Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Vektorräume

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Es seien eine Menge ${\displaystyle V}$ mit den Elementen ${\displaystyle {\vec {v}}}$ und ein Körper ${\displaystyle K}$ mit der additiven Verknüfpung ${\displaystyle +}$, der Multiplikativen Verknüpfung ${\displaystyle \cdot }$ und dem Neutralen Element bzgl. der Multiplikation ${\displaystyle 1}$ gegeben.
Darüber hinaus sollen eine Innere Verknüpfung ${\displaystyle \oplus :V\times V\to V}$ und eine Äußere Verknüpfung ${\displaystyle \odot :K\times V\to V}$ gegeben sein.
${\displaystyle (V,\oplus ,\odot ,K)}$ heißt Vektorraum, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind

• ${\displaystyle (V,\oplus ,{\vec {0}})}$ ist eine abelsche Gruppe
• Für beliebige ${\displaystyle \lambda ,\mu \in K}$ und ${\displaystyle {\vec {v}},{\vec {w}}\in V}$ gelten
  • ${\displaystyle \lambda \odot ({\vec {v}}\oplus {\vec {w}})=\lambda \odot {\vec {v}}\oplus \lambda \odot {\vec {w}}}$
  • ${\displaystyle (\lambda +\mu )\odot {\vec {v}}=\lambda \odot {\vec {v}}\oplus \mu \odot {\vec {v}}}$
  • ${\displaystyle (\lambda \cdot \mu )\odot {\vec {v}}=\lambda \odot (\mu \odot {\vec {v}})}$
  • ${\displaystyle 1\odot {\vec {v}}={\vec {v}}}$

• Meistens werden die Innere und Äußerer Verknüpfung nicht gesondert von der additiven und Multiplikativen Verknüpfung auf ${\displaystyle K}$ hervorgehoben.
• Es wird das Symbol der Äußeren Verknüpfung oft unterdrückt, so dass ${\displaystyle \lambda {\vec {v}}=\lambda \cdot {\vec {v}}=\lambda \odot {\vec {v}}}$ alle das Selbe meinen.

• Die einfachsten Vektorräume sind ${\displaystyle n}$ dimensionale reelle Räume ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ über dem Körper der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle n}$ dimensionale komplexe Räume ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ über dem Körper der komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Die innere Verknüpfung ist dabei durch komponentenweise Addition und die Äußere Verknüpfung durch Multiplkation jeder Komponente mit dem Element des Körpers ${\displaystyle K}$ definiert.
• Für die Quantenmechanik ist dabei vor allem ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ von interesse, da er bspw. die Zustände eines Teilchens mit Spin ${\displaystyle {\frac {n-1}{2}}}$ oder im Fall ${\displaystyle n=2^{N}}$ die Zustände von ${\displaystyle N}$ Qubits beschreiben kann
• Daneben gibt es noch unendlich dimensionale Vektorräume, die entweder diskret (bspw. harmonischer Oszillator), kontinuierlich (Darstellung durch Wellenfunktionen) oder beides (Wasserstoffatom) sein können.

Die Vektoren ${\displaystyle {\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{m}}$ heißen linear unabhängig falls aus

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{m}\lambda _{k}{\vec {v}}_{k}=\lambda _{1}{\vec {v}}_{1}+\lambda _{2}{\vec {v}}_{2}+\cdots +\lambda _{m}{\vec {v}}_{m}={\vec {0}}}$

direkt folgt, dass

${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\cdots =\lambda _{m}=0}$

gelten muss.

Eine Basis ${\displaystyle B}$ ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge des Vektorraums ${\displaystyle V}$.

D.h. die Elemente der Menge ${\displaystyle B}$ sind linear unabhängig und bei der hinzunahme eines weiteren Elements verlieren sie ihre lineare Unabhängigkeit.

Die Menge der Elemente in der Basis gibt die Dimension des Vektorraums an. Meist werden die Elemente der Basis durch ${\displaystyle {\vec {b}}_{1},{\vec {b}}_{2},\dots ,{\vec {b}}_{n}}$ angegeben.

• Weitere Informationen können in den Wikipedia-Artikeln Vektorraum, Lineare Unabhängigkeit und Basis gefunden werden.