Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Gruppen

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Auf einer Menge ${\displaystyle M}$ lässt sich eine zweistellige Verknüpfung ${\displaystyle \oplus :M\times M\to M}$ definieren. Ist diese Verknüpfung abgeschlossen, also liegen die Ergebnisse jeder möglichen Verknüpfung wieder in ${\displaystyle M}$, so wird ${\displaystyle (M,\oplus )}$ als Magma oder innere Verknüpfung bezeichnet.

Ist ${\displaystyle (M,\oplus )}$ ein Magma und die Verknüpfung ${\displaystyle \oplus }$ assoiziativ

${\displaystyle \forall _{a,b,c\in M}a\oplus (b\oplus c)=(a\oplus b)\oplus c}$

so wird ${\displaystyle (M,\oplus )}$ als Halbgruppe bezeichnet.

Ist ${\displaystyle (M,\oplus )}$ eine Halbgruppe und besitzt ein Element ${\displaystyle 0}$ so dass für jedes Element ${\displaystyle a\in M}$ der Zusammenhang

${\displaystyle a\oplus 0=0\oplus a=a}$

gilt, so heißt ${\displaystyle (M,\oplus ,0)}$ Monoid und ${\displaystyle 0}$ heißt Neutrales Element.

Ist ${\displaystyle (M,\oplus ,0)}$ ein Monid und existiert für alle ${\displaystyle a\in M}$ ein Element ${\displaystyle -a\in M}$, welches

${\displaystyle a\oplus -a=-a\oplus a=0}$

erfüllt, so heißt ${\displaystyle (M,\oplus ,0)}$ Gruppe und das Element ${\displaystyle -a}$ heißt Inverses Element zu ${\displaystyle a}$.

Ist ${\displaystyle (M,\oplus ,0)}$ eine Gruppe und gilt für alle ${\displaystyle a,b\in M}$ der Zusammenhang

${\displaystyle a\oplus b=b\oplus a}$

so wird die Gruppe als abelsche Gruppe bezeichnet.

Die Überlegungen, die hier aus der Addition heraus entwickelt wurden, lassen sich auch auf die Multiplikation anwenden. In diesem Fall wird als Verknüpfung meist ${\displaystyle \odot }$, für das Neutrale Element ${\displaystyle 1}$ und für Inverse Element ${\displaystyle a^{-1}}$ als Bezeichnung gewählt.

Soll die Verknüpfung noch allgemeiner gehalten werden, so wird meist das Symbol ${\displaystyle \circ }$ verwendet. Das Neutrale Element wird mit ${\displaystyle e}$ bezeichnet und die Inversen Elemente wie bei der Multiplikation mit ${\displaystyle a^{-1}}$.

Eine Gruppe ${\displaystyle (M,\circ )}$ ist definiert, als eine Menge ${\displaystyle M}$ mit einer inneren Verknüpfung

${\displaystyle \circ :M\times M\to M,\quad (a,b)\mapsto a\circ b,}$

welche die drei Eigenschaften

• (AG) Assoziativität: ${\displaystyle \forall _{a,b,c\in M}\quad a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c}$
• (NE) Neutrales Element: ${\displaystyle \exists _{e\in M}\forall _{a\in M}\quad a\circ e=e\circ a=a}$
• (IE) Inverse Elemente: ${\displaystyle \forall _{a\in M}\exists _{a^{-1}\in M}\quad a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e}$

erfüllt. Wenn zusätzlich die

• (KG) Kommuntativität ${\displaystyle \forall _{a,b\in M}\quad a\circ b=b\circ a}$

gilt, heißt die Gruppe abelsch oder kommuntativ.

• Weitere Informationen können in dem Wikipedia-Artikel Gruppe gefunden werden.