ${\displaystyle {}{\mathfrak {N}}={\left\{ru+sv\mid 0\leq r<1,\,0\leq s<{\frac {1}{2}}\right\}}}$. Es seien ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{n}}$ die Punkte ${\displaystyle {}\neq 0}$ in ${\displaystyle {}{\mathfrak {N}}}$, in denen eine Pol- oder eine Nullstelle von ${\displaystyle {}f}$ vorliegt. Wir betrachten die elliptische Funktion

${\displaystyle {}g(z)=\prod _{i}(\wp (z)-\wp (a_{i}))^{r_{i}}\,,}$

wobei ${\displaystyle {}r_{i}}$ die Ordnung von ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}a_{i}}$ ist, es sei denn, dass ${\displaystyle {}2a_{i}\in \Gamma }$ ist, in diesem Fall ist ${\displaystyle {}r_{i}}$ die Hälfte der nach Fakt ***** geraden Ordnung von ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}a_{i}}$. Diese Funktion besitzt überall außer eventuell im Nullpunkt die gleichen Ordnungen wie ${\displaystyle {}f}$, da ${\displaystyle {}\wp (z)-\wp (a)}$ in ${\displaystyle {}a}$ die Ordnung ${\displaystyle {}1}$ besitzt, mit den Ausnahmen für die Punkte ${\displaystyle {}a}$ mit ${\displaystyle {}2a\in \Gamma }$, wo die Ordnung ${\displaystyle {}2}$ ist. Aus Lemma 27.5 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) folgt dann, dass auch im Nullpunkt die Ordnungen gleich sind. Daher ist ${\displaystyle {}{\frac {f}{g}}}$ holomorph und somit nach Lemma 27.3 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) konstant. Daher ist ${\displaystyle {}f\in {\mathbb {C} }(\wp )}$, da ${\displaystyle {}g}$ nach Konstruktion dazugehört.