Kurs:Lineare Algebra/Teil II/25/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Orthonormalbasis in einem ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorraum mit Skalarprodukt.
2. Der Schwerpunkt zu einer Menge von ${\displaystyle {}n}$ Punkten ${\displaystyle {}P_{1},\ldots ,P_{n}}$ in einem affinen Raum ${\displaystyle {}E}$.
3. Eine symmetrische Bilinearform auf einem reellen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
4. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen ${\displaystyle {}(G,\circ ,e_{G})}$ und ${\displaystyle {}(H,\circ ,e_{H})}$.
5. Eine abgeschlossene Menge ${\displaystyle {}A\subseteq M}$ in einem metrischen Raum ${\displaystyle {}M}$.
6. Der Spektralradius zu einem Endomorphismus

   ${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

   auf einem endlichdimensionalen ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren.
2. Der Satz über die Struktur winkeltreuer Abbildungen auf einem euklidischen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
3. Der Spektralsatz für normale Endomorphismen auf einem komplexen Vektorraum.

Bestimme eine Basis für das orthogonale Komplement zu ${\displaystyle {}U={\begin{pmatrix}5\\3\\6\end{pmatrix}}\mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} ^{3}}$.

Bestimme diejenigen Vektoren im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$, deren euklidische Norm gleich ${\displaystyle {}1}$ und deren Maximumsnorm gleich ${\displaystyle {}{\frac {4}{5}}}$ ist.

Beweise den Satz über die eigentlichen Isometrien in der reellen Ebene.

Es sei ein (nichtausgeartetes) Dreieck und eine Gerade ${\displaystyle {}G}$ in der Ebene gegeben, wobei die Geradedurch keinen Eckpunkt des Dreiecks verläuft. Zeige mit Hilfe von baryzentrischen Koordinaten, dass die Gerade höchstens zwei Seiten des Dreiecks trifft.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}n}$- dimensionaler reeller Vektorraum und ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ eine symmetrische Bilinearform auf ${\displaystyle {}V}$. Zeige (ohne den Trägheitssatz von Sylvester), dass die Bilinearform genau dann nicht ausgeartet ist, wenn sie vom Typ ${\displaystyle {}(p,n-p)}$ (mit einem ${\displaystyle {}p\in {\{1,\ldots ,n\}}}$) ist.

Bringe das reelle quadratische Polynom

${\displaystyle X^{2}-4Y^{2}+6XY+2}$

auf eine Standardgestalt.

Wir nennen zwei Flüsse in Europa äquivalent, wenn sie letztlich in das gleiche Meer entwässern, wobei wir die Einteilungen der Karte übernehmen.

1. Wie viele Äquialenzklassen gibt es?
2. Ist der Rhein zur Donau äquivalent?
3. Ist die Hase zur Themse äquivalent?
4. Man gebe zwei Repräsentanten für die Äquivalenzklasse Ostsee an.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine endliche Gruppe. Zeige, dass jedes Element ${\displaystyle {}g\in G}$ eine endliche Ordnung besitzt, und dass die Potenzen

${\displaystyle g^{0}=e_{G},\,g^{1}=g,\,g^{2},\ldots ,g^{\operatorname {ord} \,(g)-1}}$

alle verschieden sind.

Beweise die numerische Bedingung für endliche Symmetriegruppen im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$.

Berechne für die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}}}$

die Maximumsnorm, wenn der ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ beidseitig mit der Maximumsnorm versehen ist.

Es seien ${\displaystyle {}U_{1}\subseteq V_{1},U_{2}\subseteq V_{2},\ldots ,U_{n}\subseteq V_{n}}$ Untervektorräume mit den Restklassenräumen ${\displaystyle {}V_{1}/U_{1},\ldots ,V_{n}/U_{n}}$. Gibt es eine kanonische Isomorphie

${\displaystyle {}(V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n})/(U_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}U_{n})\cong (V_{1}/U_{1})\otimes _{}\cdots \otimes _{}(V_{n}/U_{n})\,?}$