Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 26

Wir betrachten im Ring der Gaußschen Zahlen ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\subset {\mathbb {C} }}$ das Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=(1+2{\mathrm {i} })\subseteq \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$.

a) Skizziere die Situation.

b) Skizziere mit verschiedenen Farben die verschiedenen Äquivalenzklassen (Nebenklassen) zum Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$.

c) Wie viele Äquivalenzklassen gibt es? Beschreibe ein Repräsentantensystem.

d) Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Farben. Welche Farben sind zueinander invers?

Skizziere den quadratischen Zahlbereich ${\displaystyle {}A_{-5}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$ als Gitter in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$. Skizziere ferner das Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})}$ als Untergitter.

Es sei ${\displaystyle {}A_{D}}$ ein imaginär-quadratischer Zahlbereich mit der Gitterrealisierung

${\displaystyle {}A_{D}=\Gamma =\mathbb {Z} +\mathbb {Z} \omega \subseteq {\mathbb {C} }\,}$

mit ${\displaystyle {}\omega ={\sqrt {D}}}$ bzw. ${\displaystyle {}\omega ={\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}}$. Es sei ${\displaystyle {}\Lambda \subseteq \Gamma }$ ein volles Untergitter. Zeige, dass ${\displaystyle {}\Lambda }$ genau dann ein Ideal in ${\displaystyle {}A_{D}}$ ist, wenn

${\displaystyle {}\omega \Lambda \subseteq \Lambda \,}$

gilt.

Wir betrachten den Ring der Gaußschen Zahlen als Gitter ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\mathrm {i} }\subset {\mathbb {C} }}$. Wie sehen die gebrochenen Ideale von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$ als geometrische Objekte in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ aus?

Sind alle Vierecke konvex?

Zeige, dass der Durchschnitt von konvexen Mengen im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ wieder konvex ist.

Charakterisiere die Restklassengruppe eines Gitters ${\displaystyle {}\Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$.

Es seien ${\displaystyle {}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ vollständige Gitter. Zeige, dass es eine ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$- lineare Abbildung

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

gibt, die einen Gruppenisomorphismus

${\displaystyle \Gamma _{1}\longrightarrow \Gamma _{2}}$

induziert.

Es seien ${\displaystyle {}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ rationale vollständige Gitter. Zeige, dass es eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$- lineare Abbildung

${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Q} ^{n}}$

gibt, die einen Gruppenisomorphismus

${\displaystyle \Gamma _{1}\longrightarrow \Gamma _{2}}$

induziert.

Es seien ${\displaystyle {}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ rationale vollständige Gitter. Zeige, dass es ein rationales Gitter ${\displaystyle {}\Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ mit ${\displaystyle {}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \Gamma }$ gibt.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ ein Hausdorffraum und es sei ${\displaystyle {}Y\subseteq X}$ eine Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Es sei ${\displaystyle {}Y}$ kompakt. Zeige, dass ${\displaystyle {}Y}$ abgeschlossen in ${\displaystyle {}X}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ ein topologischer Raum und es seien ${\displaystyle {}Y_{1},\ldots ,Y_{n}\subseteq X}$ kompakte Teilmengen. Zeige, dass auch die Vereinigung ${\displaystyle {}Y=\bigcup _{i=1}^{n}Y_{i}}$ kompakt ist.

Es seien ${\displaystyle {}X,Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ kompakte Teilmengen. Zeige, dass es Punkte ${\displaystyle {}x\in X}$ und ${\displaystyle {}y\in Y}$ mit der Eigenschaft gibt, dass für beliebige Punkte ${\displaystyle {}P\in X}$ und ${\displaystyle {}Q\in Y}$ die Abschätzung

${\displaystyle {}d(x,y)\leq d(P,Q)\,}$

gilt.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ ein metrischer Raum und seien ${\displaystyle {}Y,Z\subseteq X}$ kompakte Teilmengen, die zueinander disjunkt seien. Zeige, dass es ein ${\displaystyle {}d>0}$ derart gibt, dass für beliebige Punkte ${\displaystyle {}P\in Y}$ und ${\displaystyle {}Q\in Z}$ die Abstandsbedingung ${\displaystyle {}d(P,Q)\geq d}$ gilt.

Zeige, dass ein Körper ${\displaystyle {}K}$ genau dann die Charakteristik ${\displaystyle {}0}$ besitzt, wenn die additive Gruppe ${\displaystyle {}(K,+,0)}$ torsionsfrei ist.

Alle Springmäuse leben in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{2}}$ und verfügen über zwei Sprünge, nämlich den Sprung ${\displaystyle {}\pm (3,4)}$ und den Sprung ${\displaystyle {}\pm (5,2)}$. Wie viele Springmaus-Populationen gibt es? Die Springmäuse Albert, Beate, Erich, Heinz, Sabine und Frida sitzen in den Positionen

${\displaystyle (14,11),\,(13,15),\,(17,12),\,(15,19),\,(16,16){\mbox{ und }}(12,20).}$

Welche Springmäuse können sich begegnen?

Es sei ${\displaystyle {}U}$ eine Teilmenge des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$. Zeige, dass ein Punkt ${\displaystyle {}Q\in \mathbb {R} ^{n}}$ genau dann zur konvexen Hülle von ${\displaystyle {}U}$ gehört, wenn es endlich viele Punkte ${\displaystyle {}P_{i}\in U}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, und reelle Zahlen ${\displaystyle {}r_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, mit ${\displaystyle {}r_{i}\in [0,1]}$, ${\displaystyle {}\sum _{i\in I}r_{i}=1}$ und mit

${\displaystyle {}Q=\sum _{i\in I}r_{i}P_{i}\,}$

gibt.

Skizziere zum Gitter ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{2}}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ drei Teilmengen, die die Maßbedingung des Gitterpunksatzes von Minkowski erfüllen, die den Nullpunkt, aber keine weiteren Gitterpunkte enthalten, und die jeweils zwei der drei Bedingungen konvex, kompakt und zentralsymmetrisch erfüllen.