Kurs:Lineare Algebra/Teil II/15/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Standardskalarprodukt auf dem ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }^{n}}$.
2. Die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck.
3. Eine zyklische Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
4. Die Äquivalenzklasse zu einem Element ${\displaystyle {}x\in M}$ in einer Menge ${\displaystyle {}M}$ mit einer Äquivalenzrelation ${\displaystyle {}\sim }$.
5. Eine offene Menge in einem metrischen Raum ${\displaystyle {}M}$.
6. Den durch Körperwechsel ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ aus einem ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ gewonnenen ${\displaystyle {}L}$-Vektorraum.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Charakterisierungssatz für eine eigentliche Isometrie in der reellen Ebene.
2. Der Satz des Thales.
3. Der Satz über Tensorprodukte von Dualräumen.

Bestimme das orthogonale Komplement zu der von ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}5\\-3\\4\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}2\\4\\-7\end{pmatrix}}}$ erzeugten Ebene ${\displaystyle {}E\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$.

Der ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ sei mit der euklidischen Metrik versehen.

a) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man als Teilraum (mit der induzierten Metrik) des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$, aber nicht als Teilraum von ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ realisieren kann.

b) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man nicht als Teilraum des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ realisieren kann.

Es sei

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\\sin \alpha &-\cos \alpha \end{pmatrix}}\,}$

eine ebene Achsenspiegelung, ${\displaystyle {}\alpha \neq 0}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}-\sin \alpha \\\cos \alpha -1\end{pmatrix}}}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\cos \alpha -1\\\sin \alpha \end{pmatrix}}}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${\displaystyle {}-1}$ von ${\displaystyle {}M}$ ist.

Beweise den Satz, dass jede eigentliche Isometrie des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ einen Eigenvektor zum Eigenwert ${\displaystyle {}1}$ besitzt.

Betrachte den Vektorraum aller (geordneten, auch ausgearteten) Dreiecke im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$, es geht also um die Menge aller Tupel ${\displaystyle {}(A,B,C)\in (\mathbb {R} ^{2})^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}}$. Ist die Abbildung, die einem Dreieck seinen Umfang zuordnet, eine Norm?

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum und ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ eine symmetrische Bilinearform auf ${\displaystyle {}V}$.

a) Zeige, dass zu einem Untervektorraum ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ der Orthogonalraum von ${\displaystyle {}U}$ ein Untervektorraum von ${\displaystyle {}V}$ ist.

b) Zeige, dass der Orthogonalraum zum Gesamtraum ${\displaystyle {}V}$ gleich dem Ausartungsraum ${\displaystyle {}A}$ ist.

c) Zeige, dass der Orthogonalraum zum Ausartungsraum ${\displaystyle {}A}$ gleich ${\displaystyle {}V}$ ist.

Beweise den Trägheitssatz von Sylvester.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ und sei

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

ein normaler Endomorphismus. Zeige

${\displaystyle {}\operatorname {kern} \varphi =\operatorname {kern} {\hat {\varphi }}\,.}$

Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik

${\displaystyle 3x^{2}+2y^{2}+2xy-2yz.}$

Bestimme die Ordnung der Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1\\2&0\end{pmatrix}}}$

über dem Körper mit ${\displaystyle {}3}$ Elementen.

Bestimme die eigentliche Symmetriegruppe des Achsenkreuzes im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$.

Berechne für die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}}}$

die Maximumsnorm, wenn der ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ beidseitig mit der euklidischen Norm versehen ist.

Bestimme eine Formel für die Potenzen

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&1&0\\0&{\frac {1}{2}}&1\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}^{n}.}$

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorraum und

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

ein Endomorphismus. Es sei ${\displaystyle {}v\in V}$ derart, dass die Folge ${\displaystyle {}\varphi ^{n}(v)}$ konvergiert. Zeige, dass der Grenzvektor

${\displaystyle {}w:=\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi ^{n}(v)\,}$

der Nullvektor oder ein Eigenvektor von ${\displaystyle {}\varphi }$ zum Eigenwert ${\displaystyle {}1}$.

Berechne in ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{3}}$ das Tensorprodukt

${\displaystyle {\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}4\\-1\\-6\end{pmatrix}}.}$