Kurs:Maß- und Integrationstheorie/5/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Borelmenge in einem topologischen Raum ${\displaystyle {}(X,{\mathcal {T}})}$.
2. Das Produktmaß ${\displaystyle {}\mu _{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}\mu _{n}}$ zu ${\displaystyle {}\sigma }$- endlichen Maßräumen ${\displaystyle {}(M_{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n},\mu _{n})}$.
3. Das Lebesgue-Integral zu einer messbaren nichtnegativen Funktion ${\displaystyle {}f\colon M\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}}$ auf einem ${\displaystyle {}\sigma }$- endlichen Maßraum ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )}$.
4. Der Kegel zu einer Basismenge ${\displaystyle {}B\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ und einem Punkt ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{n+1}}$.
5. Ein überdeckungskompakter topologischer Raum.
6. Ein vollständiges Orthonormalsystem (oder eine Hilbertbasis) in einem ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ mit Skalarprodukt.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über das Borel-Lebesgue-Maß auf ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$.
2. Die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion

   ${\displaystyle f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$

   auf einem ${\displaystyle {}\sigma }$-endlichen Maßraum ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )}$.
3. Der Charakterisierungssatz für einen kompakten metrischen Raum.

Zu jeder rationalen Zahl ${\displaystyle {}q\in \mathbb {Q} }$ sei ein Intervall ${\displaystyle {}[a_{q},b_{q}]}$ derart gegeben, dass ${\displaystyle {}q}$ in dessen Innern liegt, also ${\displaystyle {}q\in {]a_{q},b_{q}[}}$. Ist

${\displaystyle {}\bigcup _{q\in \mathbb {Q} }[a_{q},b_{q}]=\mathbb {R} \,?}$

Das muss nicht sein. Sei

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow \mathbb {Q} }$

eine Bijektion zwischen den positiven natürlichen und den rationalen Zahlen. Zur rationalen Zahl ${\displaystyle {}\varphi (n)}$ definieren wir das umgebende Intervall durch ${\displaystyle {}]\varphi (n)-{\frac {1}{n^{2}}},\varphi (n)+{\frac {1}{n^{2}}}[}$. Diese Intervalle haben die Länge ${\displaystyle {}{\frac {2}{n^{2}}}}$ und daher ist dieSumme ihrer Längen,also ${\displaystyle {}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}{\frac {2}{n^{2}}}}$, beschränkt nach Beispiel *****. Wegen der ${\displaystyle {}\sigma }$-Additivität des Borel-Lebesgue-Maßes kann diese Intervallfamilie nicht ganz ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ überdecken.

Zeige, dass stetige Abbildungen Borel-messbar sind.

Nach Definition bedeutet die Stetigkeit, dass das Urbild ${\displaystyle {}\varphi ^{-1}(V)}$ von jeder offenen Menge ${\displaystyle {}V\subseteq Y}$ offen in ${\displaystyle {}X}$ ist. Nach Definition ist das Mengensystem der offenen Mengen einer Topologie ein Erzeugendensystem für die Algebra der Borelmengen. Nach Fakt ***** ist somit ${\displaystyle {}\varphi }$ messbar.

Es seien ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$ zwei abzählbare Mengen, die beide mit der ${\displaystyle {}\sigma }$- Algebra aller Teilmengen und mit dem Zählmaß (genannt ${\displaystyle {}\mu }$ bzw. ${\displaystyle {}\nu }$) versehen seien.

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$ ${\displaystyle {}\sigma }$- endliche Maßräume sind.

b) Zeige, dass das Produktmaß ${\displaystyle {}\mu \otimes \nu }$ auf ${\displaystyle {}M\times N}$ ebenfalls das Zählmaß ist.

a) Wenn ${\displaystyle {}M}$ leer ist, so ist nichts zu zeigen. Es sei

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow M}$

surjektiv. Dann ist ${\displaystyle {}M_{n}:=\{\varphi (0),\ldots ,\varphi (n)\}}$ eine Ausschöpfung von ${\displaystyle {}M}$ mit endlichen Mengen, die daher endliches (Zähl-)maß besitzen.

b) Das Produktmaß auf ${\displaystyle {}M\times N}$ ist dadurch gekennzeichnet, dass es auf Quadern ${\displaystyle {}S\times T}$ zu Seiten ${\displaystyle {}S}$ und ${\displaystyle {}T}$ mit endlichem Maß das Produkt ${\displaystyle {}\mu (S)\cdot \nu (T)}$ als Wert besitzt. Für einen Punkt ${\displaystyle {}P=(x,y)}$ ist ${\displaystyle {}\{P\}=\{x\}\times \{y\}}$ und daher ist

${\displaystyle {}\mu \otimes \nu (\{P\})=\mu (\{x\})\cdot \nu (\{y\})=1\cdot 1=1\,.}$

Wegen der Abzählbarkeit von ${\displaystyle {}M\times N}$ ist dadurch das Produktmaß festgelegt und gleich dem Zählmaß auf der Produktmenge.

Die rechteckige Grundseite (Unterseite) eines Bootes (unter Wasser) habe die Breite ${\displaystyle {}2{\rm {m}}}$ und die Länge ${\displaystyle {}10{\rm {m}}}$, die (ebenfalls rechteckige) Deckseite (Oberseite) habe die Breite ${\displaystyle {}3{\rm {m}}}$ und die Länge ${\displaystyle {}12{\rm {m}}}$, wobei die Seiten parallel zueinander seien und den Abstand ${\displaystyle {}2{\rm {m}}}$ besitzen. Die vier übrigen Seiten seien ebene Verbindungen zwischen Ober- und Unterseite. Das Boot wiegt mit Besatzung, aber ohne Ladung ${\displaystyle {}12.000{\rm {kg}}}$. Der Tiefgang des Bootes soll maximal ${\displaystyle {}1,5{\rm {m}}}$ betragen. Mit welcher Masse kann das Boot maximal beladen werden?

Wir berechnen zuerst die Länge und die Breite der Querschnittsebene des Bootes zu einer Höhe ${\displaystyle {}h}$ über der Grundseite. Für die Länge gilt

${\displaystyle {}L(h)=h+10\,,}$

da die Abhängigkeit von der Höhe linear ist. Für die Breite gilt

${\displaystyle {}B(h)={\frac {1}{2}}h+2\,.}$

Daher ist der Flächeninhalt der Querschnittsfläche gleich

${\displaystyle {}Q(h)=L(h)\cdot B(h)={\left(h+10\right)}{\left({\frac {1}{2}}h+2\right)}={\frac {1}{2}}h^{2}+7h+20\,}$

Nach dem Cavalieri-Prinzip ist daher das Volumen (in Kubikmetern) des Bootes von der Grundseite bis zur Höhe ${\displaystyle {}g}$ gleich

${\displaystyle {}V(g)=\int _{0}^{g}{\frac {1}{2}}h^{2}+7h+20\,dh={\frac {1}{6}}g^{3}+{\frac {7}{2}}g^{2}+20g\,.}$

Für ${\displaystyle {}g=1{,}5}$ ergibt sich

${\displaystyle {}{\begin{aligned}V(1{,}5)&={\frac {1}{6}}\cdot 1{,}5^{3}+{\frac {7}{2}}\cdot 1{,}5^{2}+20\cdot 1{,}5\\&=0{,}25\cdot 2{,}25+{\frac {7}{2}}\cdot 2{,}25+30\\&=0{,}5625+7{,}875+30\\&=38{,}4375\end{aligned}}}$

in Kubikmetern. Der Auftrieb ist gleich dem Gewicht des verdrängten Wasservolumens. Also darf das Schiff maximal ${\displaystyle {}38{,}4375}$ Tonnen wiegen, sodass es eine Ladung von ${\displaystyle {}26{,}4375}$ Tonnen befördern kann.

Berechne das Volumen des von den drei Vektoren

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2\\0\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\5\\-1\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}7\\7\\1\end{pmatrix}}}$

im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ erzeugten Parallelotops.

Das Parallelotop ist das Bild des Einheitswürfels unter der durch die Matrix

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}2&4&7\\0&5&7\\-3&-1&1\end{pmatrix}}}$

gegebenen linearen Abbildung. Nach Satz 7.2 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) ist sein Volumen gleich dem Betrag der Determinante dieser Matrix. Wir berechnen die Determinante mittels der Regel von Sarrus, d.h. wir betrachten

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&4&7&2&4\\0&5&7&0&5\\-3&-1&1&-3&-1\end{pmatrix}}.}$

Daher ist

${\displaystyle {}\det M=10-84+105+14=129-84=45\,.}$

Das Volumen ist also ${\displaystyle {}45}$.

Zeige, dass das Borel-Lebesgue-Maß das einzige translationsinvariante Maß auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ ist, das für den Einheitswürfel den Wert ${\displaystyle {}1}$ besitzt.

Das Borel-Lebesgue-Maß ${\displaystyle {}\lambda ^{n}}$ erfüllt nach Fakt ***** diese Bedingungen. Es sei ${\displaystyle {}\mu }$ ein solches Maß. Nach Fakt ***** ist es egal, ob diese Bedingung an den abgeschlossenen, den offenen oder einen halboffenen Einheitswürfel gestellt wird. Wir werden durchgehend mit rechtsseitig offenen Quadern arbeiten. Da der ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ durch abzählbar viele Verschiebungen des Einheitswürfels überdeckt wird, die wegen der Translationsinvarianz von ${\displaystyle {}\mu }$ alle das gleiche Maß besitzen, ist ${\displaystyle {}\mu }$ ${\displaystyle {}\sigma }$- endlich. Wir müssen zeigen, dass ${\displaystyle {}\mu }$ mit ${\displaystyle {}\lambda ^{n}}$ übereinstimmt, wobei es aufgrund des Eindeutigkeitssatzes genügt, die Gleichheit auf einem durchschnittsstabilen Erzeugendensystem für die Borelmengen nachzuweisen. Ein solches System bilden die Quader der Form ${\displaystyle {}[a_{1},b_{1}[\times \cdots \times [a_{n},b_{n}[}$ mit rationalen Ecken. Wegen der Translationsinvarianz von ${\displaystyle {}\mu }$ besitzt ein solcher Quader das gleiche Maß wie der verschobene Quader ${\displaystyle {}[0,b_{1}-a_{1}[\times \cdots \times [0,b_{n}-a_{n}[}$. Wir schreiben einen solchen Quader unter Verwendung eines Hauptnenners als ${\displaystyle {}Q=[0,{\frac {c_{1}}{m}}[\times \cdots \times [0,{\frac {c_{n}}{m}}[}$ mit ${\displaystyle {}m,c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {N} }$. Dieser Quader setzt sich disjunkt aus ${\displaystyle {}c_{1}\cdots c_{n}}$ Quadern (nämlich ${\displaystyle {}[{\frac {i_{1}}{m}},{\frac {i_{1}+1}{m}}[\times \cdots \times [{\frac {i_{n}}{m}},{\frac {i_{n}+1}{m}}[}$ mit ${\displaystyle {}i_{j}\in \{0,\ldots ,c_{j}-1\}}$) zusammen, die alle das gleiche ${\displaystyle {}\mu }$-Maß haben, da sie ineinander verschoben werden können. Das ${\displaystyle {}\mu }$-Maß des Quaders ${\displaystyle {}Q}$ ist also das ${\displaystyle {}c_{1}\cdots c_{n}}$-fache des ${\displaystyle {}\mu }$-Maßes des Quaders ${\displaystyle {}{\tilde {Q}}=[0,{\frac {1}{m}}[\times \cdots \times [0,{\frac {1}{m}}[}$. Da sich der Einheitswürfel aus ${\displaystyle {}m^{n}}$ verschobenen Kopien dieses kleineren Würfels zusammensetzt, muss ${\displaystyle {}\mu ({\tilde {Q}})={\frac {1}{m^{n}}}}$ und damit

${\displaystyle {}\mu (Q)=c_{1}\cdots c_{n}\cdot {\frac {1}{m^{n}}}=\lambda ^{n}(Q)\,}$

sein.

Es sei ${\displaystyle {}Z}$ der Zylinder um die ${\displaystyle {}x}$-Achse und ${\displaystyle {}W}$ der Zylinder um die ${\displaystyle {}z}$-Achse, beide zum Radius ${\displaystyle {}1}$. Bestimme das Volumen des Durchschnitts ${\displaystyle {}Z\cap W}$.

Es ist

${\displaystyle {}Z={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}}\,}$

und

${\displaystyle {}W={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}T=Z\cap W={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid y^{2}+z^{2}\leq 1{\text{ und }}x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}\,.}$

Wir bestimmen den Flächeninhalt des Querschnitts von ${\displaystyle {}T}$ zu ${\displaystyle {}x}$ zwischen ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}1}$. Der Querschnitt ist

${\displaystyle {}T(x)={\left\{(y,z)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y^{2}+z^{2}\leq 1{\text{ und }}\vert {y}\vert \leq {\sqrt {1-x^{2}}}\right\}}\,.}$

Bei fixiertem ${\displaystyle {}y}$ (neben dem fixierten ${\displaystyle {}x}$) läuft ${\displaystyle {}z}$ zwischen ${\displaystyle {}-{\sqrt {1-y^{2}}}}$ und ${\displaystyle {}{\sqrt {1-y^{2}}}}$. Der Flächeninhalt von ${\displaystyle {}T(x)}$ ist durch

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\lambda ^{2}(T(x))&=2\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}dy\\&={\left(y\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}-\arccos y\right)}_{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}\\&={\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-{\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)}^{2}}}-\arccos {\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)}+{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-{\left(-{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}^{2}}}+\arccos {\left(-{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}\\&=2x{\sqrt {1-x^{2}}}-2\arccos {\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)}+\pi \\&=2x{\sqrt {1-x^{2}}}-2\arcsin x+\pi .\,\end{aligned}}}$

Eine Stammfunktion dazu ist

${\displaystyle -{\frac {2}{3}}{\left(1-x^{2}\right)}^{3/2}-2x\arcsin x-2{\sqrt {1-x^{2}}}+\pi x.}$

Somit ist das Volumen von ${\displaystyle {}T}$ gleich

${\displaystyle {}{\begin{aligned}2\int _{0}^{1}2x{\sqrt {1-x^{2}}}-2\arcsin x+\pi dx&=2{\left(-{\frac {2}{3}}{\left(1-x^{2}\right)}^{3/2}-2x\arcsin x-2{\sqrt {1-x^{2}}}+\pi x\right)}_{0}^{1}\\&=2{\left(-2{\frac {\pi }{2}}+\pi +{\frac {2}{3}}+2\right)}\\&={\frac {16}{3}}.\,\end{aligned}}}$

Berechne das Integral zur Funktion

${\displaystyle {}f(r,s,t)=rst+t\sin s\,}$

über dem Einheitswürfel ${\displaystyle {}W=[0,1]^{3}}$.

Aufgrund des Satzes von Fubini ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{W}rst+t\sin s\,d\lambda ^{3}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left(rst+t\sin s\right)}drdsdt\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{2}}r^{2}st+rt\sin s\right)}|_{0}^{1}dsdt\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{2}}st+t\sin s\right)}dsdt\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{4}}s^{2}t-t\cos s\right)}|_{0}^{1}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{4}}t-t\cos 1+t\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left({\left({\frac {5}{4}}-\cos 1\right)}t\right)}dt\\&={\left({\frac {1}{2}}{\left({\frac {5}{4}}-\cos 1\right)}t^{2}\right)}|_{0}^{1}\\&={\frac {5}{8}}-{\frac {1}{2}}\cos 1.\end{aligned}}}$

Beweise die Formel für das Fehlerintegral, also

${\displaystyle {}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,,}$

mit Hilfe von Polarkoordinaten.

Durch eine einfache Substitution ist die Aussage äquivalent zu

${\displaystyle {}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt=1\,.}$

Nennen wir dieses Integral ${\displaystyle {}I}$. Nach

Korollar 13.2 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) ist

${\displaystyle {}I^{2}={\left(\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt\right)}\cdot {\left(\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt\right)}=\int _{\mathbb {R} ^{2}}{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}\,d\lambda ^{2}\,.}$

Durch Einführung von Polarkoordinaten ${\displaystyle {}x=r\cos \theta }$ und ${\displaystyle {}y=r\sin \theta }$ ist dieses Integral nach Fakt ***** und nach einer erneuten Anwendung von Korollar 13.2 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) gleich

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\,&={\frac {1}{2\pi }}\int _{[0,2\pi ]\times \mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{2}(r,\theta )\\&={\frac {1}{2\pi }}{\left(\int _{[0,2\pi ]}1\,d\lambda ^{1}(\theta )\right)}{\left(\int _{\mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{1}(r)\right)}\\&=\int _{\mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{1}(r)\\&=\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,dr\\&=-e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}|_{0}^{\infty }\\&=1.\end{aligned}}}$

Damit ist auch ${\displaystyle {}I=1}$.

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left(x+y^{2},\,y+x^{3}+3x^{2}y^{2}+3xy^{4}+y^{6}\right).}$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix von ${\displaystyle {}\varphi }$ in jedem Punkt ${\displaystyle {}\left(x,\,y\right)}$.
2. Bestimme die Jacobi-Determinante von ${\displaystyle {}\varphi }$ in jedem Punkt ${\displaystyle {}\left(x,\,y\right)}$.
3. Bestimme den Flächeninhalt des Bildes der Einheitskreisscheibe unter ${\displaystyle {}\varphi }$. Verwende, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ bijektiv ist.

1. Die Jacobi-Matrix in ${\displaystyle {}(x,y)}$ ist

   ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2y\\3x^{2}+6xy^{2}+3y^{4}&1+6x^{2}y+12xy^{3}+6y^{5}\end{pmatrix}}.}$

2. Die Jacobi-Determinante in ${\displaystyle {}(x,y)}$ ist

   ${\displaystyle {}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}1&2y\\3x^{2}+6xy^{2}+3y^{4}&1+6x^{2}y+12xy^{3}+6y^{5}\end{pmatrix}}&={\left(1+6x^{2}y+12xy^{3}+6y^{5}\right)}-2y{\left(3x^{2}+6xy^{2}+3y^{4}\right)}.&=1.\,\end{aligned}}}$

3. Nach Teil (2) und Satz . ist wegen der Bijektivität der Flächeninhalt des Bildes gleich dem Flächeninhalt des Einheitskreises, also gleich ${\displaystyle {}\pi }$.

Es seien ${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$ topologische Räume und es sei

${\displaystyle \varphi \colon X\longrightarrow Y}$

eine stetige Abbildung. Es sei ${\displaystyle {}X}$ kompakt. Zeige, dass das Bild ${\displaystyle {}\varphi (X)\subseteq Y}$ ebenfalls kompakt ist.

Zeige, dass ein Untervektorraum ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ eines ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Hilbertraumes ${\displaystyle {}V}$ genau dann ein Hilbertraum ist, wenn er abgeschlossen in ${\displaystyle {}V}$ ist.

Zeige, dass der Approximationssatz von Weierstrass nicht für stetige Funktionen auf ${\displaystyle {}]0,1[}$ gilt.

Zeige

${\displaystyle {}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}\,}$

mit Satz 23.10 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)).

Es ist

${\displaystyle {}B_{4}(t)=t^{4}-2t^{3}+t^{2}-{\frac {1}{30}}\,}$

und mit Satz 23.10 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) für ${\displaystyle {}k=2}$ ist

${\displaystyle {}B_{4}(t)=2\cdot (-1)^{1}{\frac {(4)!}{(2\pi )^{4}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi nt\right)}{n^{4}}}\,.}$

Wegen

${\displaystyle {}B_{4}(0)=B_{4}(1)=-{\frac {1}{30}}\,}$

liegt auch punktweise Konvergenz der Fourierreihe vor. Für ${\displaystyle {}t=1}$ ergibt dies

${\displaystyle {}-{\frac {1}{30}}=-3{\frac {1}{\pi ^{4}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}\,,}$

also

${\displaystyle {}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}\,.}$

Skizziere die Graphen der folgenden Funktionen auf ${\displaystyle {}[0,2\pi ]}$.

1. ${\displaystyle {}\cos x}$.
2. ${\displaystyle {}\cos 2x}$.
3. ${\displaystyle {}\cos ^{2}x}$.
4. ${\displaystyle {}2\cos ^{2}x-1}$.