Kurs:Lineare Algebra/Teil II/7/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Norm zu einem Skalarprodukt ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ auf einem ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
2. Der Höhenfußpunkt zu einer Seite in einem Dreieck in der euklidischen Ebene.
3. Der Ausartungsraum zu einer symmetrischen Bilinearform ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ auf einen ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
4. Ein Ringhomomorphismus

   ${\displaystyle \varphi \colon R\longrightarrow S}$

   zwischen Ringen ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$.

5. Ein asymptotisch stabiler Endomorphismus

   ${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

   auf einem endlichdimensionalen ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.

6. Ein Unterkörper ${\displaystyle {}K}$ eines Körpers ${\displaystyle {}L}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beschreibung von eigentlichen Isometrien im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$.
2. Der Trägheitssatz von Sylvester.
3. Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).

Beweise die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung.

Was bedeutet die Polarisationsformel für ein reelles Skalarprodukt für die Multiplikation von reellen Zahlen?

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}}$

des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ an.

Berechne das Kreuzprodukt

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-4\\6\\-5\end{pmatrix}}}$

im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$.

a) Man gebe zwei zweielementige Mengen ${\displaystyle {}A=\{P_{1},P_{2}\}}$ und ${\displaystyle {}B=\{Q_{1},Q_{2}\}}$ in der euklidischen Ebene an derart, dass die Abstände ${\displaystyle {}d(P_{i},Q_{j})}$ für alle ${\displaystyle {}i,j}$ gleich sind.

b) Zeige, dass es in der euklidischen Ebene keine zweielementige Menge ${\displaystyle {}A=\{P_{1},P_{2}\}}$ und keine dreielementige Menge ${\displaystyle {}B=\{Q_{1},Q_{2},Q_{3}\}}$ derart gibt, dass die Abstände ${\displaystyle {}d(P_{i},Q_{j})}$ für alle ${\displaystyle {}i,j}$ gleich sind.

c) Zeige, dass es im euklidischen Raum eine zweielementige Menge ${\displaystyle {}A=\{P_{1},P_{2}\}}$ und, zu jedem ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$, eine ${\displaystyle {}n}$-elementige Menge ${\displaystyle {}B=\{Q_{1},Q_{2},\ldots ,Q_{n}\}}$ derart gibt, dass die Abstände ${\displaystyle {}d(P_{i},Q_{j})}$ für alle ${\displaystyle {}i,j}$ gleich sind.

d) Zeige, dass es im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{4}}$ zu vorgegebenen ${\displaystyle {}m,n\in \mathbb {N} _{+}}$ eine ${\displaystyle {}m}$-elementige Teilmenge ${\displaystyle {}A=\{P_{1},P_{2},\ldots ,P_{m}\}}$ und eine ${\displaystyle {}n}$-elementige Teilmenge ${\displaystyle {}B=\{Q_{1},Q_{2},\ldots ,Q_{n}\}}$ derart gibt, dass die Abstände ${\displaystyle {}d(P_{i},Q_{j})}$ für alle ${\displaystyle {}i,j}$ gleich sind.

Zeige, dass in einem Dreieck das Verhältnis zwischen dem Umkreisradius und dem Inkreisradius stets größergleich ${\displaystyle {}2:1}$ ist. Verwende dabei die Beschreibungen

${\displaystyle {}R={\frac {abc}{4A}}\,}$

für den Umkreisradius und

${\displaystyle {}r={\frac {A}{s}}\,}$

für den Inkreisradius. Dabei bezeichnen ${\displaystyle {}a,b,c}$ die Längen der Dreiecksseiten und wir setzen

${\displaystyle {}s={\frac {a+b+c}{2}}\,}$

(also der halbe Umfang) und

${\displaystyle {}A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,}$

(das ist der Flächeninhalt).

Es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ euklidische Vektorräume und ${\displaystyle {}\varphi \colon V\rightarrow V}$ ein Endomorphismus mit adjungiertem Endomorphismus ${\displaystyle {}{\hat {\varphi }}}$. Es sei ${\displaystyle {}\psi \colon V\rightarrow W}$ eine Isometrie. Zeige, dass der adjungierte Endomorphismus zu

${\displaystyle \psi \circ \varphi \circ \psi ^{-1}\colon W\longrightarrow W}$

gleich ${\displaystyle {}\psi \circ {\hat {\varphi }}\circ \psi ^{-1}}$ ist.

Es seien ${\displaystyle {}a,b,c,d}$ reelle Zahlen mit ${\displaystyle {}ad-bc=1}$. Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\longrightarrow \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)},\,{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}adx-acy+bdz-bcw&-abx+a^{2}y-b^{2}z+abw\\cdx-c^{2}y+d^{2}z-cdw&-bcx+acy-bdz+adw\end{pmatrix}}}$

ein innerer Automorphismus ist.

Es seien ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$ Mengen und sei ${\displaystyle {}f\colon M\rightarrow N}$ eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung

${\displaystyle {}x\sim y\,,}$

wenn

${\displaystyle {}f(x)=f(y)\,,}$

eine Äquivalenzrelation auf ${\displaystyle {}M}$ definiert wird.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}h\in R}$. Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle R\longrightarrow R,\,f\longmapsto hf,}$

ein Gruppenhomomorphismus ist. Beschreibe das Bild und den Kern dieser Abbildung.

Die zyklische Gruppe ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(24)}$, die Diedergruppe ${\displaystyle {}D_{12}}$ und die Würfelgruppe ${\displaystyle {}W\cong S_{4}}$ besitzen ${\displaystyle {}24}$ Elemente und treten als endliche eigentliche Symmetriegruppe im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ auf. Begründe, dass diese Gruppen untereinander nicht isomorph sind.

Berechne für die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}}}$

die Maximumsnorm, wenn der ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ beidseitig mit der Summennorm versehen ist.

Man gebe ein Beispiel für eine spaltenstochastische Matrix derart, dass die Folge der Potenzen ${\displaystyle {}M^{n}}$ nicht konvergiert.

Es seien ${\displaystyle {}V,W}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum und

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ von ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}w_{1},\ldots ,w_{m}}$ von ${\displaystyle {}W}$ durch die Matrix ${\displaystyle {}M}$ beschrieben werde. Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine Körpererweiterung. Zeige, dass die ${\displaystyle {}L}$-lineare Abbildung

${\displaystyle \varphi _{L}\colon V_{L}\longrightarrow W_{L}}$

bezüglich der ${\displaystyle {}L}$-Basen ${\displaystyle {}1\otimes v_{1},\ldots ,1\otimes v_{n}}$ von ${\displaystyle {}V_{L}}$ und ${\displaystyle {}1\otimes w_{1},\ldots ,1\otimes w_{m}}$ von ${\displaystyle {}W_{L}}$ ebenfalls durch die Matrix ${\displaystyle {}M}$ beschrieben wird.