Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe Zahlen

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Die Gleichung ${\displaystyle x^{2}=-1}$ hat keine Lösung in den reellen Zahlen. Wird die imaginäre Einheit ${\displaystyle \mathrm {i} }$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$ eingeführt, können die Zahlen ${\displaystyle x+\mathrm {i} y}$ mit reellen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ betrachtet werden. Sie bilden die komplexen Zahlen

${\displaystyle \mathbb {C} =\{x+\mathrm {i} y|x,y\in \mathbb {R} ,\mathrm {i} ^{2}=-1\}}$

Mit komplexen Zahlen lässt sich unter der Berücksichtigung von ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$ genau so rechnen, wie mit reellen Zahlen. Die imaginäre Einheit :${\displaystyle \mathrm {i} }$ kann dabei wie eine Variable behandelt werden. Es ergeben sich dadurch die folgenden Regeln

${\displaystyle z_{1}\pm z_{2}=(x_{1}\pm x_{2})+\mathrm {i} (y_{1}\pm y_{2})}$

${\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+\mathrm {i} (x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})}$

${\displaystyle z^{*}=x-\mathrm {i} y}$

${\displaystyle \operatorname {Re} (z)=x={\frac {1}{2}}(z+z^{*})}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (z)=y={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(z-z^{*})}$

${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {zz^{*}}}}$

${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {z_{1}z_{2}^{*}}{|z_{2}|^{2}}}={\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}+\mathrm {i} {\frac {x_{2}y_{1}+x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}}$

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi }=\operatorname {cos} (\phi )+\mathrm {i} \operatorname {sin} (\phi )}$

${\displaystyle z=r\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi }}$

• Komplexe Zahl
• Maxima CAS/Komplexe Zahlen
• Komplexe Zahlen in Wikipedia