Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 27

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{5}}$ der quadratische Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=5}$. Zeige mittels Korollar 27.10, dass ${\displaystyle {}R}$ faktoriell ist.

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{7}}$ der quadratische Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=7}$. Zeige mittels Korollar 27.10, dass ${\displaystyle {}R}$ faktoriell ist.

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{10}}$ der quadratische Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=10}$. Bestimme die Klassengruppe von ${\displaystyle {}R}$.

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{13}}$ der quadratische Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=13}$. Zeige mittels Korollar 27.10, dass ${\displaystyle {}R}$ faktoriell ist.

Zeige mit Korollar 27.10, dass der Ring der Gaußschen Zahlen ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$ faktoriell ist.

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{-6}}$ der quadratische Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=-6}$. Bestimme die Klassengruppe von ${\displaystyle {}R}$.

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{-7}}$ der quadratische Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=-7}$. Zeige mittels Korollar 27.10, dass ${\displaystyle {}R}$ faktoriell ist.

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{-14}}$ der quadratische Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=-14}$. Bestimme die Klassengruppe von ${\displaystyle {}R}$.

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{-17}}$ der quadratische Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=-17}$. Bestimme die Klassengruppe von ${\displaystyle {}R}$.

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{-21}}$ der quadratische Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=-21}$. Bestimme die Klassengruppe von ${\displaystyle {}R}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein quadratischer Zahlbereich und ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\neq 0}$ ein Ideal in ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass es ein Element ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {a}}}$ mit der Eigenschaft gibt, dass für alle maximale Ideale ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ gilt:

${\displaystyle f\in {\mathfrak {m}}{\text{ genau dann, wenn }}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}.}$

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein quadratischer Zahlbereich und ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\neq 0}$ ein Ideal in ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass es eine natürliche Zahl ${\displaystyle {}m\in \mathbb {N} }$ derart gibt, dass das inverse Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}^{-1}}$ zu ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}^{m}}$ äquivalent ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereich und ${\displaystyle {}f\in R}$, ${\displaystyle {}f\neq 0}$. Definiere eine „Divisorenklassengruppe“ für die Nenneraufnahme ${\displaystyle {}R_{f}}$. Dabei soll wieder gelten, dass diese Divisorenklassengruppe genau dann ${\displaystyle {}0}$ ist, wenn ${\displaystyle {}R_{f}}$ faktoriell ist. Ferner soll es einen natürlichen surjektiven Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \operatorname {DKG} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(R_{f}\right)}}$

geben.

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{-43}}$ der quadratische Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=-43}$. Zeige mittels Korollar 27.10, dass ${\displaystyle {}R}$ faktoriell ist.

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{-67}}$ der quadratische Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=-67}$. Zeige mittels Korollar 27.10, dass ${\displaystyle {}R}$ faktoriell ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass es ein ${\displaystyle {}f\in R}$, ${\displaystyle {}f\neq 0}$, mit der Eigenschaft gibt, dass die Nenneraufnahme ${\displaystyle {}R_{f}}$ faktoriell ist.

Es sei ${\displaystyle {}D}$ quadratfrei und sei ${\displaystyle {}A_{D}}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Ferner sei ${\displaystyle {}D}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}5}$ und ${\displaystyle {}D=2,3\mod 4}$. Zeige: ${\displaystyle {}A_{D}}$ ist nicht faktoriell.