Summe

Für die Adjungierte der Summe zweier Matrizen ${\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ gleicher Größe gilt

${\displaystyle (A+B)^{H}=A^{H}+B^{H}}$.

Allgemein ergibt sich die Summe von ${\displaystyle n}$ Matrizen ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ gleicher Größe zu

${\displaystyle (A_{1}+A_{2}+\ldots +A_{n})^{H}=A_{1}^{H}+A_{2}^{H}+\ldots +A_{n}^{H}}$.

Die Adjungierte einer Summe von Matrizen ist demnach gleich der Summe der Adjungierten.

Skalarmultiplikation

Für die Adjungierte des Produkts einer Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ mit einem Skalar ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$ gilt

${\displaystyle (c\cdot A)^{H}={\bar {c}}\cdot A^{H}}$.

Die Adjungierte des Produkts einer Matrix mit einem Skalar ist also gleich dem Produkt des konjugierten Skalars mit der adjungierten Matrix.

Zweifache Adjungierung

Für die Adjungierte der Adjungierten einer Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ gilt

${\displaystyle \left(A^{H}\right)^{H}=A}$.

Durch zweifache Adjungierung ergibt sich demnach stets wieder die Ausgangsmatrix.

Produkt

Für die Adjungierte des Produkts einer Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ mit einer Matrix ${\displaystyle B\in \mathbb {C} ^{n\times l}}$ gilt

${\displaystyle (A\cdot B)^{H}=B^{H}\cdot A^{H}}$.

Allgemein ergibt sich für das Produkt von ${\displaystyle n}$ Matrizen ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ passender Größe

${\displaystyle (A_{1}\cdot A_{2}\cdot \ldots \cdot A_{n})^{H}=A_{n}^{H}\cdot \ldots \cdot A_{2}^{H}\cdot A_{1}^{H}}$.

Die Adjungierte eines Produkts von Matrizen ist demnach gleich dem Produkt der Adjungierten, jedoch in umgekehrter Reihenfolge.

Inverse

Die Adjungierte einer regulären Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ist ebenfalls stets regulär. Für die Adjungierte der Inversen einer regulären Matrix gilt dabei

${\displaystyle \left(A^{-1}\right)^{H}=\left(A^{H}\right)^{-1}}$.

Die Adjungierte der inversen Matrix ist demnach gleich der Inversen der adjungierten Matrix. Diese Matrix wird gelegentlich auch mit ${\displaystyle A^{-H}}$ bezeichnet.

Exponential und Logarithmus

Für das Matrixexponential der Adjungierten einer quadratischen Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ gilt

${\displaystyle \exp(A^{H})=(\exp A)^{H}}$.

Entsprechend gilt für den Matrixlogarithmus der Adjungierten einer regulären komplexen Matrix

${\displaystyle \ln(A^{H})=(\ln A)^{H}}$.

Adjungierungsabbildung

Die Abbildung

${\displaystyle \mathbb {C} ^{m\times n}\to \mathbb {C} ^{n\times m},\quad A\mapsto A^{H}}$,

die einer Matrix ihre Adjungierte zuordnet, besitzt aufgrund der vorstehenden Gesetzmäßigkeiten die folgenden Eigenschaften:

• Die Adjungierungsabbildung ist stets bijektiv, konjugiert linear und selbstinvers.
• Zwischen den Matrizenräumen ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m\times n}}$ und ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times m}}$ stellt die Adjungierungsabbildung einen Isomorphismus dar.
• In der allgemeinen linearen Gruppe ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ und im Matrizenring ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$ stellt die Adjungierungsabbildung (für ${\displaystyle m=n}$) einen Antiautomorphismus dar.

Blockmatrizen

Die Adjungierte einer Blockmatrix mit ${\displaystyle r}$ Zeilen- und ${\displaystyle s}$ Spaltenpartitionen ist durch

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{11}&\cdots &A_{1s}\\\vdots &&\vdots \\A_{r1}&\cdots &A_{rs}\end{pmatrix}}^{H}={\begin{pmatrix}A_{11}^{H}&\cdots &A_{r1}^{H}\\\vdots &&\vdots \\A_{1s}^{H}&\cdots &A_{rs}^{H}\end{pmatrix}}}$

gegeben. Sie entsteht durch Spiegelung aller Blöcke an der Hauptdiagonale und nachfolgende Adjungierung jedes Blocks.

Rang

Für eine Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ ist der Rang der adjungierten Matrix gleich dem der Ausgangsmatrix, das heißt

${\displaystyle \operatorname {rang} (A^{H})=\operatorname {rang} (A)}$.

Das Bild der Abbildung ${\displaystyle x\mapsto Ax}$ wird dabei von den Spaltenvektoren von ${\displaystyle A}$ aufgespannt, während das Bild der Abbildung ${\displaystyle x\mapsto A^{H}x}$ von den Zeilenvektoren von ${\displaystyle A}$ aufgespannt wird. Die Dimensionen dieser beiden Bilder stimmen stets überein.

Spur

Für eine quadratische Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ist die Spur (die Summe der Hauptdiagonalelemente) der adjungierten Matrix gleich der konjugierten Spur der Ausgangsmatrix, das heißt

${\displaystyle \operatorname {spur} (A^{H})={\overline {\operatorname {spur} (A)}}}$,

denn die Diagonalelemente der adjungierten Matrix stimmen mit denen der Ausgangsmatrix bis auf komplexe Konjugation überein.

Determinante

Für eine quadratische Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ist die Determinante der adjungierten Matrix gleich der konjugierten Determinante der Ausgangsmatrix, das heißt

${\displaystyle \det(A^{H})={\overline {\det(A)}}}$.

Dies folgt aus der Leibniz-Formel für Determinanten über

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\operatorname {sgn} (\sigma )a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}\right)={\overline {\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\operatorname {sgn} (\sigma ){\bar {a}}_{\sigma (1),1}\cdots {\bar {a}}_{\sigma (n),n}\right)}}={\overline {\det(A^{H})}}}$,

wobei die Summe über alle Permutationen der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ läuft und ${\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )}$ das Vorzeichen der Permutation ${\displaystyle \sigma }$ bezeichnet.

Spektrum

Für eine quadratische Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ stimmt aufgrund der vorstehenden Determinantenformel auch das charakteristische Polynom der adjungierten Matrix mit dem der Ausgangsmatrix bis auf komplexe Konjugation überein, denn

${\displaystyle \chi _{A^{H}}(\lambda )=\det(\lambda I-A^{H})={\overline {\det((\lambda I-A^{H})^{H})}}={\overline {\det({\bar {\lambda }}I-A)}}={\overline {\chi _{A}({\bar {\lambda }})}}}$.

Die Eigenwerte von ${\displaystyle A^{H}}$ sind demnach gerade die komplex Konjugierten der Eigenwerte von ${\displaystyle A}$.

Normen

Die euklidische Norm eines komplexen Vektors ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$ ist durch

${\displaystyle \|x\|_{2}={\sqrt {x^{H}x}}}$

gegeben. Für die Frobeniusnorm und die Spektralnorm der Adjungierten einer Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ gilt

${\displaystyle \|A^{H}\|_{F}=\|A\|_{F}}$   und   ${\displaystyle \|A^{H}\|_{2}=\|A\|_{2}}$.

Die Zeilensummen- und die Spaltensummennorm der Adjungierten und der Ausgangsmatrix stehen folgendermaßen in Beziehung:

${\displaystyle \|A^{H}\|_{\infty }=\|A\|_{1}}$   und   ${\displaystyle \|A^{H}\|_{1}=\|A\|_{\infty }}$.

Skalarprodukte

Das Standardskalarprodukt ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ zweier komplexer Vektoren ${\displaystyle x,y\in \mathbb {C} ^{n}}$ ist durch

${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{H}y}$

gegeben. Bezüglich des Standardskalarprodukts weisen eine Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ und ihre Adjungierte die Verschiebungseigenschaft

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{H}y\rangle }$

für alle Vektoren ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$ und ${\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{m}}$ auf. Hierbei steht auf der linken Seite das Standardskalarprodukt im ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$ und auf der rechten Seite das Standardskalarprodukt im ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Für das Frobenius-Skalarprodukt zweier Matrizen ${\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ gilt

${\displaystyle \langle A,B\rangle _{F}=\operatorname {spur} (A^{H}B)=\operatorname {spur} (BA^{H})={\overline {\operatorname {spur} (AB^{H})}}={\overline {\langle A^{H},B^{H}\rangle _{F}}}}$,

da Matrizen unter der Spur zyklisch vertauschbar sind.

Spezielle Matrizen

Die adjungierte Matrix wird in der linearen Algebra unter anderem bei folgenden Definitionen verwendet:

• Eine hermitesche Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix, die gleich ihrer Adjungierten ist, das heißt ${\displaystyle A^{H}=A}$. Solche Matrizen werden auch als selbstadjungiert bezeichnet.
• Eine schiefhermitesche Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix, die gleich ihrer negativen Adjungierten ist, das heißt ${\displaystyle A^{H}=-A}$.
• Eine unitäre Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix, deren Adjungierte gleich ihrer Inversen ist, das heißt ${\displaystyle A^{H}=A^{-1}}$.
• Eine (komplexe) normale Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix, die mit ihrer Adjungierten kommutiert, das heißt ${\displaystyle A^{H}A=AA^{H}}$.
• Für eine beliebige komplexe Matrix sind die beiden Gram-Matrizen ${\displaystyle A^{H}A}$ und ${\displaystyle AA^{H}}$ stets hermitesch und positiv semidefinit.
• Eine komplexe Matrix besitzt genau dann ausschließlich reelle Einträge, wenn ihre Adjungierte gleich ihrer Transponierten ist, das heißt wenn ${\displaystyle A^{H}=A^{T}}$ gilt.

Matrixzerlegungen

Die adjungierte Matrix wird auch bei der Schur-Zerlegung einer quadratischen Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$

${\displaystyle A=U\,R\,U^{H}}$

in eine unitäre Matrix ${\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$, eine obere Dreiecksmatrix ${\displaystyle R\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ und die Adjungierte von ${\displaystyle U}$ sowie bei der Singulärwertzerlegung einer Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$

${\displaystyle A=U\,\Sigma \,V^{H}}$

in eine unitäre Matrix ${\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{m\times m}}$, eine reelle Diagonalmatrix ${\displaystyle \Sigma \in \mathbb {R} ^{m\times n}}$ und die Adjungierte einer unitären Matrix ${\displaystyle V\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ verwendet.

Adjungierte Abbildungen

Sind ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ endlichdimensionale komplexe Skalarprodukträume, dann wird die zu einer gegebenen linearen Abbildung ${\displaystyle f\colon V\to W}$ zugehörige adjungierte Abbildung ${\displaystyle f^{\ast }\colon W\to V}$ durch die Beziehung

${\displaystyle \langle f(v),w\rangle =\langle v,f^{\ast }(w)\rangle }$

für alle ${\displaystyle v\in V}$ und ${\displaystyle w\in W}$ charakterisiert. Ist weiter ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{m}\}}$ eine Orthonormalbasis von ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle \{w_{1},\ldots ,w_{n}\}}$ eine Orthonormalbasis von ${\displaystyle W}$ und ${\displaystyle A_{f}\in \mathbb {C} ^{n\times m}}$ die Abbildungsmatrix von ${\displaystyle f}$ bezüglich dieser Basen, dann ist die Abbildungsmatrix ${\displaystyle A_{f^{\ast }}\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ von ${\displaystyle f^{\ast }}$ bezüglich dieser Basen durch

${\displaystyle A_{f^{\ast }}=A_{f}^{H}}$

gegeben. Die Abbildungsmatrix der adjungierten Abbildung ist also gerade die Adjungierte der Abbildungsmatrix der Ausgangsabbildung. In der Funktionalanalysis wird dieses Konzept auf adjungierte Operatoren zwischen unendlichdimensionalen Hilberträumen verallgemeinert.