Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete

Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der Funktionentheorie. Es gibt ihn in verschiedenen Versionen, von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf konvexen Gebieten. Als Vorbereitung ist der Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben hilfreich.

Bekannt ist, dass das Integral über ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}}$ bei der Integration über den geschlossenen Weg ${\displaystyle \gamma (t):=r\cdot e^{it}}$ über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert ${\displaystyle 2\pi i}$ liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet ${\displaystyle G}$ konvex ist. Dies ist für ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}}$ nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von ${\displaystyle f}$ gehört.

Es sei ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {C} }$ ein konvexes Gebiet, ${\displaystyle \gamma }$ ein in ${\displaystyle G}$ geschlossener rektifizierbarer Weg. Dann ist für jede holomorphe Funktion ${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=0}$

Der Beweis verläuft in den folgenden Schritten:

Nach Voraussetzung für konvexe Gebiete gilt, dass ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle G}$ eine Stammfunktion besitzt. Sei dazu ${\displaystyle z_{0}\in G}$ fest gewählt. Für jeden Punkt ${\displaystyle z\in G}$ bezeichne ${\displaystyle [z_{0},z]}$ die direkte Verbindungsstrecke von ${\displaystyle z_{0}}$ und ${\displaystyle z}$. Formal lässt sich der Weg ${\displaystyle \gamma _{z}:=[z_{0},z]}$ wie folgt als Konvexkombination definieren:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\gamma _{z}:&[0,1]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&t&\mapsto &\gamma _{z}(t)=(1-t)\cdot z_{0}+t\cdot z\\\end{array}}}$

Dabei gilt ${\displaystyle {\gamma _{z}}'(t)=z-z_{0}}$.

Wir definieren ${\displaystyle F\colon G\to \mathbb {C} }$ durch

${\displaystyle F(z):=\int _{[z_{0},z]}f(\zeta )\,d\zeta }$.

Für ${\displaystyle z,w\in G}$ liegt wegen der Konvexität das Dreieck ${\displaystyle D}$ mit den Ecken ${\displaystyle z_{0},z,w}$ und allen inneren Punkten ganz in ${\displaystyle G}$. Dies ist die Voraussetzung für die Anwendung des Lemmas von Goursat.

Es folgt nach dem Lemma von Goursat über die Integration über den Rand ${\displaystyle \partial \Delta }$ eines Dreiecks ${\displaystyle \Delta }$ mit den Ecken ${\displaystyle z_{0},z,w\in \mathbb {C} }$, dass

${\displaystyle {\begin{array}{rl}0&=\int _{\partial \Delta }f(z)\,dz\\&=\int _{[z_{0},z]}f(\zeta )\,d\zeta +\int _{[z,w]}f(\zeta )\,d\zeta +\int _{[w,z_{0}]}f(\zeta )\,d\zeta \\&=\int _{[z_{0},z]}f(\zeta )\,d\zeta -\int _{[z_{0},w]}f(\zeta )\,d\zeta +\int _{[z,w]}f(\zeta )\,d\zeta \\&=F(z)-F(w)+\int _{[z,w]}f(\zeta )\,d\zeta \end{array}}}$

Damit erhält man mit ${\displaystyle \gamma (t)=(1-t)\cdot w+t\cdot z=w+t(z-w)}$ und ${\displaystyle \gamma \,'(t)=z-w}$ die Gleichungskette:

${\displaystyle {\begin{array}{rl}F(z)-F(w)&=\int _{[w,z]}f(\zeta )\,d\zeta \\&=\int _{0}^{1}f{\bigl (}w+t(z-w){\bigr )}\cdot (z-w)\,dt\\&=\underbrace {\int _{0}^{1}f{\bigl (}w+t(z-w){\bigr )}\,dt} _{A(z):=}\cdot (z-w)\end{array}}}$

Durch Äquivalenzumformung "${\displaystyle :(z-w)}$" erhält man die Darstellung als Differenzenquotient.

${\displaystyle A(z)={\frac {F(z)-F(w)}{(z-w)}}}$

Da ${\displaystyle A}$ eine stetige Funktion in ${\displaystyle w}$ ist, gilt mit Übergang zum Grenzwertprozess ${\displaystyle z\to w}$:

${\displaystyle A(w)=\lim _{z\to w}\,A(z)=\lim _{z\to w}\,{\frac {F(z)-F(w)}{(z-w)}}=F'(w)}$

Dann ist ${\displaystyle A\colon G\to \mathbb {C} }$ stetig. Es folgt, dass ${\displaystyle F}$ in ${\displaystyle w\in G}$ differenzierbar mit

${\displaystyle F'(w)=A(w)=\int _{0}^{1}f(w)\,dt=f(w).}$

Da ${\displaystyle w\in G}$ beliebig war, folgt ${\displaystyle F'=f}$ und ${\displaystyle f}$ hat eine Stammfunktion, was wir zeigen wollten.

Sei nun ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to G}$ ein stückweise stetig differenzierbarer, geschlossener Weg. Dann ist

${\displaystyle {\begin{array}{rl}\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz&=\displaystyle \int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\\&=\displaystyle \int _{a}^{b}F'(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\\&=\displaystyle \int _{a}^{b}(F\circ \gamma )'(t)\,dt\\&=F(\gamma (b))-F(\gamma (a))=0\end{array}}}$

Sei nun ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to G}$ ein beliebiger Integrationweg in ${\displaystyle G}$. Wir wählen einen zweiten Weg ${\displaystyle {\widehat {\gamma }}\colon [a,b]\to G}$, mit gleichem Anfangs- und Endpunkt. Dann ist der ${\displaystyle \Gamma =\gamma -{\widehat {\gamma }}}$ ein geschlossener Weg und damit das Integral ${\displaystyle 0}$. Der Wert des Wegintegrals ist damit für ${\displaystyle \gamma }$ und ${\displaystyle {\widehat {\gamma }}}$ gleich.

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