Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Beispiele pseudokonvexer Raum

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• (1) Folgenräume,
• (2) Konvergenz von Reihen mit ${\displaystyle p}$-Halbnormen,
• (3) Abschätzung von Reihen

Diese Lernressource hat das Ziel, pseudokonvexe Teilmengen von dem Vektorraum der Folgen über einem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$ als Beispiel zu betrachten.

Die Lernressource zum Thema Beispiele für pseudokonvexe Vektorräume sind die Grundlagen aus der Analysis über konvergente Reihen.

Sei ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$ ein Körper, dann bezeichnet ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }:=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,|\,a_{n}\in \mathbb {K} \,{\mbox{ für alle }}n\in \mathbb {N} \}}$ die Menge der Folgen mit Folgengliedern in ${\displaystyle \mathbb {K} }$. Man betrachtet nur zunächst noch einmal die absolut konvergenten und absolut ${\displaystyle p}$-konvergente Reihen, um die Unterschiede zu den absolut potenzkonvergenten Reihen deutlich zu machen.

${\displaystyle \ell _{1}(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|<\infty \}}$, die Menge der Folgen in ${\displaystyle \mathbb {K} }$, die absolute konvergent sind. ${\displaystyle \ell _{1}(\mathbb {K} )}$ ist ein normierter Norm mit ${\displaystyle \|a\|:=\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}$).

${\displaystyle \ell _{1}(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|<\infty \}}$, die Menge der Folgen in ${\displaystyle \mathbb {K} }$, die absolute konvergent sind. ${\displaystyle \ell _{1}(\mathbb {K} )}$ ist ein normierter Norm mit ${\displaystyle \|a\|:=\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}$).

Man definiert mit ${\displaystyle r{\bigg (}\mathbb {K} ,\left(e_{n}\right)_{n}{\bigg )}:=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}}<\infty \}}$ die Menge der absolut potenzsummierbaren Folgen in ${\displaystyle \mathbb {K} }$ zu einer gegebenen Potenzenfolge ${\displaystyle \left(e_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$, mit der der Betrag ${\displaystyle |a_{n}|}$ der einzelnen Folgenglieder der Reihe in Abhängigkeit vom Index ${\displaystyle n}$ potenziert werden.

Die wesentliche Verallgemeinerung von den absolut p-konvergente Reihen zu den absolut potenzkonvergenten Reihen ist, dass man die hier die Exponenten für jeden Index ${\displaystyle n}$ mit einer Exponentenfolge ${\displaystyle \left(e_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ einzeln festlegt.

Man definiert nun mit ${\displaystyle r\left(\mathbb {K} ,\scriptstyle \left({\frac {1}{n}}\right)_{n}\right):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}}<\infty \}}$ die Menge der absolut potenzsummierbaren Folgen mit der Exponentenfolge

${\displaystyle \left(e_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }:=\left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$

Man definiert nun eine ${\displaystyle p}$-Halbnormensystem auf ${\displaystyle r\left(\mathbb {K} ,\scriptstyle \left({\frac {1}{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }\right)}$ wie folgt:

${\displaystyle \|(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\|_{k}:=\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{\frac {1}{k}}}$

Geben Sie den Körper ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$. Zeigen Sie für ${\displaystyle 0<p_{1}<p_{2}\leq 1}$ eine Mengeninklusion ${\displaystyle \ell _{p_{1}}(\mathbb {K} )\subset \ell _{p_{2}}(\mathbb {K} )}$ gilt. Konstruieren Sie dann eine Folge, die in ${\displaystyle \ell _{p_{2}}(\mathbb {K} )}$ aber nicht in ${\displaystyle \ell _{p_{1}}(\mathbb {K} )}$ liegt.

Nutzen Sie für die Konstruktion der Folge die Eigenschaft der harmonischen Reihe aus, dass die Folge ${\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\notin \ell _{1}(\mathbb {K} )}$ aber für ${\displaystyle p>1}$ die Folge ${\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ in dem Folgenraum ${\displaystyle \ell _{p}(\mathbb {K} )}$ liegt.

Zeigen Sie, dass für alle ${\displaystyle p>0}$ die Mengeninklusion ${\displaystyle \ell _{p}(\mathbb {K} )\subset r\left(\mathbb {K} ,\scriptstyle \left({\frac {1}{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }\right)}$

Wählen Sie eine beliebige Folgen ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ aus ${\displaystyle \ell _{p}(\mathbb {K} )}$ aus und zeigen Sie, dass auch ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in r\left(\mathbb {K} ,\scriptstyle \left({\frac {1}{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }\right)}$ gilt. .

Nutzen Sie dazu die Eigenschaft von ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell _{p}(\mathbb {K} )}$ aus, dass die Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Nullfolge ist. Wählen Sie dann eine Indexschranke ${\displaystyle n_{o}\in \mathbb {N} }$ ab der die Folgenglieder ${\displaystyle a_{n}}$ die Eigenschaft ${\displaystyle |a_{n}|<1}$ für alle ${\displaystyle n\geq n_{o}}$ besitzen. Wählen Sie dazu eine u.U. größere Indexschranke ${\displaystyle n_{1}\geq n_{o}}$, ab der für alle ${\displaystyle n\geq n_{1}\geq n_{o}}$ mit ${\displaystyle {\frac {1}{n_{1}}}<p}$. Schätzen Sie ab dem Folgenindex ${\displaystyle n_{1}\in \mathbb {N} }$ die Folgenglieder ${\displaystyle |a_{n}|^{p}}$ nach oben gegen ${\displaystyle |a_{n}|^{\frac {1}{n}}}$ ab.

Zeigen Sie, dass die auf ${\displaystyle r\left(\mathbb {K} ,\scriptstyle \left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)}$ definierte Abbildung

${\displaystyle {\bigg \|}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }{\bigg \|}_{k}:=\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{\frac {1}{k}}}$

mit ${\displaystyle p:={\frac {1}{k}}}$ eine ${\displaystyle p}$-Halbnorm ist.

Weisen Sie nach, dass die oben definierten Abbildung die Eigenschaft einer ${\displaystyle p}$-Halbnorm besitzt auf ${\displaystyle r\left(\mathbb {K} ,\scriptstyle \left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)}$ besitzt.

Betrachtet man nun ${\displaystyle r\left(\mathbb {K} ,\scriptstyle \left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)\subset \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$, so macht das folgenden ${\displaystyle p}$-Halbnormensystem ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle p:={\frac {1}{k}}\in (0,1]}$

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\|\cdot \|_{k}:&\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }&\rightarrow &\mathbb {R} _{o}^{+}\\&\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }&\mapsto &{\bigg \|}\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }{\bigg \|}_{k}=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{\frac {1}{k}}\end{array}}}$

den Vektorraum ${\displaystyle r\left(\mathbb {K} ,\scriptstyle \left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)\subset \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ zu einem pseudokonvexen Raum ${\displaystyle \left(r\left(\mathbb {K} ,\scriptstyle \left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right),\|\cdot \|_{\mathbb {N} }\right)}$.

Weisen Sie nach, dass der pseudokonvexe Raum ${\displaystyle \left(\mathbb {K} ^{\mathbb {N} },\|\cdot \|_{\mathbb {N} }\right)}$ die Hausdorff-Eigenschaft besitzt.

Nehmen Sie an, dass der pseudokonvexe Raum ${\displaystyle \left(r\left(\mathbb {K} ,\scriptstyle \left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right),\|\cdot \|_{\mathbb {N} }\right)}$ durch eine p-Norm ${\displaystyle \|\cdot \|}$ topologisiert werden kann. Führen Sie diese Annahme zum Widerspruch.

Man betrachtet den Vektorraum ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} _{o}^{+},\mathbb {R} )}$ der stetigen Funktionen von ${\displaystyle \mathbb {R} _{o}^{+}}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Nun wählt man eine stetige Funktion ${\displaystyle e:\mathbb {R} _{o}^{+}\to \mathbb {R} ^{+}}$, die den Exponenten des absoluten Funktionswertes ${\displaystyle |f(x)|}$ mit ${\displaystyle |f(x)|^{e(x)}}$ festlegt. Eine Funktion ${\displaystyle f}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} _{o}^{+},\mathbb {R} )}$ heißt absolut potenzintegrable bzgl. der stetigen Exponentfunktion ${\displaystyle e}$, wenn gilt:

${\displaystyle \displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(x)|^{e(x)}\,dx<\infty }$

und bezeichnet die Menge aller Funktionen mit dieser Eigenschaft mit ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} _{o}^{+},\mathbb {R} ,e)}$.

Man wählt als Exponentfunktion ${\displaystyle e(x):={\frac {1}{1+x}}}$ und definiert dann eine pseudokonvexe Topologie auf ${\displaystyle \left({\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ,e),\|\cdot \|_{(0,1]}\right)}$.

Die Exponentfunktion ${\displaystyle e(x):={\frac {1}{1+x}}}$ ist stetig auf ${\displaystyle \mathbb {R} _{o}^{+}}$. Nun definiert man die ${\displaystyle p}$-Halbnormen auf ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} _{o}^{+},\mathbb {R} ,e)}$ mit ${\displaystyle p\in (0,1]}$ über:

${\displaystyle \|f\|_{p}:=\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(x)|^{p}\,dx}$

ein lokalkonvexe Topologie auf ${\displaystyle \left({\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\|\cdot \|_{\mathbb {N} }\right)}$.

Zeigen Sie, dass die Abbildung ${\displaystyle \|f\|_{p}:=\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(x)|^{p}\,dx}$ die Eigenschaft einer ${\displaystyle p}$-Halbnorm besitzt.

Wenn ${\displaystyle p\geq 1}$ gilt, kann man durch das Ziehen der ${\displaystyle p}$-ten Wurzel aus ein Halbnorm ${\displaystyle \|f\|_{p}^{\ast }:=\displaystyle {\sqrt[{p}]{\int _{0}^{\infty }|f(x)|^{p}\,dx}}}$ erzeugen, die also absolut homogen ist und die Dreiecksungleichung erfüllt. Für ${\displaystyle 0<p<1}$ ist die Einheitskugel

${\displaystyle B_{1}^{(p)}(O_{V}):=\left\{f\in {\mathcal {C}}\left(\mathbb {R} _{o}^{+},\mathbb {R} ,e\right)\ :\ \|f\|_{p}<1\right\}}$

nicht konvex. Das Funktional ${\displaystyle \|f\|_{p}:=\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(x)|^{p}\,dx}$ erfüllt für ${\displaystyle 0<p<1}$ nicht die Dreiecksungleichung.

• Beispiel für lokalkonvexe Räume
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