Definition

Gegeben seien eine Menge ${\displaystyle A\neq \emptyset }$, deren Elemente geometrisch als Punkte aufgefasst werden, ein Vektorraum ${\displaystyle V}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ und eine Abbildung von ${\displaystyle A\times A}$ nach ${\displaystyle V}$, die zwei Punkten ${\displaystyle P,Q\in A}$ einen Verbindungsvektor ${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}\in V}$ zuordnet, so dass die folgenden beiden Regeln gelten:

• für je drei Punkte ${\displaystyle P,Q,R\in A}$ gilt: ${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {QR}}={\overrightarrow {PR}}}$ (Dreiecksregel, Beziehung von Chasles),
• für jeden Punkt ${\displaystyle P\in A}$ und jeden Vektor ${\displaystyle {\vec {v}}\in V}$ gibt es einen eindeutig bestimmten Punkt ${\displaystyle Q\in A}$, so dass ${\displaystyle {\vec {v}}={\overrightarrow {PQ}}}$ (Abtragbarkeitsregel).

Das Tripel ${\displaystyle (A,V,{\overrightarrow {}})}$ heißt affiner Raum. Wenn klar ist, welcher Vektorraum ${\displaystyle V}$ und welche Pfeilabbildung ${\displaystyle {\overrightarrow {}}}$ zugrunde liegt, spricht man auch allein vom affinen Raum ${\displaystyle A}$. Bei dem Körper ${\displaystyle K}$ handelt es sich oft um den Körper ${\displaystyle \mathbb {R} }$ der reellen Zahlen.

Translationen

Im affinen Raum ist eine „Addition“ als Abbildung von ${\displaystyle A\times V\to A,\ (P,{\vec {v}})\mapsto P+{\vec {v}},}$ dadurch definiert, dass ${\displaystyle P+{\vec {v}}}$ gerade der über ${\displaystyle {\vec {v}}={\overrightarrow {PQ}}}$ eindeutig bestimmte Punkt ${\displaystyle Q}$ ist. Für festgelegtes ${\displaystyle {\vec {v}}\in V}$ heißt die zugehörige Abbildung ${\displaystyle T_{\vec {v}}\colon A\to A,\ P\mapsto P+{\vec {v}},}$ Translation (Verschiebung) oder präzise Translation um den Vektor ${\displaystyle {\vec {v}}}$ und ${\displaystyle {\vec {v}}}$ heißt dann der zugehörige Translationsvektor.

Translationen sind stets Bijektionen. Sie bilden zusammen mit der Hintereinanderschaltung als Gruppenverknüpfung eine Untergruppe der Automorphismengruppe ${\displaystyle \operatorname {Aut} (A)}$ von ${\displaystyle A}$, wobei ${\displaystyle {T_{\vec {0}}}=\operatorname {id} _{A}}$ und für ${\displaystyle {\vec {v}},{\vec {w}}\in V}$ stets ${\displaystyle {T_{\vec {v}}}\circ {T_{\vec {w}}}=T_{{\vec {v}}+{\vec {w}}}}$ und ${\displaystyle {T_{\vec {v}}}^{-1}=T_{-{\vec {v}}}}$ gelten.

Anmerkung: Wegen ${\displaystyle P+{\overrightarrow {PQ}}=Q}$ schreibt man auch oft ${\displaystyle Q-P}$ statt ${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}}$. Es gilt dann ${\displaystyle {\vec {v}}=Q-P}$ genau dann, wenn ${\displaystyle Q=P+{\vec {v}}}$.

Affiner Unterraum

Wenn ${\displaystyle P}$ ein festgelegter Punkt aus ${\displaystyle A}$ ist und ${\displaystyle U}$ ein Untervektorraum von ${\displaystyle V}$, dann ist ${\displaystyle B=P+U=\{P+{\vec {u}}\mid {\vec {u}}\in U\}}$ ein affiner Unterraum von ${\displaystyle A}$. Anstelle des Begriffs „affiner Unterraum“ wird auch oft die äquivalente Bezeichnung affiner Teilraum verwendet. Der zu einem affinen Teilraum ${\displaystyle B}$ gehörige Untervektorraum ${\displaystyle U}$ ist durch ${\displaystyle B}$ eindeutig bestimmt.

Die Dimension eines affinen Raums ${\displaystyle A}$ zu einem Vektorraum ${\displaystyle V}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ ist definiert als die Dimension des Vektorraums ${\displaystyle V}$ über ${\displaystyle K}$. Oft ist es bequem, auch die leere Menge als affinen (Teil-)Raum anzusehen. Diesem leeren Teilraum wird dann die Dimension -1 zugeordnet.

Der affine Punktraum und der ihm zugeordnete Vektorraum

Wenn im affinen Raum ${\displaystyle A}$ ein Punkt ${\displaystyle O\in A}$ als Ursprung fest gewählt wird, hat man durch die Abbildung, die jedem Punkt ${\displaystyle P\in A}$ die Verschiebung ${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}}$, den Ortsvektor von ${\displaystyle P}$, zuordnet, eine eineindeutige Abbildung zwischen dem affinen Raum und seinem Vektorraum der Verschiebungen. Dabei ist zu beachten, dass diese Zuordnung zwischen Punkten und Ortsvektoren von der Wahl des Ursprungs abhängt.

Umgekehrt kann man jeden Vektorraum ${\displaystyle V}$ als affinen Punktraum ansehen: ${\displaystyle V\times V\to V}$ mit ${\displaystyle ({\vec {v}},{\vec {w}})\mapsto {\vec {w}}-{\vec {v}}}$ ist die Abbildung, die zwei Punkten ihren Verbindungsvektor zuordnet. Damit wird von vornherein ein Punkt des affinen Raumes ausgezeichnet, nämlich der Nullvektor des Vektorraums.

Im ersten Fall kann nach der Identifizierung eines Punktes mit seinem Ortsvektor (abhängig von der Wahl des Ursprungs!), im zweiten Fall kann von vornherein die Addition im Vektorraum ${\displaystyle V}$ so aufgefasst werden, dass die Gruppe ${\displaystyle (V,+)}$ als Abbildungsgruppe der Verschiebungen auf sich selbst als Menge von Punkten operiert.

Aus diesen Gründen wird manchmal auf eine rigide Unterscheidung zwischen dem affinen Punktraum einerseits und dem Vektorraum der Verschiebungsvektoren andererseits verzichtet.

Beispiele

• Der ${\displaystyle n}$-dimensionale euklidische Raum ${\displaystyle E^{n}}$ ist der affine Raum über einem ${\displaystyle n}$-dimensionalen euklidischen Vektorraum (also einem ${\displaystyle n}$-dimensionalen Vektorraum mit Skalarprodukt).
• Jeder Vektorraum kann als affiner Raum aufgefasst werden. Dadurch ist auch jeder affine Unterraum eines Vektorraums ein affiner Raum.
• Die Lösungen eines inhomogenen linearen Gleichungssystems bilden einen affinen Raum über dem Vektorraum der Lösungen des zugehörigen homogenen Systems. Das gilt analog auch für Systeme linearer Differentialgleichungen.
• In der Differentialgeometrie spielen affine Räume eine Rolle in der Theorie der Faserbündel. Beispiele sind die Fasern des affinen Tangentialbündels, des Zusammenhangsbündels und von Jetbündeln.