Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Spezielle Räume

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Beim Einführen von Vektoren wurde besprochen, dass diese über eine Länge (Betrag bzw. Norm) verfügen. Dieser Begriff kann auf allgemeine Vektorräume verallgemeinert werden. Daneben lassen sich weitere Begriffe, wie die Metrik oder später das Skalarprodukt definieren. Räume die über solche Abbildungen verfügen, erhalten spezifische Namen.

Eine Metrik dient dazu Abstände zwischen zwei Punkten in einem Raum zu messen.

Die Metrik ${\displaystyle d}$ eines Vektorraums ${\displaystyle V}$ ist eine Abbildung

${\displaystyle d:V\times V\to [0,\infty )}$

welche die folgenden drei Eigenschaften erfüllt

• Positive Definitheit ${\displaystyle d({\vec {a}},{\vec {b}})\geq 0}$ und ${\displaystyle d({\vec {a}},{\vec {b}})=0\Leftrightarrow {\vec {a}}={\vec {b}}}$
• Symmetrie ${\displaystyle d({\vec {a}},{\vec {b}})=d({\vec {b}},{\vec {a}})}$
• Dreiecksungleichung ${\displaystyle d({\vec {a}},{\vec {c}})\leq d({\vec {a}},{\vec {b}})+d({\vec {b}},{\vec {c}})}$

Ein Vektorraum mit Metrik wird als metrischer Raum bezeichnet.

Die Metrik macht noch keine Aussage über die Länge von Vektoren, sondern nur über Abstände im Anschaungsraum. Um die Länge von Vektoren zu bestimmen, muss die sogenannte Norm eingeführt werden.

Die Norm ${\displaystyle \|\cdot \|}$ eines Vektorraums ${\displaystyle V}$ ist eine Abbildung

${\displaystyle \|\cdot \|:V\to [0,\infty )}$

welche die folgenden drei Eigenschaften erfüllt

• Positive Definitheit ${\displaystyle \|{\vec {a}}\|\geq 0}$ und ${\displaystyle \|{\vec {a}}\|=0\Leftrightarrow {\vec {a}}={\vec {0}}}$
• Absolute Homogenität ${\displaystyle \|\lambda {\vec {a}}\|=|\lambda |\|{\vec {a}}\|}$
• Dreiecksungleichung ${\displaystyle \|{\vec {a}}+{\vec {b}}\|\leq \|{\vec {a}}\|+\|{\vec {b}}\|}$

• Ein Vektorraum mit einer Norm wird als normierter Raum bezeichnet.
• Eine Norm induziert durch ${\displaystyle d({\vec {a}},{\vec {b}})=\|{\vec {a}}-{\vec {b}}\|}$ auch immer eine Metrik. Es ist in normierten Räumen also möglich die Länge von Vektoren, als auch den Abstand von Punkten zu messen.

Die wichtigste Norm für die Quantenemchanik ist die Euklidsche Norm. Sie ist auf ${\displaystyle n}$ dimensionalen Vektorräumen, wie bspw. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ durch

${\displaystyle \|{\vec {a}}\|_{2}={\sqrt {\sum \limits _{i=1}^{n}|a_{i}|^{2}}}}$

definiert. Daneben werden in der Mathematik auch gerne als Beispiel die 1-Norm (Manhatten-Norm)

${\displaystyle \|{\vec {a}}\|_{1}=\sum \limits _{i=1}^{n}|a_{i}|}$

die ${\displaystyle \infty }$-Norm (Maximums-Norm)

${\displaystyle \|{\vec {a}}\|_{\infty }=\mathrm {max} \{|a_{1}|,|a_{2}|,\dots ,|a_{n}|\}}$

oder allgemein die ${\displaystyle p}$-Normen

${\displaystyle \|{\vec {a}}\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum \limits _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}}}}$

mit ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ betrachtet. Dass sie die Dreiecksungleichung erfüllen kann durch die Hölder-Ungleichung bewiesen werden.

Durch die Verfügbarkeit eines Abstandsbegriff, könenn auch Begrifflichkeiten der Konvergenz von Folgen auf Vektoren verallgemeinert werden.

Sei ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum, so heißt die Abbildung

${\displaystyle {\vec {v}}:\mathbb {N} \to V,n\mapsto {\vec {v}}_{n}}$

eine Vektorfolge.

Sei ${\displaystyle V}$ nun ein normierter Raum und ${\displaystyle {\vec {v}}_{n}}$ eine Vektorfolge. Das Element ${\displaystyle {\vec {v}}_{\infty }\in V}$ heißt Grenzwert der Folge ${\displaystyle {\vec {v}}_{n}}$, genau dann, wenn gilt

${\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\exists _{N_{0}(\varepsilon )\in \mathbb {N} }\forall _{n\geq N_{0}(\varepsilon )}\|{\vec {v}}_{n}-{\vec {v}}_{\infty }\|<\varepsilon }$

Sei weiterhin ${\displaystyle V}$ ein normierter Raum und ${\displaystyle {\vec {v}}_{n}}$ eine Vektorfolge. Die Folge ${\displaystyle {\vec {v}}_{n}}$ heißt Cauchy-Folge, genau dann, wenn gilt

${\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\exists _{M_{0}(\varepsilon )\in \mathbb {N} }\forall _{n,m\geq M_{0}(\varepsilon )}\|{\vec {v}}_{n}-{\vec {v}}_{m}\|<\varepsilon }$

Genau wie auf Zahlenmengen lässt sich zeigen, dass jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist. Umgekehrt ist aber nicht jede Cauchy-Folge zwingend eine konvergente Folge. (s. Vervollständigung der rationalen Zahlen) Die normierten Räume, in denen alle Cauchy-Folgen konvergieren spielen eine herausragende Rolle in der Quantenmechanik und werden als Banachräume oder vollständige Räume bezeichnet.

In der Quantenemchanik wird der Zustand durch die Richtung im Vektorraum beschrieben und nicht durch die Länge eines Vektors. Um Zustände (Vektoren) miteinander vergleichen zu können, müssen wir also Aussagen über die Ähnlichkeit von Richtungen treffen. Hierzu wird das Skalarprodukt eingeführt.

Eine Skalarprodukt (inneres Produkt) ist eine zweistellige Abbildung vom Vektorraum ${\displaystyle V}$ in den zugrundeliegenden Körper ${\displaystyle K}$ (${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$)

${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle :V\to K}$

so dass die folgenden drei Eigenschaften erfüllt sind

• Sesquilinearität ${\displaystyle \langle {\vec {a}}|\lambda {\vec {b}}+\mu {\vec {c}}\rangle =\lambda \langle {\vec {a}}|{\vec {b}}\rangle +\mu \langle {\vec {a}}|{\vec {c}}\rangle }$
• Hermitizität ${\displaystyle \langle {\vec {a}}|{\vec {b}}\rangle ^{*}=\langle {\vec {b}}|{\vec {a}}\rangle }$
• Positive Definitheit ${\displaystyle \langle {\vec {a}}|{\vec {a}}\rangle \geq 0}$ und ${\displaystyle \langle {\vec {a}}|{\vec {a}}\rangle =0\Leftrightarrow {\vec {a}}=0}$

Das typische Skalarprodukt in der Quantenmechanik auf dem Vektorraum ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ist durch

${\displaystyle \langle {\vec {a}}|{\vec {b}}\rangle =\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}^{*}b_{i}=a_{1}^{*}b_{1}+a_{2}^{*}b_{2}+\cdots +a_{n}^{*}b_{n}}$

gegeben.

• Es gibt unterschiedliche Definition darüber, ob das erste oder das zweite Argument linear ist. In der Quantenphysik ist die hier gegebene Definition gebräuchlich.
• Ein Vektorraum ${\displaystyle V}$ mit einem darauf definierten Skalarprodukt wird als Skalarproduktraum bezeichnet.
• Durch das Skalarprodukt kann mittels ${\displaystyle \|{\vec {a}}\|={\sqrt {\langle {\vec {a}}|{\vec {a}}\rangle }}}$ eine Norm induziert werden. Damit ist jeder Skalarproduktraum auch automatisch ein normierter Raum
• Sollte der Vektorraum mit der vom Skalarprodukt induzierten Norm ein Banachraum sein, so wird er als Hilbertraum bezeichnet. (Entsprechend werden Skalarprodukträume gelegentlich auch als Prähilberträume bezeichnet)

Alle Zustände in der Quantenmechanik werden durch einen Vektor aus einem Hilbertraum beschrieben.

• Weitere Informationen können in den Wikipedia-Artikeln Metrischer Raum, Normierter Raum, Hölder-Ungleichungt, Banachraum, Skalarprodukt, Hilbertraum gefunden werden.