Kurs:Lineare Algebra/Teil II/18/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Abstandsfunktion auf einem Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ über ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$ mit einem Skalarprodukt ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$.
2. Eine lineare Isometrie zwischen ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorräumen ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ mit Skalarprodukt.
3. Der adjungierte Endomorphismus zu einem Endomorphismus

   ${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

   auf einem endlichdimensionalen ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ mit Skalarprodukt.

4. Eine Untergruppe ${\displaystyle {}H}$ in einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
5. Die Stetigkeit einer Abbildung

   ${\displaystyle f\colon L\longrightarrow M}$

   zwischen metrischen Räumen ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}M}$ in einem Punkt ${\displaystyle {}x\in L}$.

6. Das Tensorprodukt zu einer Familie von ${\displaystyle {}K}$- Vektorräumen ${\displaystyle {}V_{1},\ldots ,V_{n}}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Charakterisierung von reellen Isometrien mit Matrizen.
2. Der Charakterisierungssatz für stabile Endomorphismen.
3. Der Satz über die Dimension des Tensorproduktes.

Zeige, dass ein normierter ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorraum durch

${\displaystyle {}d(u,v):=\Vert {u-v}\Vert \,}$

zu einem metrischen Raum wird.

1. Es ist ${\displaystyle {}d{\left(u,v\right)}=\Vert {u-v}\Vert =0}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}u-v=0}$, also ${\displaystyle {}u=v}$ ist.
2. Es ist

   ${\displaystyle {}{\begin{aligned}d{\left(u,v\right)}&=\Vert {u-v}\Vert \\&=\Vert {-1(v-u)}\Vert \\&=\vert {-1}\vert \cdot \Vert {v-u}\Vert \\&=d{\left(v,u\right)}.\end{aligned}}}$

3. Für beliebiges ${\displaystyle {}w\in V}$ ist nach der Definition einer Norm

   ${\displaystyle {}{\begin{aligned}d{\left(u,v\right)}&=\Vert {u-v}\Vert \\&\leq \Vert {u-w}\Vert +\Vert {w-v}\Vert \\&=d{\left(u,w\right)}+d{\left(w,v\right)}.\end{aligned}}}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ der Kreis in ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ mit Mittelpunkt ${\displaystyle {}(0,0)}$ und dem Radius ${\displaystyle {}1}$. Es sei ${\displaystyle {}P={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}}$ ein Punkt außerhalb des Kreises. Bestimme den Abstand zwischen ${\displaystyle {}K}$ und ${\displaystyle {}P}$, und in welchem Kreispunkt er angenommen wird.

Wir behaupten, dass der Abstand im Punkt ${\displaystyle {}Q={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}}$ angenommen wird. Aufgrund der Normierung handelt es sich um einen Punkt von ${\displaystyle {}K}$. Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein weiterer Punkt des Einheitskreises. Die Punkte ${\displaystyle {}0,Q,P}$ liegen auf einer Geraden, und da ${\displaystyle {}P}$ außerhalb des Kreises liegt, ist

${\displaystyle {}d(0,P)=d(0,Q)+d(Q,P)\,.}$

Aufgrund der Dreiecksungleichung ist

${\displaystyle {}d(0,R)+d(R,P)\geq d(0,P)\,,}$

und hierbei gilt sogar ${\displaystyle {}>}$, wenn die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen (siehe Aufgabe 31.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))). Somit ist für ${\displaystyle {}R\neq Q}$

${\displaystyle {}d(R,P)>d(Q,P)\,}$

(wenn ${\displaystyle {}R=-Q}$ der gegenüberliegende Punkt ist, so ist der Abstand erst recht größer).

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

${\displaystyle {}y=3x-2\,}$

gegebenen Geraden.

Der Einheitskreis ist durch

${\displaystyle {}x^{2}+y^{2}=1\,}$

gegeben. Darin setzen wir

${\displaystyle {}y=3x-2\,}$

ein und erhalten

${\displaystyle {}x^{2}+(3x-2)^{2}=10x^{2}-12x+4=1\,.}$

Also ist

${\displaystyle {}x^{2}-{\frac {6}{5}}x+{\frac {3}{10}}=0\,}$

und damit

${\displaystyle {}{\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {{\frac {6}{5}}\pm {\sqrt {{\left({\frac {6}{5}}\right)}^{2}-4\cdot {\frac {3}{10}}}}}{2}}\\&={\frac {{\frac {6}{5}}\pm {\sqrt {{\frac {36}{25}}-{\frac {6}{5}}}}}{2}}\\&={\frac {{\frac {6}{5}}\pm {\frac {1}{5}}{\sqrt {6}}}{2}}\\&={\frac {6\pm {\sqrt {6}}}{10}}.\end{aligned}}}$

Somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}y_{1,2}&=3\cdot {\frac {6\pm {\sqrt {6}}}{10}}-2\\&={\frac {-2\pm 3{\sqrt {6}}}{10}}.\end{aligned}}}$

Die Schnittpunkte sind also ${\displaystyle {}\left({\frac {6+{\sqrt {6}}}{10}},\,{\frac {-2+3{\sqrt {6}}}{10}}\right)}$ und ${\displaystyle {}\left({\frac {6-{\sqrt {6}}}{10}},\,{\frac {-2-3{\sqrt {6}}}{10}}\right)}$.

Beweise den Kosinussatz.

Es sei

${\displaystyle {}u={\overrightarrow {CB}}\,}$

und

${\displaystyle {}v={\overrightarrow {CA}}\,.}$

Dann ist

${\displaystyle {}w={\overrightarrow {AB}}=u-v\,.}$

Die Längen dieser Vektoren sind ${\displaystyle {}a,b,c}$. Somit gilt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}c^{2}&=\Vert {u-v}\Vert ^{2}\\&=\left\langle u-v,u-v\right\rangle \\&=\left\langle u,u\right\rangle +\left\langle v,v\right\rangle -2\left\langle u,v\right\rangle \\&=\Vert {u}\Vert ^{2}+\Vert {v}\Vert ^{2}-2\Vert {u}\Vert \cdot \Vert {v}\Vert \cos \gamma \\&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{aligned}}}$

Skizziere ein Dreieck, bei dem der Höhenschnittpunkt außerhalb des Dreiecks liegt.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ und es seien ${\displaystyle {}v,w}$ gleichgerichtete Beobachtervektoren. Zeige

${\displaystyle {}\left\langle v,w\right\rangle <0\,.}$

Wir können annehmen, dass ${\displaystyle {}v=e_{4}}$ und

${\displaystyle {}w=ae_{1}+be_{2}+ce_{3}+de_{4}\,}$

mit

${\displaystyle {}a^{2}+b^{2}+c^{2}-d^{2}=-1\,}$

ist. Wegen der Gleichgerichtetheit ist ${\displaystyle {}d>0}$. Somit ist

${\displaystyle {}\left\langle e_{4},w\right\rangle =\left\langle e_{4},ae_{1}+be_{2}+ce_{3}+de_{4}\right\rangle =-d<0\,.}$

Zeige, dass die folgende Relation eine Äquivalenzrelation auf ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ ist:

${\displaystyle x\sim y,{\text{ falls }}6{\text{ ein Teiler von }}x-y{\text{ ist}}.}$

Es ist ${\displaystyle {}6}$ ein Teiler von

${\displaystyle {}0=x-x\,,}$

daher ist ${\displaystyle {}x\sim x}$, was die Reflexivität bedeutet. Sei ${\displaystyle {}x\sim y}$. Dies bedeutet, dass ${\displaystyle {}6}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}x-y}$ ist, was wiederum bedeutet, dass

${\displaystyle {}x-y=6\cdot c\,}$

mit einem gewissen ${\displaystyle {}c\in \mathbb {Z} }$ ist. Durch Multiplikation mit ${\displaystyle {}-1}$ erhält man

${\displaystyle {}y-x=-(x-y)=6\cdot (-c)\,.}$

Also ist ${\displaystyle {}6}$ auch ein Teiler von ${\displaystyle {}y-x}$ und somit ist ${\displaystyle {}y\sim x}$, was insgesamt die Symmetrie bedeutet. Zum Nachweis der Transitivität seien schließlich ${\displaystyle {}x\sim y}$ und ${\displaystyle {}y\sim z}$. Somit ist

${\displaystyle {}x-y=6c\,}$

und

${\displaystyle {}y-z=6d\,}$

mit gewissen ${\displaystyle {}c,d\in \mathbb {Z} }$. Insgesamt ergibt sich

${\displaystyle {}x-z=(x-y)+(y-z)=6c+6d=6(c+d)\,,}$

sodass auch ${\displaystyle {}x-z}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}6}$ ist. Also ist ${\displaystyle {}x\sim z}$.

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\longrightarrow \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)},\,{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}8x-4y+14z-7w&-28x+16y-49z+28w\\2x-y+4z-2w&-7x+4y-14z+8w\end{pmatrix}}.}$

Zeige, dass es sich dabei um einen inneren Automorphismus handelt.

Die inverse Matrix zu ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}4&7\\1&2\end{pmatrix}}}$ ist ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}2&-7\\-1&4\end{pmatrix}}}$. Mit dieser Matrix ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}4&7\\1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-7\\-1&4\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}4x+7z&4y+7w\\x+2z&y+2w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-7\\-1&4\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}8x+14z-4y-7w&-28x-49z+16y+28w\\2x+4z-y-2w&-7x-14z+4y+8w\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}8x-4y+14z-7w&-28x+16y-49z+28w\\2x-y+4z-2w&-7x+4y-14z+8w\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

somit handelt es sich um eine Konjugation mit einer invertierbaren Matrix.

Wie viele Elemente besitzt die von der Drehung um ${\displaystyle {}45}$ Grad, von der Drehung um ${\displaystyle {}99}$ Grad und von der Zwölfteldrehung erzeugte Untergruppe der Drehgruppe ${\displaystyle {}\operatorname {SO} _{2}}$?

Wir schreiben die Drehungen als Teildrehungen einer Volldrehung, also

${\displaystyle {\frac {45}{360}}={\frac {1}{8}},\,{\frac {99}{360}}={\frac {11}{40}},\,{\frac {1}{12}}.}$

${\displaystyle {}120}$

${\displaystyle {\frac {15}{120}},\,{\frac {33}{120}},\,{\frac {10}{120}}.}$

Jede dieser Drehungen ist ein Vielfaches der ${\displaystyle {}{\frac {1}{120}}}$-Drehung. Andererseits sind die Zahlen ${\displaystyle {}15,33}$ und ${\displaystyle {}10}$ teilerfremd, sodass es eine Darstellung der ${\displaystyle {}1}$ gibt. Daher ist die von den drei Drehungen erzeugte Untergruppe genau die von der ${\displaystyle {}{\frac {1}{120}}}$-Drehung erzeugte Untergruppe und enthält daher ${\displaystyle {}120}$ Elemente.

Zeige, dass die Diedergruppen ${\displaystyle {}D_{n}}$, ${\displaystyle {}n\geq 3}$, nicht kommutativ sind.

Wir realisieren die Diedergruppe ${\displaystyle {}D_{n}}$ als Symmetriegruppe einer Doppelpyramide über einem regelmäßigen ${\displaystyle {}n}$-Eck in der ${\displaystyle {}x-y}$-Ebene, wobei ${\displaystyle {}(1,0,0)}$ ein Eckpunkt sei. Die Drehungen des ${\displaystyle {}n}$-Ecks sind.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

mit

${\displaystyle {}\alpha ={\frac {k2\pi }{n}}\,}$

für

${\displaystyle {}k=0,1,2,\ldots ,n-1\,}$

und die Halbdrehung um die ${\displaystyle {}x}$-Achse, die durch

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}}$

beschrieben wird, gehört auch zur Gruppe. Es ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &-\cos \alpha &0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,}$

und

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\\sin \alpha &-\cos \alpha &0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,.}$

Die Produkte stimmen genau dann überein, wenn

${\displaystyle {}\sin \alpha =-\sin \alpha \,}$

ist, was

${\displaystyle {}\sin \alpha =0\,,}$

also

${\displaystyle {}\alpha =0,\pi \,}$

bedeutet. Bei ${\displaystyle {}n\geq 3}$ ist aber nicht jeder Drehwinkel von dieser Form.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring in der einen Variablen ${\displaystyle {}X}$ über ${\displaystyle {}K}$ und ${\displaystyle {}Q=K(X)}$ der Quotientenkörper davon, also der Körper der rationalen Funktionen. Auf ${\displaystyle {}Q}$ definieren wir die Relation

${\displaystyle {}f\sim g\,,}$

wenn es Polynome ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$ vom gleichen Grad ${\displaystyle {}\geq 1}$ mit

${\displaystyle {}g={\frac {R}{S}}f\,}$

gibt.

a) Zeige, dass durch ${\displaystyle {}\sim }$ eine Äquivalenzrelation gegeben ist.

b) Bestimme die Äquivalenzklasse zu ${\displaystyle {}0}$.

c) Es seien ${\displaystyle {}A,B,C,D\in K[X]}$ Polynome ${\displaystyle {}\neq 0}$. Zeige, dass

${\displaystyle {}{\frac {A}{B}}\sim {\frac {C}{D}}\,}$

genau dann gilt, wenn

${\displaystyle {}\operatorname {grad} \,(A)-\operatorname {grad} \,(B)=\operatorname {grad} \,(C)-\operatorname {grad} \,(D)\,.}$

d) Zeige, dass jedes ${\displaystyle {}f\in Q}$, ${\displaystyle {}f\neq 0}$, einen eindeutig bestimmten Repräsentanten der Form ${\displaystyle {}X^{n}}$ mit ${\displaystyle {}n\in \mathbb {Z} }$ besitzt.

Berechne für die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}}}$

die Maximumsnorm, wenn der ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ als Definitionsraum mit der euklidischen Norm und als Zielraum mit der Summennorm versehen ist.

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+2y\\4x+3y\end{pmatrix}}\,.}$

Die Maximumsnorm ist das Maximum der Summe der Beträge der beiden Einträge, also ${\displaystyle {}\vert {x+2y}\vert +\vert {4x+3y}\vert }$ für die Menge

${\displaystyle {}{\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mid \,\mid \mid \!{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\!\mid \mid _{\operatorname {euk} }\leq 1\right\}}={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}\,.}$

Das Maximum wird auf dem Ausschnitt des Randes mit ${\displaystyle {}x,y\geq 0}$ und ${\displaystyle {}x^{2}+y^{2}=1}$ angenommen, es geht um das Maximum der Funktion

${\displaystyle {}h(x)=5x+5{\sqrt {1-x^{2}}}\,}$

auf ${\displaystyle {}[0,1]}$. Das Maximum wird im Punkt ${\displaystyle {}({\frac {1}{\sqrt {2}}},{\frac {1}{\sqrt {2}}})}$ mit dem Wert ${\displaystyle {}{\frac {10}{\sqrt {2}}}}$. Dies ist also die Maximumsnorm der Matrix.

Erstelle die Adjazenzmatrix und die stochastische Matrix zum angegebenen gerichteten Graphen, wobei es für jeden Punkt auch einen Pfeil auf sich selbst gebe.

Die Adjazenzmatrix zum Graphen ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&0&1&0&0\\1&1&1&1&0\\1&0&1&1&1\end{pmatrix}}}$

und die spaltenstochastisch gemachte Adjazenzmatrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{5}}&0&0&0&0\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{2}}&0&0&0\\{\frac {1}{5}}&0&{\frac {1}{3}}&0&0\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{2}}&0\\{\frac {1}{5}}&0&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{2}}&1\end{pmatrix}}.}$

Es seien ${\displaystyle {}V,W}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum und

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ von ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}w_{1},\ldots ,w_{m}}$ von ${\displaystyle {}W}$ durch die Matrix ${\displaystyle {}M}$ beschrieben werde. Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine Körpererweiterung. Zeige, dass die ${\displaystyle {}L}$-lineare Abbildung

${\displaystyle \varphi _{L}\colon V_{L}\longrightarrow W_{L}}$

bezüglich der ${\displaystyle {}L}$-Basen ${\displaystyle {}1\otimes v_{1},\ldots ,1\otimes v_{n}}$ von ${\displaystyle {}V_{L}}$ und ${\displaystyle {}1\otimes w_{1},\ldots ,1\otimes w_{m}}$ von ${\displaystyle {}W_{L}}$ ebenfalls durch die Matrix ${\displaystyle {}M}$ beschrieben wird.