142857 sind die sechs sich wiederholenden Ziffern eines Siebtels: ${\displaystyle 1/7=0{,}{\overline {142\,857}}}$.

Analytik

Die Zahl Hundertzweiundvierzigtausendachthundertsiebenundfünfzig (dezimal 142.857) ist im Dezimalsystem die bekannteste zyklische Zahl. Wird sie mit 2, 3, 4, 5 oder 6 multipliziert, so ist das Ergebnis eine zyklische Permutation ihrer selbst und wird den sich wiederholenden Ziffern von 2/7, 3/7, 4/7, 5/7 bzw. 6/7 entsprechen.

Sechsstellige Zahlen mit gleichen Eigenschaften gibt es auch in anderen Basen, gegeben durch (Basis⁶ − 1)/7. Beispiele sind 186A35 im Duodezimalsystem und 3A6LDH im Quadrivigesimalsystem (Basis 24).

142.857 ist außerdem die 25. Kaprekar-Zahl und eine Harshad-Zahl (teilbar durch ihre Quersumme, beides im Dezimalsystem).

Rechenbeispiele

1 × 142.857 = 142.857

2 × 142.857 = 285.714

3 × 142.857 = 428.571

4 × 142.857 = 571.428

5 × 142.857 = 714.285

6 × 142.857 = 857.142

7 × 142.857 = 999.999

Wenn man mit einer ganzen Zahl größer sieben multipliziert, gibt es eine einfache Methode, um zu einer zyklischen Permutation von 142857 zu kommen: Indem man die sechs rechten Ziffern, also Einer bis Hunderttausender, zu den übrigen Ziffern addiert und diesen Vorgang wiederholt, bis weniger als sechs Ziffern übrigbleiben, wird man zu einer zyklischen Permutation von 142857 gelangen.

142857 × 8 = 1142856

1 + 142856 = 142857

142857 × 815 = 116428455

116 + 428455 = 428571

142857² = 142857 × 142857 = 20408122449

20408 + 122449 = 142857

Multiplikation mit einem Vielfachen von 7 wird durch diesen Prozess 999999 ergeben.

142857 × 7⁴ = 342999657

342 + 999657 = 999999

Wenn man die letzten drei Ziffern quadriert und das Quadrat der ersten drei Ziffern subtrahiert, wird man ebenfalls eine zyklische Permutation der Zahl erhalten.

857² = 734449

142² = 20164

734449 − 20164 = 714285

Dies ist der sich wiederholende Teil in der Dezimalexpansion (Repräsentation im Dezimalsystem) der rationalen Zahl ${\displaystyle 1/7=0{,}{\overline {142\,857}}}$. Daher sind Vielfache eines Siebtels nur wiederholte Kopien der entsprechenden Vielfachen von 142857.

1 ÷ 7 = 0,142857

2 ÷ 7 = 0,285714

3 ÷ 7 = 0,428571

4 ÷ 7 = 0,571428

5 ÷ 7 = 0,714285

6 ÷ 7 = 0,857142

7 ÷ 7 = 0,999999 = 1

8 ÷ 7 = 1,142857

9 ÷ 7 = 1,285714

usw. …

1/7 als unendliche Summe

Es gibt Strukturen, die mit Hilfe von Verdopplung, Verschiebung und Addition 1/7 als unendliche Summe darstellen.

${\displaystyle {\begin{aligned}1/7\ &=0{,}142857142857142857\ldots \\[6pt]&=0{,}14+0{,}0028+0{,}000056+0{,}00000112+0{,}0000000224+0{,}000000000448+0{,}00000000000896+\cdots \\[6pt]&={\frac {14}{100}}+{\frac {28}{100^{2}}}+{\frac {56}{100^{3}}}+{\frac {112}{100^{4}}}+{\frac {224}{100^{5}}}+\cdots +{\frac {7\times 2^{N}}{100^{N}}}+\cdots \\[6pt]&=\left({\frac {7}{50}}+{\frac {7}{50^{2}}}+{\frac {7}{50^{3}}}+{\frac {7}{50^{4}}}+{\frac {7}{50^{5}}}+\cdots +{\frac {7}{50^{N}}}+\cdots \right)\\[6pt]&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {7}{50^{k}}}\end{aligned}}}$

Jeder Term ist gleich dem verdoppelten und um zwei Stellen nach rechts verschobenen vorherigen Term.

Auch durch eine kombinierte Verschiebung um eine Stelle und eine Verdreifachung lässt 1/7 darstellen:

${\displaystyle {\begin{aligned}1/7\ &=0{,}1+0{,}03+0{,}009+0{,}0027+0{,}00081+0{,}000243+0{,}0000729+\cdots \\[6pt]&={\frac {3^{0}}{10^{1}}}+{\frac {3^{1}}{10^{2}}}+{\frac {3^{2}}{10^{3}}}+{\frac {3^{3}}{10^{4}}}+{\frac {3^{4}}{10^{5}}}+\cdots +{\frac {3^{N-1}}{10^{N}}}+\cdots \\\end{aligned}}}$

Bedeutung im Enneagramm

Im Enneagramm (etwa dem des Vierten Wegs von Georges I. Gurdjieff) werden die neun Punkte des Kreises in der Folge 142857 verbunden. Dies veranschaulicht, dass, wenn man eine natürliche Zahl, die kein Vielfaches von 7 ist, durch 7 teilt, die Nachkommastellen immer die periodische Ziffernfolge 142857 bzw. allgemein ${\displaystyle {\tfrac {n}{7}}}$ für jede natürliche, nicht durch 7 teilbare Zahl ${\displaystyle n}$ enthalten.

Literatur

• Leslie, John. The Philosophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of . . . ., Longman, Hurst, Rees, Orme und Brown, 1820.
• Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, überarbeitete Edition. London: Penguin Group. (1997): S. 171–175

Einzelnachweise

1. ↑ Cyclic number. In: The Internet Encyclopedia of Science. 29. September 2007, archiviert vom Original am 29. September 2007; abgerufen am 29. September 2007 (englisch). 
2. ↑ Michael W. Ecker: The Alluring Lore of Cyclic Numbers. In: The Two-Year College Mathematics Journal. Vol. 14, Nr. 2, März 1983, S. 105–109, JSTOR:3026586. 
3. ↑ Cyclic number. In: PlanetMath. 14. Juli 2007, archiviert vom Original am 14. Juli 2007; abgerufen am 14. Juli 2007. 
4. ↑ Kathryn Hogan: Go figure (cyclic numbers). Australian Doctor, August 2005, archiviert vom Original am 24. Dezember 2007; abgerufen im August 2005. 
5. ↑ Sloane’s A006886: Kaprekar numbers. In: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation, abgerufen am 3. Juni 2016.