Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/isotone Stetigkeitssequenz

Die Isotonie einer Stetigkeitssequenz ist bei topologischen Algebren wesentlich, um topologische Abschätzungen, die sich im Kern auf Mengensysteme, offene Mengen und Umgebungen beziehen auf topologieerzeugende Gaugefunktionale darstellen zu können.

Die Isotonie der Stetigkeitssequenz soll für ${\displaystyle \varepsilon }$-Kugeln für Gaugefunktionale. Dabei werden die ${\displaystyle \varepsilon }$-Kugeln wie folgt erzeugt:

${\displaystyle B_{\varepsilon }^{(\alpha )}(x_{o}):={\bigg \{}x\in A\,:\,\|x-x_{o}\|_{\alpha }<\varepsilon {\bigg \}}}$

Wenn man die Isotonie für zwei Gaugefunktionale ${\displaystyle \|\cdot \|_{(\alpha ,k)}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{(\alpha ,k+1)}}$ betrachtet, ergibt sich für die zugehörigen Einheitkugeln die folgende Mengeninklusion: ${\displaystyle B_{1}^{(\alpha ,k)}(0_{_{A}})\subseteq B_{1}^{(\alpha ,k+1)}(0_{_{A}})}$

Sei nun ${\displaystyle k_{1}\leq k_{2}}$, ${\displaystyle x_{o}\in A}$ und ${\displaystyle \varepsilon >0}$ beliebig gewählt, dann gilt: ${\displaystyle B_{\varepsilon }^{(\alpha ,k_{1})}(x_{o})\subseteq B_{\varepsilon }^{(\alpha ,k_{2})}(x_{o}).}$

Sei ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}$ eine unital positive topologische Algebra mit dem basiserzeugenden ${\displaystyle p}$-Gaugefunktionalsystem ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}$, dann gibt es für alle ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ eine isotone Stetigkeitssequenz ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,m)}\right)_{m\in \mathbb {N} _{0}}}$, die ,mit ${\displaystyle \|\cdot \|_{(\alpha ,0)}:=\|\cdot \|_{\alpha }}$ folgende Eigenschaften besitzt:

(K1) ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k+1)}}$ für ${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n-1\}}$

In der Regel ist die Isotonie eine Grundeigenschaften der Stetigkeitsequenz, die oben genannte Mengeninklusion der Einheitskugel ${\displaystyle B_{\varepsilon }^{(\alpha ,k)}(0_{_{A}})}$ impliziert. In normiertem oder lokalkonvexen Räumen, die durch eine Halbnormensystem ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}$ erzeugt werden, bezieht sich die Dreiecksungleichung bei der Abschätzung nach oben immer auf die gleiche Norm bzw. Halbnorm. Im allgemeinen Fall von topologischen Vektorräume beziehen sich die Abschätzungen nach oben auf unterschiedliche topologieerzeugende Gaugefunktional.

${\displaystyle \|x+y\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }+\|y\|_{\beta }}$

Dies führt zu der Notwendigkeit, die Stetigkeit in Sequenzen zu betrachten mit Abschätzungen nach oben zu betrachten.

Das Topologisierungslemma für Algebren stellt im Einzelnen dar, wie die Stetigkeit von algebraischen Operation mit den Abschätzung bzgl. Gaugefunktionalen zusammenhängen.

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