Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Vektoren

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Zweidimensional Punkte im Raum werden durch ${\displaystyle x}$- und ${\displaystyle y}$-Koordinaten in der Form ${\displaystyle P(x|y)}$ angegeben. Stattdessen kann auch der verbindende Pfeil zum Ursprung

${\displaystyle {\vec {p}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

betrachtet werden. Dieser kann unter beibehalt von Länge und Richtung verschoben werden. Er wird als Vektor bezeichnet.

Es lassen sich auch dreidimensionale oder sogar ${\displaystyle n}$-dimensionale Vektoren mit reellen Komponenten betrachten. Die Menge der Letzteren wird als ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ bezeichnet.

Die Länge eines Vektors wird als sein Betrag (oder später Norm) bezeichnet und ist durch

${\displaystyle |{\vec {p}}|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

definiert.

Vektoren lassen sich komponentenweise addieren

${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{x}\\a_{y}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{x}\\b_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{x}+b_{x}\\a_{y}+b_{y}\end{pmatrix}}}$

Geometrisch entspricht dies einer Aneinanderreihung der Vektoren. Der Vektor

${\displaystyle {\vec {0}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$

ändert bei Addition nichts und wird als Nullvektor bezeichnet.

Ein Vektor lässt sich komponentenweise mit einer reellen Zahl ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ multiplizieren

${\displaystyle \lambda \cdot {\vec {p}}=\lambda \cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda \cdot x\\\lambda \cdot y\end{pmatrix}}\quad \quad |\lambda \cdot {\vec {p}}|=|\lambda |\cdot |{\vec {p}}|}$

Geometrisch handelt es sich um eine Streckung, Stauchung oder Spiegelung am Ursprung abhängig vom Wert von ${\displaystyle \lambda }$.

• Weitere Informationen können in dem Wikipedia-Artilel Vektor gefunden werden.