Teilerpotenzsumme/Multiplikativität/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Bei zwei teilerfremden Zahlen ${\displaystyle {}n}$ und ${\displaystyle {}m}$ hat jeder positive Teiler ${\displaystyle {}t}$ des Produkts ${\displaystyle {}nm}$ die eindeutige Form ${\displaystyle {}t=ab}$, wobei ${\displaystyle {}a}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}n}$ und ${\displaystyle {}b}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}m}$ ist. Also gilt

${\displaystyle {}\sigma _{k}(nm)=\sum _{t{|}mn}t^{k}=\sum _{a{|}m{\text{ und }}b{|}n}a^{k}b^{k}={\left(\sum _{a{|}n}a^{k}\right)}{\left(\sum _{b{|}m}b^{k}\right)}=\sigma _{k}(n)\sigma _{k}(m)\,.}$