Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Folgen

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Eine Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen (je nach Situation mit oder ohne Null) in eine gegebene Zielmenge ${\displaystyle M}$. Sie kann formal als

${\displaystyle a:\mathbb {N} _{(0)}\to M,\quad n\mapsto a_{n}}$

geschrieben werden. Häufig wird auch abkürzend ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{(0)}}}$ geschrieben. Handelt es sich bei ${\displaystyle M}$ um eine Zahlenmenge, sprechen wir auch von einer Zahlenfolge. (Wir werden später Folgen auf abstrakteren Mengen definieren.)

Folgen können explizit formuliert sein, wie bspw. ${\displaystyle a_{n}=2^{n}}$, ${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{n}}}$ und ${\displaystyle c_{n}=(-1)^{n}}$ oder rekursiv, wie beim Heron-Verfahren

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)}$.

zum annäheren von Wurzeln.

Eine (Zahlen-)Folge besitzt einen Grenzwert ${\displaystyle a}$, falls

${\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\exists _{N_{0}(\varepsilon )\in \mathbb {N} _{(0)}}\forall _{n\geq N_{0}(\varepsilon )}\,\,|a_{n}-a|<\varepsilon }$

gilt. ${\displaystyle a}$ wird dann als Grenzwert der Folge bezeichnet und wir schreiben

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=a}$

Bemerkung: Es kann auch passieren, dass alle Elemente der Folge ${\displaystyle a_{n}}$ aus einer Zahlenmenge stammen, der Grenzwert selbst aber nicht in dieser Zahlenmenge liegt. Bspw. sind alle Folgeglieder beim Heron-Verfahren rationale Zahlen, die Grenzwerte aber Wurzeln von rationalen Zahlen, die ggf. irrational sind.

Falls die Folgen ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{(0)}},(b_{n})_{n\in \mathbb {N} _{(0)}}}$ die Grenzwerte ${\displaystyle a,b}$ besitzen, sind die folgenden Regeln gültig

• ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }c\cdot a_{n}=c\cdot \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=c\cdot a}$ hierbei ist ${\displaystyle c\in M}$ eine konstante Zahl.
• ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim \limits _{n\to \infty }b_{n}=a\pm b}$
• ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=(\lim \limits _{n\to \infty }a_{n})\cdot (\lim \limits _{n\to \infty }b_{n})=a\cdot b}$
• ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}{\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}={\frac {a}{b}}}$ nur falls ${\displaystyle b\neq 0}$
• ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }(a_{n})^{m}=(\lim \limits _{n\to \infty }a_{n})^{m}=a^{m}}$ für ein beliebiges ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$

Eine Cauchy-Folge ist in sich konvergent. Das bedeutet, für große ${\displaystyle n}$ kommen sich beliebige Folgeglieder beliebig nahe. Formal kann dies durch

${\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\exists _{M_{0}(\varepsilon )\in \mathbb {N} _{(0)}}\forall _{n,m\geq M_{0}(\varepsilon )}\,\,|a_{n}-a_{m}|<\varepsilon }$

ausgedrückt werden.

Bemerkung: Es lässt sich zeigen, dass jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist. Es kann aber Cauchy-Folgen geben, die nicht im betrachteten Raum konvergieren. Bspw. besitzt die Folge des Heron-Verfahrens nur rationale Folgeglieder, konvergiert aber gegen Wurzeln rationaler Zahlen, die nicht zwangsläufig rational sein müssen.

Ein Körper wird als vollständig bezeichnet, wenn in ihm alle Cauchy-Folgen konvergieren.

• Weitere Informationen können den Wikipedia-Artikeln Folge (Mathematik), Grenzwert (Folge) und Cauchy-Folge entnommen werden.