Kurs:Lineare Algebra/Teil I/48/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine surjektive Abbildung

   ${\displaystyle f\colon L\longrightarrow M.}$

2. Eine Linearkombination in einem ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
3. Die Dualbasis zu einer gegebenen Basis ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ in einem ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
4. Ein Hauptideal in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
5. Eine Streckung auf einem ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
6. Die Dimension eines affinen Raumes ${\displaystyle {}E}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über den Basiswechsel.
2. Der Satz über isomorphe Vektorräume.
3. Der Satz über Eigenwerte zu einem Endomorphismus und einer Matrix.

Beurteile die Snookerweisheit „Ein Snookerspiel kann man in der ersten Session nicht gewinnen, aber verlieren“ vom logischen Standpunkt aus.

Illustriere die dritte binomische Formel durch eine geeignete geometrische Figur.

Lucy Sonnenschein befindet sich in Position ${\displaystyle {}(-2,3)\in \mathbb {Z} ^{2}}$ (die Koordinaten seien mit ${\displaystyle {}x}$ und ${\displaystyle {}y}$ bezeichnet) und schaut in die positive ${\displaystyle {}x}$-Richtung. Alle folgenden Angaben beziehen sich auf ihre jeweilige Position und ihre Ausrichtung, der Uhrzeigersinn bezieht sich auf die Draufsicht. Lucy führt hintereinander folgende Bewegungen aus. Sie macht einen Schritt nach rechts, dann zwei Schritte nach hinten, sie dreht sich um ${\displaystyle {}180}$ Grad, macht drei Schritte nach links, macht eine Vierteldrehung im Uhrzeigersinn, macht vier Schritte nach rechts und zwei Schritte nach hinten, dreht sich um ${\displaystyle {}360}$ Grad und macht einen Schritt nach links.

Wo befindet sie sich nach der Gesamtbewegung und in welche Richtung schaut sie?

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper mit zwei Elementen. Wie viele Teilmengen des ${\displaystyle {}K^{2}}$ mit zwei Elementen sind Untervektorräume, wie viele nicht?

Beweise den Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.

Wir betrachten die reelle Matrix

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}\,}$

und den Vektor

${\displaystyle {}v={\begin{pmatrix}1\\1\\2\\0\end{pmatrix}}\,.}$

a) Berechne die Bilder

${\displaystyle Mv,M^{2}v,M^{3}v,M^{4}v.}$

b) Zeige, dass ${\displaystyle {}v,Mv,M^{2}v,M^{3}v}$ eine Basis von ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{4}}$ ist.

c) Bestimme die beschreibende Matrix bezüglich der Basis aus b).

Es sei eine lineare Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}}$

mit

${\displaystyle \varphi {\begin{pmatrix}-2\\4\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}},\,\varphi {\begin{pmatrix}0\\3\\6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}{\text{ und }}\varphi {\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}}}$

gegeben. Berechne

${\displaystyle \varphi {\begin{pmatrix}4\\-6\\5\end{pmatrix}}.}$

Bestimme die inverse Matrix zu

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&0\\4&2&1\\0&0&3\end{pmatrix}}.}$

Beweise den Satz über die Dualbasis.

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}{\frac {2}{3}}&2&-1\\0&0&-1\\1&{\frac {1}{2}}&1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}2&4&-5\\1&1&0\\0&2&-{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}.}$

Betrachte die Permutation ${\displaystyle {}\tau \in S_{5}}$, die durch die Wertetabelle

${\displaystyle {}x}$	${\displaystyle {}1}$	${\displaystyle {}2}$	${\displaystyle {}3}$	${\displaystyle {}4}$	${\displaystyle {}5}$
${\displaystyle {}\tau (x)}$	${\displaystyle {}4}$	${\displaystyle {}1}$	${\displaystyle {}3}$	${\displaystyle {}5}$	${\displaystyle {}2}$

gegeben ist.

a) Berechne ${\displaystyle {}\tau ^{2}}$ und ${\displaystyle {}\tau ^{3}}$.

b) Bestimme die Fehlstände von ${\displaystyle {}\tau }$ und das Vorzeichen (Signum) von ${\displaystyle {}\tau }$.

Es sei ${\displaystyle {}z\in \mathbb {R} }$ eine reelle Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Es gibt ein Polynom ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} [X]}$, ${\displaystyle {}P\neq 0}$, mit ganzzahligen Koeffizienten und mit ${\displaystyle {}P(z)=0}$.
2. Es gibt ein Polynom ${\displaystyle {}Q\in \mathbb {Q} [X]}$, ${\displaystyle {}Q\neq 0}$, mit ${\displaystyle {}Q(z)=0}$.
3. Es gibt ein normiertes Polynom ${\displaystyle {}R\in \mathbb {Q} [X]}$ mit ${\displaystyle {}R(z)=0}$.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${\displaystyle {}10868}$ und ${\displaystyle {}9243}$.

Beweise den Satz von Cayley-Hamilton.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum und

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

eine lineare Abbildung. Es sei ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ ein ${\displaystyle {}\varphi }$- invarianter Unterraum von ${\displaystyle {}V}$. Zeige, dass zu einem Polynom ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ der Raum ${\displaystyle {}U}$ ebenfalls ${\displaystyle {}P(\varphi )}$-invariant ist.

Zeige, dass die komplexe Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&-1\end{pmatrix}}}$

nilpotent ist.

Beschreibe die affine Gerade

${\displaystyle {}G={\left\{{\begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}2\\2\\-5\end{pmatrix}}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}\,}$

als Urbild über ${\displaystyle {}(1,0)}$ einer affinen Abbildung ${\displaystyle {}\psi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$.