Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 22

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich und ${\displaystyle {}S\subseteq R}$ ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in ${\displaystyle {}R_{S}}$ genau denjenigen Primidealen in ${\displaystyle {}R}$ entsprechen, die mit ${\displaystyle {}S}$ einen leeren Durchschnitt haben.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Menge aller Nichtnullteiler in ${\displaystyle {}R}$ ein multiplikatives System bildet.

Es sei ${\displaystyle {}A\subseteq \mathbb {Q} }$ die Menge derjenigen rationalen Zahlen, die eine abbrechende Dezimalentwicklung besitzen. Zeige, dass ${\displaystyle {}A}$ ein Unterring von ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ ist und bestimme die Einheiten von ${\displaystyle {}A}$.

Es sei ${\displaystyle {}\mathbb {Z} _{n}}$ die Nenneraufnahme zu ${\displaystyle {}n}$ (${\displaystyle {}\mathbb {Z} _{n}}$ besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von ${\displaystyle {}n}$ als Nenner schreiben kann). Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe ${\displaystyle {}R}$ mit

${\displaystyle {}\mathbb {Z} \subseteq R\subseteq \mathbb {Z} _{n}\,}$

gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}n}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereich und seien ${\displaystyle {}f,g\in \mathbb {Z} }$ teilerfremde Zahlen. Zeige, dass für den (im Quotientenkörper ${\displaystyle {}Q(R)}$ genommenen) Durchschnitt

${\displaystyle {}R_{f}\cap R_{g}=R\,}$

gilt.

Es sei ${\displaystyle {}T\subseteq {\mathbb {P} }}$ eine Teilmenge der Primzahlen. Zeige, dass die Menge

${\displaystyle {}{\begin{aligned}R_{T}&={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q{\text{ lässt sich mit einem Nenner schreiben, in dem nur Primzahlen aus }}T{\text{ vorkommen}}\right\}}\,\end{aligned}}}$

ein Unterring von ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ ist. Was ergibt sich bei ${\displaystyle {}T=\emptyset }$, ${\displaystyle {}T=\{3\}}$, ${\displaystyle {}T=\{2,5\}}$, ${\displaystyle {}T={\mathbb {P} }}$?

Bestimme die Unterringe der rationalen Zahlen ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$, die lokal sind.

Zeige, dass jeder Unterring von ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ eine Nenneraufnahme ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich und sei ${\displaystyle {}S\subseteq R}$ ein multiplikatives System, ${\displaystyle {}0\notin S}$.

1. Zeige, dass die Nenneraufnahme zu ${\displaystyle {}S}$, also ${\displaystyle {}R_{S}}$ mit

   ${\displaystyle {}R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\subseteq Q(R)\,}$

   ein Unterring von ${\displaystyle {}Q(R)}$ ist.

2. Zeige, dass nicht jeder Unterring von ${\displaystyle {}Q(R)}$ eine Nenneraufnahme ist.

Es sei ${\displaystyle {}R\subseteq S}$ eine ganze Erweiterung von Integritätsbereichen und sei ${\displaystyle {}F\subseteq R}$ ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die zugehörige Erweiterung ${\displaystyle {}R_{F}\subseteq S_{F}}$ ganz ist.

Es sei ${\displaystyle {}D\neq 0,1}$ eine quadratfreie Zahl, sei ${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]}$ und sei ${\displaystyle {}A_{D}}$ der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass nach Nenneraufnahme an ${\displaystyle {}2}$ ein Ringisomorphismus

${\displaystyle R_{2}\longrightarrow (A_{D})_{2}}$

vorliegt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}S\subseteq R}$ ein multiplikatives System. Man definiert die Nenneraufnahme

${\displaystyle R_{S}}$

schrittweise wie folgt. Es sei zunächst ${\displaystyle {}M}$ die Menge der formalen Brüche mit Nenner in ${\displaystyle {}S}$, also

${\displaystyle {}M={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r\in R,\,s\in S\right\}}\,.}$

Zeige, dass durch

${\displaystyle {\frac {r}{s}}\sim {\frac {r'}{s'}}{\text{ genau dann, wenn es ein }}t\in S{\text{ mit }}trs'=tr's{\text{ gibt}},}$

eine Äquivalenzrelation auf ${\displaystyle {}M}$ definiert ist. Wir bezeichnen mit ${\displaystyle {}R_{S}}$ die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf ${\displaystyle {}R_{S}}$ eine Ringstruktur und definiere einen Ringhomomorphismus ${\displaystyle {}R\rightarrow R_{S}}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und sei ${\displaystyle {}e\in R}$ ein idempotentes Element. Zeige, dass es eine natürliche Ringisomorphie

${\displaystyle {}R_{e}\cong R/(1-e)\,}$

gibt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring, ${\displaystyle {}f\in R}$ ein Element und ${\displaystyle {}R_{f}}$ die zugehörige Nenneraufnahme. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ genau dann nilpotent ist, wenn ${\displaystyle {}R_{f}}$ der Nullring ist.

Es seien ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}A}$ kommutative Ringe und sei ${\displaystyle {}S\subseteq R}$ ein multiplikatives System. Es sei

${\displaystyle \varphi \colon R\longrightarrow A}$

ein Ringhomomorphismus derart, dass ${\displaystyle {}\varphi (s)}$ eine Einheit in ${\displaystyle {}A}$ ist für alle ${\displaystyle {}s\in S}$. Zeige: Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

${\displaystyle {\tilde {\varphi }}\colon R_{S}\longrightarrow A,}$

der ${\displaystyle {}\varphi }$ fortsetzt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring, ${\displaystyle {}S\subseteq R}$ ein multiplikatives System und ${\displaystyle {}M}$ ein ${\displaystyle {}R}$- Modul. Definiere die „Nenneraufnahme“

${\displaystyle M_{S}}$

und zeige, dass sie ein ${\displaystyle {}R_{S}}$-Modul ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass ${\displaystyle {}R}$ genau dann ein lokaler Ring ist, wenn ${\displaystyle {}a+b}$ nur dann eine Einheit ist, wenn ${\displaystyle {}a}$ oder ${\displaystyle {}b}$ eine Einheit ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ ein Primideal in ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass die Lokalisierung ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}}$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in {\mathfrak {p}},\,g\notin {\mathfrak {p}}\right\}}\,}$

ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}R}$ ist normal.
2. Für jedes Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ ist die Lokalisierung ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}}$ normal.
3. Für jedes maximale Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ ist die Lokalisierung ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {m}}}$ normal.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei

${\displaystyle \nu \colon (K^{\times },\cdot ,1)\longrightarrow (\mathbb {Z} ,+,0)}$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit ${\displaystyle {}\nu (f+g)\geq \min\{\nu (f),\nu (g)\}}$ für alle ${\displaystyle {}f,g\in K^{\times }}$. Zeige, dass

${\displaystyle {}R={\left\{f\in K^{\times }\mid \nu (f)\geq 0\right\}}\cup \{0\}\,}$

ein diskreter Bewertungsring ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper ${\displaystyle {}Q}$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}Q}$ gibt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein diskreter Bewertungsring. Definiere zu einem Element ${\displaystyle {}q\in Q(R)}$, ${\displaystyle {}q\neq 0}$, die Ordnung

${\displaystyle {}\operatorname {ord} \,(q)\in \mathbb {Z} \,.}$

Dabei soll die Definition mit der Ordnung für Elemente aus ${\displaystyle {}R}$ übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle {}Q(R)\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {Z} }$ definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?

Es sei ${\displaystyle {}f\in {\mathbb {C} }[X]}$, ${\displaystyle {}f\neq 0}$, und ${\displaystyle {}a\in {\mathbb {C} }}$. Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von ${\displaystyle {}f}$ an der Stelle ${\displaystyle {}a}$ übereinstimmen.

1. Die Verschwindungsordnung von ${\displaystyle {}f}$ an der Stelle ${\displaystyle {}a}$, also die maximale Ordnung einer Ableitung mit ${\displaystyle {}f^{(k)}(a)=0}$.
2. Der Exponent des Linearfaktors ${\displaystyle {}X-a}$ in der Zerlegung von ${\displaystyle {}f}$ in irreduzible Polynome.
3. Die Ordnung von ${\displaystyle {}f}$ an der Lokalisierung ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }[X]_{(X-a)}}$ von ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }[X]}$ am maximalen Ideal ${\displaystyle {}(X-a)}$.

Bestimme ein Polynom ${\displaystyle {}P\in {\mathbb {C} }[X]}$ minimalen Grades, das an der Stelle ${\displaystyle {}3}$ mit der Ordnung zwei verschwindet, das an der Stelle ${\displaystyle {}{\mathrm {i} }}$ mit der Ordnung fünf verschwindet und das an den Stellen ${\displaystyle {}0,3-2{\mathrm {i} }}$ und ${\displaystyle {}7{\mathrm {i} }}$ einfach verschwindet.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}K(T)}$ der Körper der rationalen Funktionen über ${\displaystyle {}K}$. Finde einen diskreten Bewertungsring ${\displaystyle {}R\subseteq K(T)}$ mit ${\displaystyle {}Q(R)=K(T)}$ und mit ${\displaystyle {}R\cap K[T]=K}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ ein Primideal. Dann ist der Restklassenring ${\displaystyle {}S=R/{\mathfrak {p}}}$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${\displaystyle {}Q=Q(S)}$ und ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}}$ ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$. Zeige, dass eine natürliche Isomorphie

${\displaystyle {}Q(S)\cong R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\,}$

vorliegt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und

${\displaystyle \varphi \colon R\longrightarrow K}$

ein Ringhomomorphismus in einen Körper ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Faktorisierung

${\displaystyle R\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {p}})\longrightarrow K}$

mit einem Restekörper ${\displaystyle {}\kappa ({\mathfrak {p}})}$ zu einem Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ gibt.

Zeige, dass zu ${\displaystyle {}a\in {\mathbb {C} }}$ der Einsetzungshomomorphismus

${\displaystyle {\mathbb {C} }[X]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,X\longmapsto a,}$

mit der Evaluationsabbildung (in den Restekörper ${\displaystyle {\mathbb {C} }[X]_{(X-a)}/(X-a){\mathbb {C} }[X]_{(X-a)}}$) zum Primideal ${\displaystyle {}(X-a)}$ übereinstimmt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper ${\displaystyle {}Q}$. Charakterisiere die endlich erzeugten ${\displaystyle {}R}$- Untermoduln von ${\displaystyle {}Q}$. Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen?

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${\displaystyle {}K=Q(R)}$. Es sei ${\displaystyle {}R=\bigcap _{i\in I}R_{i}}$, wobei die ${\displaystyle {}R_{i}\subseteq K}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, alle diskrete Bewertungsringe seien. Zeige: ${\displaystyle {}R}$ ist normal.

Beschreibe die nilpotenten Elemente von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$ und die Reduktion von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$.

Es seien ${\displaystyle {}n}$ und ${\displaystyle {}k}$ teilerfremde Zahlen und sei ${\displaystyle {}\mathbb {Z} \subseteq R}$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass es eine Ringisomorphie

${\displaystyle {}R/(n)\cong (R_{k})/(n)\,}$

gibt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein normaler Integritätsbereich und sei ${\displaystyle {}S\subseteq R}$ ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die Nenneraufnahme ${\displaystyle {}R_{S}}$ normal ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich, sei ${\displaystyle {}f\in R}$ und sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ ein Ideal. Zeige, dass ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {a}}}$ genau dann ist, wenn für alle Lokalisierungen ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}}$ gilt, dass ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {p}}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}n\geq 2}$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}n}$ ist die Potenz einer Primzahl.
2. Der Restklassenring ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$ ist zusammenhängend.
3. Der Restklassenring ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$ ist lokal.
4. Die Reduktion von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$ ist ein Körper.
5. Jeder Nullteiler von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$ ist nilpotent.
6. Der Restklassenring ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$ besitzt genau ein Primideal.
7. Der Restklassenring ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$ besitzt genau ein maximales Ideal.

Es sei ${\displaystyle {}D\neq 1}$ quadratfrei und ${\displaystyle {}D=1\mod 4}$. Finde in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]}$ ein Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ derart, dass die Lokalisierung an ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ kein diskreter Bewertungsring ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(p)}$. Zeige, dass die Ordnung

${\displaystyle R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} \,(f),}$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. ${\displaystyle {}\operatorname {ord} \,(fg)=\operatorname {ord} \,(f)+\operatorname {ord} \,(g)}$.
2. ${\displaystyle {}\operatorname {ord} \,(f+g)\geq \operatorname {min} \left(\operatorname {ord} \,(f),\,\operatorname {ord} \,(g)\right)}$.
3. Es ist ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {m}}}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}\operatorname {ord} \,(f)\geq 1}$ ist.
4. Es ist ${\displaystyle {}f\in R^{\times }}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}\operatorname {ord} \,(f)=0}$ ist.