Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 22/latex
\setcounter{section}{22}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
in $R_S$ genau denjenigen Primidealen in $R$ entsprechen, die mit $S$ einen leeren Durchschnitt haben.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass die Menge aller \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} in $R$ ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} bildet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{A \subseteq \Q}{} die Menge derjenigen
\definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{,}
die eine abbrechende
\definitionsverweis {Dezimalentwicklung}{}{}
besitzen. Zeige, dass $A$ ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
von $\Q$ ist und bestimme die
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
von $A$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $\Z_n$ die Nenneraufnahme zu $n$
\zusatzklammer {$\Z_n$ besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von $n$ als Nenner schreiben kann} {} {.}
Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe $R$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq} { R
}
{ \subseteq} { \Z_n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von $n$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
Zahlen. Zeige, dass für den
\zusatzklammer {im Quotientenkörper $Q(R)$ genommenen} {} {}
Durchschnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_f \cap R_g
}
{ =} { R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge der
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{.}
Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ R_T \!\!
}
{ =} { \!\! { \left\{ q \in \Q \! \mid \! q \text{ lässt sich mit einem Nenner schreiben, in dem nur Primzahlen aus } T \text{ vorkommen} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
von $\Q$ ist. Was ergibt sich bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \{3 \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \{2,5 \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ {\mathbb P}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Unterringe}{}{} der \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{} $\Q$, die \definitionsverweis {lokal}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass jeder \definitionsverweis {Unterring}{}{} von $\Q$ eine \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \notin }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass die
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
zu $S$, also $R_S$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_S
}
{ \defeq} { { \left\{ \frac{f}{g} \mid f \in R , \, g \in S \right\} }
}
{ \subseteq} { Q(R)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Unterring von
\mathl{Q(R)}{} ist.
} {Zeige, dass nicht jeder Unterring von $Q(R)$ eine Nenneraufnahme ist.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {ganze Erweiterung}{}{}
von
\definitionsverweis {Integritätsbereichen}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Zeige, dass dann auch die zugehörige Erweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_F
}
{ \subseteq }{ S_F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ganz ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{ 0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[\sqrt{D}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $A_D$ der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass nach
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
an $2$ ein
\definitionsverweis {Ringisomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { R_2 } { (A_D)_2
} {}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Man definiert die
\definitionswortenp{Nenneraufnahme}{}
\mathdisp {R_S} { }
schrittweise wie folgt. Es sei zunächst $M$ die Menge der formalen Brüche mit Nenner in $S$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ \frac{r}{s} \mid r \in R , \, s \in S \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass durch
\mathdisp {\frac{r}{s} \sim \frac{r'}{s'} \text{ genau dann, wenn es ein } t \in S \text{ mit } trs' =tr's \text{ gibt}} { , }
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf $M$ definiert ist. Wir bezeichnen mit $R_S$ die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf $R_S$ eine Ringstruktur und definiere einen
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\mathl{R \rightarrow R_S}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {idempotentes Element}{}{.}
Zeige, dass es eine natürliche
\definitionsverweis {Ringisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_e
}
{ \cong} { R/(1-e)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element und $R_f$ die zugehörige
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{.}
Zeige, dass $f$ genau dann
\definitionsverweis {nilpotent}{}{}
ist, wenn $R_f$ der Nullring ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien $R$ und $A$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} { R } { A
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
derart, dass $\varphi(s)$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
in $A$ ist für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige: Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} { R_S } { A
} {,}
der $\varphi$ fortsetzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Definiere die \anfuehrung{Nenneraufnahme}{}
\mathdisp {M_S} { }
und zeige, dass sie ein $R_S$-Modul ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Zeige, dass $R$ genau dann ein
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
ist, wenn
\mathl{a+b}{} nur dann eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist, wenn $a$ oder $b$ eine Einheit ist.
}
{} {}
Lemma 22.8
gilt auch ohne die Voraussetzung, dass $R$ ein Integritätsbereich ist.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
in $R$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
$R_{\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
mit
\definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} R_{\mathfrak p}
}
{ \defeq} { { \left\{ \frac{f}{g} \mid f \in {\mathfrak p} , \, g \notin {\mathfrak p} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{ $R$ ist \definitionsverweis {normal}{}{.} }{Für jedes \definitionsverweis {Primideal}{}{} ${\mathfrak p}$ ist die \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} $R_{\mathfrak p}$ normal. }{Für jedes \definitionsverweis {maximale Ideal}{}{} ${\mathfrak m}$ ist die Lokalisierung $R_{\mathfrak m}$ normal.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\maabbdisp {\nu} {(K^\times, \cdot,1)} { (\Z,+,0)
} {}
ein
\definitionsverweis {surjektiver}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(f+g)
}
{ \geq }{\min\{ \nu(f) , \nu(g)\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ K ^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { { \left\{ f \in K^\times \mid \nu(f) \geq 0 \right\} } \cup \{0\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen $R$ und $Q$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.}
Definiere zu einem Element
\mathbed {q \in Q(R)} {}
{q \neq 0} {}
{} {} {} {,} die Ordnung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, ( q )
}
{ \in} { \Z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei soll die Definition mit der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
für Elemente aus $R$ übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus
\maabb {} {Q(R) \setminus \{0\} } { \Z
} {}
definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{ \bildeinlesungpng {Brent method example} {png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Brent method example.png } {} {Jitse Niesen} {Commons} {gemeinfrei} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathbed {f \in {\mathbb C}[X]} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die folgenden \anfuehrung{Ordnungen}{} von $f$ an der Stelle $a$ übereinstimmen.
\aufzaehlungdrei{Die Verschwindungsordnung von $f$ an der Stelle $a$, also die maximale Ordnung einer Ableitung mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{(k)}(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Der Exponent des Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in der Zerlegung von $f$ in irreduzible Polynome.
}{Die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von $f$ an der Lokalisierung
\mathl{{\mathbb C}[X]_{(X-a)}}{} von
\mathl{{\mathbb C}[X]}{} am maximalen Ideal
\mathl{(X-a)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
minimalen Grades, das an der Stelle
\mathl{3}{} mit der Ordnung zwei verschwindet, das an der Stelle ${ \mathrm i}$ mit der Ordnung fünf verschwindet und das an den Stellen $0, 3-2 { \mathrm i}$ und $7 { \mathrm i}$ einfach verschwindet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $K(T)$ der
\definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{}
über $K$. Finde einen
\definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ K(T)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q(R)
}
{ = }{ K(T)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R \cap K[T]
}
{ = }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{.}
Dann ist der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{ R/{\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{ Q(S)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $R_{\mathfrak p}$ ist ein
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak p}R_{\mathfrak p}}{.} Zeige, dass eine natürliche Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q(S)
}
{ \cong} { R_{\mathfrak p}/ {\mathfrak p} R_{\mathfrak p}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
Den in der vorstehenden Aufgabe beschriebenen Körper nennt man auch den \stichwort {Restekörper} {} von ${\mathfrak p}$
- man bezeichnet ihn mit
\mathl{\kappa ( {\mathfrak p} )}{.} Die Abbildung
\maabbeledisp {} { R } { \kappa ( {\mathfrak p} ) } { f } { f \mod {\mathfrak p} } {,} \zusatzklammer {aufgefasst in diesem Körper} {} {} heißt auch die \stichwort {Auswertungsabbildung} {} \zusatzklammer {oder \stichwort {Evaluationsabbildung} {}} {} {} an der Stelle ${\mathfrak p}$.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} { R } { K
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
in einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Faktorisierung
\mathdisp {R \longrightarrow \kappa( {\mathfrak p} ) \longrightarrow K} { }
mit einem
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
\mathl{\kappa( {\mathfrak p} )}{} zu einem
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
${\mathfrak p}$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb C}[X] } { {\mathbb C}
} { X } {a
} {,}
mit der
\definitionsverweis {Evaluationsabbildung}{}{}
\zusatzklammer {in den
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
\mathlk{{\mathbb C}[X]_{(X-a)}/ (X-a) {\mathbb C}[X]_{(X-a)}}{}} {} {}
zum
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mathl{(X-a)}{} übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q$. Charakterisiere die \definitionsverweis {endlich erzeugten}{}{} $R$-\definitionsverweis {Untermoduln}{}{} von $Q$. Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ \bigcap_{i \in I} R_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R_i
}
{ \subseteq }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
alle
\definitionsverweis {diskrete Bewertungsringe}{}{}
seien. Zeige: $R$ ist
\definitionsverweis {normal}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die
\definitionsverweis {nilpotenten Elemente}{}{}
von
\mathl{\Z/( n )}{} und die
\definitionsverweis {Reduktion}{}{}
von
\mathl{\Z/( n )}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien $n$ und $k$
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
Zahlen und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {Ringisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R/(n)
}
{ \cong} { (R_k)/(n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Zeige, dass dann auch die
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
$R_S$ normal ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann ist, wenn für alle
\definitionsverweis {Lokalisierungen}{}{}
$R_{ {\mathfrak p} }$ gilt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ {\mathfrak a} R_{ {\mathfrak p} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{7}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungsieben{ $n$ ist die
\definitionsverweis {Potenz}{}{}
einer
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
}{Der Restklassenring
\mathl{\Z/( n )}{} ist
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{.}
}{Der Restklassenring
\mathl{\Z/( n )}{} ist
\definitionsverweis {lokal}{}{.}
}{Die
\definitionsverweis {Reduktion}{}{}
von
\mathl{\Z/( n )}{} ist ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
}{Jeder Nullteiler von
\mathl{\Z/( n )}{} ist
\definitionsverweis {nilpotent}{}{.}
}{Der Restklassenring
\mathl{\Z/( n )}{} besitzt genau ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{.}
}{Der Restklassenring
\mathl{\Z/( n )}{} besitzt genau ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \neq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {quadratfrei}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ = }{ 1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Finde in
\mathl{\Z[\sqrt{D}]}{} ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
${\mathfrak p}$ derart, dass die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
an ${\mathfrak p}$ kein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
mit
\definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
\maabbeledisp {} {R \setminus \{0\} } { \N
} { f } { \operatorname{ord} \, ( f )
} {,}
folgende Eigenschaften besitzt.
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (fg)
}
{ = }{ \operatorname{ord} \, ( f ) + \operatorname{ord} \, ( g )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f+g)
}
{ \geq }{ \operatorname{min} \left( \operatorname{ord} \, ( f ) ,\, \operatorname{ord} \, ( g ) \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, ( f )
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ R ^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, ( f )
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{} {}