Quadratreste/Zolotareff/Fakt/Beweis

Die Abbildung

${\displaystyle {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\longrightarrow S_{p-1},\,k\longmapsto \pi _{k},}$

der Einheitengruppe in die Permutationsgruppe zu ${\displaystyle {}p-1}$ Elementen ist ein Gruppenhomomorphismus. Nach Fakt ist die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon S_{p-1}\longrightarrow \{1,-1\},\,\pi \longmapsto \operatorname {sgn} (\pi ),}$

ein Gruppenhomomorphismus, sodass auch die Verknüpfung

${\displaystyle {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\longrightarrow \{1,-1\},\,k\longmapsto \operatorname {sgn} (\pi _{k}),}$

ein Gruppenhomomorphismus ist. Es sei ${\displaystyle {}g}$ ein Erzeuger der nach Fakt zyklischen Gruppe ${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }}$. Die zugehörige Permutation besitzt die Wirkungsweise

${\displaystyle g^{i}\mapsto g\cdot g^{i}=g^{i+1},}$

dies ist also ein Zykel der Länge ${\displaystyle {}p-1}$. Dieser hat nach Aufgabe das Signum ${\displaystyle {}(-1)^{p-2}=-1}$. Dies bedeutet, dass die Abbildung ${\displaystyle {}\varphi }$ surjektiv ist, und dass ${\displaystyle {}k=g^{j}}$ genau dann auf ${\displaystyle {}1}$ abgebildet wird, wenn ${\displaystyle {}j}$ gerade ist. Deshalb stimmt die Abbildung mit dem Legendre-Symbol überein.