Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Beispiele lokalkonvexer Raum

In dieser Lerneinheit werden Beispiele für lokalkonvexe Räume behandelt. Der Inhalt kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:

• (1) Folgenräume
• (2) Raum der stetigen Funktionen

Diese Lernressource liefert Beispiele für lokalkonvexe Vektorräume, die nicht durch eine einzige Norm erzeugt werden können. Damit motivieren die Beispiele die Mengeninklusion, dass die Menge der normierten Vektorräume eine echte Teilmenge der lokalkonvexen Vektorräume ist.

Sei ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$ ein Körper, dann bezeichnet ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }:=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,|\,a_{n}\in \mathbb {K} \,{\mbox{ für alle }}n\in \mathbb {N} \}}$ die Menge der Folgen mit Folgengliedern in ${\displaystyle \mathbb {K} }$.

${\displaystyle c_{oo}(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\exists _{n_{0}\in \mathbb {N} }\forall _{n\geq n_{0}}\,:\,a_{n}=0\}}$ ist die Menge der Folgen in ${\displaystyle \mathbb {K} }$, die ab einer Indexschranke alle Komponenten der Folge 0 sind.

${\displaystyle c_{o}(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\lim _{n\to \infty }a_{n}=0\}}$ ist die Menge der Nullfolgen in dem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$

${\displaystyle c(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\exists _{a_{0}\in \mathbb {K} }\,:\,\lim _{n\to \infty }a_{n}=a_{0}\}}$, die Menge der konvergenten Folgen in ${\displaystyle \mathbb {K} }$.

${\displaystyle \ell _{1}(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|<\infty \}}$, die Menge der Folgen in ${\displaystyle \mathbb {K} }$, die absolute konvergent sind. ${\displaystyle \ell _{1}(\mathbb {K} )}$ ist ein normierter Norm mit ${\displaystyle \|a\|:=\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}$).

${\displaystyle \ell _{p}(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}<\infty \}}$, die Menge der Folgen in ${\displaystyle \mathbb {K} }$, die absolut-p-summierbar sind. Für ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ist, der Raum normierbar. Für ${\displaystyle 0<p<1}$ ist der Raum noch metrisierbar mit ${\displaystyle d_{p}((a_{n})_{n},(b_{n})_{n}):=\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}-b_{n}|^{p}}$,

Zeigen Sie, ${\displaystyle d_{p}((a_{n})_{n},(b_{n})_{n}):=\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}-b_{n}|^{p}}$ für alle ${\displaystyle (a_{n})_{n},(b_{n})_{n}in\ell _{p}(\mathbb {K} )}$ einen endlichen Wert liefert und ${\displaystyle d:\ell _{p}(\mathbb {K} )\times \ell _{p}(\mathbb {K} )\to \mathbb {R} }$ die Eigenschaften einer Metrik erfüllt.

${\displaystyle \ell _{\infty }(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\exists _{C>0}\,:\,\sup _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|<C\}}$, die Menge der beschränkten Folgen in ${\displaystyle \mathbb {K} }$ als normierbarer Raum.

Geben Sie den Körper ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$ eine Mengeninklusion ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\supset \ldots \supset \ldots }$ für die obigen Folgenräume an.

Zeigen Sie, dass die auf ${\displaystyle \ell _{\infty }(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\exists _{C>0}\,:\,\sup _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|\leq C\}}$ definierte Abbildung

${\displaystyle {\bigg \|}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }{\bigg \|}_{\infty }:=\sup _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|}$

die Vektorräume ${\displaystyle c_{oo}(\mathbb {K} )}$, ${\displaystyle c_{o}(\mathbb {K} )}$, ${\displaystyle c(\mathbb {K} )}$, ${\displaystyle \ell _{1}(\mathbb {K} )}$, ${\displaystyle \ell _{p}(\mathbb {K} )}$ und ${\displaystyle \ell _{\infty }(\mathbb {K} )}$ zu einem normierten Raum macht.

Weisen Sie diese Normeigenschaften nur für ${\displaystyle \ell _{\infty }(\mathbb {K} )}$ und argumentieren Sie mit der Mengeninklusion aus Aufgabe 1.

Welche der oben genannten normierten Räume ist vollständig?

Betrachtet man nun ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }:=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,|\,a_{n}\in \mathbb {K} \,{\mbox{ für alle }}n\in \mathbb {N} \}}$ als Menge der beliebigen Folgen mit Folgengliedern in ${\displaystyle \mathbb {K} }$, so macht das folgenden Halbnormensystem ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\|\cdot \|_{k}:&\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }&\rightarrow &\mathbb {R} _{o}^{+}\\&\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }&\mapsto &{\bigg \|}\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }{\bigg \|}_{k}=|a_{k}|\end{array}}}$

den Vektorraum ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ zu einem lokalkonvexen Raum ${\displaystyle \left(\mathbb {K} ^{\mathbb {N} },\|\cdot \|_{\mathbb {N} }\right)}$.

Weisen Sie nach, dass der lokalkonvexe Raum ${\displaystyle \left(\mathbb {K} ^{\mathbb {N} },\|\cdot \|_{\mathbb {N} }\right)}$ die Hausdorff-Eigenschaft besitzt.

Nehmen Sie an, dass der lokalkonvexe^[1][2] Raum ${\displaystyle \left(\mathbb {K} ^{\mathbb {N} },\|\cdot \|_{\mathbb {N} }\right)}$ durch eine Norm ${\displaystyle \|\cdot \|}$ topologisiert werden kann. Führen Sie diese Annahme zum Widerspruch.

Die in Aufgabenteil 2 angegebene kann auf dem lokalkonvexen Vektorraum ${\displaystyle \left(\mathbb {K} ^{\mathbb {N} },\|\cdot \|_{\mathbb {N} }\right)}$ nicht als Norm verwendet werden, da ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ als Raum beliebiger Folgen in ${\displaystyle \mathbb {K} }$ auch unbeschränkte Folgen enthält, z.B. ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }:=(n)_{n\in \mathbb {N} }}$. Eine Norm muss aber für alle Vektoren/Folgen ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ einen endlichen Wert ${\displaystyle \|(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\|<\infty }$ liefern.

Das abgeschlossene Intervall ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$ sei der Definitionsbereich des Raumes ${\displaystyle {\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )}$ der stetigen Funktionen von ${\displaystyle [a,b]}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit der Norm

${\displaystyle \|f\|:=\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx}$

zu einem normierten Vektorraum (siehe auch Normen, Metriken, Topologie).

Verändert man den Definitionsbereich ${\displaystyle [a,b]}$ zu ${\displaystyle \mathbb {R} }$ und betrachtet den Vektorraum ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ der stetigen Funktionen von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$, so erzeugen die Halbnormen

${\displaystyle \|f\|_{n}:=\displaystyle \int _{-n}^{+n}|f(x)|\,dx}$

ein lokalkonvexe Topologie auf ${\displaystyle \left({\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\|\cdot \|_{\mathbb {N} }\right)}$.

Eine Integralnorm als uneigentliches Integral der Form

${\displaystyle \|f\|:=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }|f(x)|\,dx}$

kann keine Norm auf dem Vektorraum sein, da es z.B. für ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ mit ${\displaystyle f\in ({\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ keinen endlichen Wert liefert (siehe auch Normen, Metriken, Topologie).

Weisen Sie für die durch ${\displaystyle (\|\cdot \|_{\mathbb {N} }}$ auf ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ definierte lokalkonvexe Topologie nicht durch eine einzige Norm erzeugt werden kann.

1. ↑ Floret, K., Wloka, J., Floret, K., & Wloka, J. (1968). Lokalkonvexe Räume. Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, S. 19-27.
2. ↑ Köthe, G., & Köthe, G. (1960). Topologische lineare Räume (S. 127-204). Springer Berlin Heidelberg.

• Beispiel für Vektorräume
• Beispiel für pseudekonvexe Räume
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